精品解析：黑龙江鸡西市第一中学2026-2027学年高一第一学期9月月考数学试题

2026级高一学年月考考试题（数学） 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意一个集合的真子集 B. 满足为的真子集且条件的集合的个数为3个 C. 集合 D. 13. 已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 14. 多项式能分解成两个一次因式的积，其中一个因式为，则的值为_______． 15. 已知，，若，则的取值范围为_______． 16. 若“”为真命题，则实数的最小值为______. 17. 某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为___________． 四、解答题（本题共4小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 关于的方程的两个根，． （1）若，求和的值． （2）若，求的值． 19. 火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. （1）据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ （2）若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 20. 设函数. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：. 21. 已知集合，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若中有3个整数，求实数的取值集合； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一学年月考考试题（数学） 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，所以，所以，，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词的否定，“改量词，否结论”即可解决. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】图中的阴影部分为在集合B中且不在集合A中的元素构成，从而求得阴影部分表示的集合. 【详解】根据交集和补集的定义，则图中的阴影部分表示的集合为 即. 故选：D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用数轴标根法求得正确答案． 【详解】画出函数的大致图象如下图所示， 由图可知不等式的解集是或． 故选：D. 5. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 6. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 7. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】由得， 等价于，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】， ，故A正确； ，，故B错误； ，则，故C正确； ，则，即，故D错误． 故选：AC． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项. 【详解】因为， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，所以，B对； 对于C选项，当时，，C错； 对于D选项，， 所以，D对. 故选：ABD. 12. 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意一个集合的真子集 B. 满足为的真子集且条件的集合的个数为3个 C. 集合 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：空集是任意非空集合的真子集，空集没有真子集.A错误. 选项B：满足条件的集合有，，，B正确. 选项C：，. C正确. 选项D：，D正确. 13. 已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 14. 多项式能分解成两个一次因式的积，其中一个因式为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知的一个解为， 代入得，解得. 15. 已知，，若，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 16. 若“”为真命题，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据存在量词命题为真命题得，求解最小值即可. 【详解】因为“”， 所以，因为，所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 17. 某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合， 集合， 集合， 则，，， ，，， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共4小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 关于的方程的两个根，． （1）若，求和的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）， . （2）. 【解析】 【小问1详解】 ，两根为，， ，， 当时，，， 即， 即. 【小问2详解】 已知， 可得：，解得：， 即，， ，解得：， 检验判别式：， 方程有两个根，符合条件. 19. 火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. （1）据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ （2）若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 【答案】（1）三种 （2）安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【解析】 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【小问1详解】 设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. 【小问2详解】 共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 20. 设函数. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）. （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数与一元二次不等式的关系解不等式即可； （2）利用二次函数与一元二次不等式的关系分类讨论算即可； （3）含着参数分类讨论解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 因为对一切实数恒成立， 所以恒成立， 若，显然，不符合题意； 若，要满足题意需，解之得； 综上取值范围为. 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 21. 已知集合，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若中有3个整数，求实数的取值集合； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分为和两种情况分别讨论，结合集合的包含关系列不等式组即可求解； （2）根据中有3个整数得到，从而得到，所以分为中整数为，和三种情况分别讨论，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 分情况讨论：和， ①当时，， 空集是任意集合的子集，满足， ②当时，则， 若，，该不等式组无解， 综上，实数的取值集合为. 【小问2详解】 若中有3个整数，则，解得， 所以， 情况一：中整数为，，， 此时， 情况二：中整数为，，， ，解得：，即， 情况三：中整数为，，， ，解得：，即， 综上，实数的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $