期中复习压轴专题02 选择填空题分类训练（30种类型90道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题02选择填空题分类训练 (新人教版八年级，30种类型0道) 范围：第十三章一第十五章 知识点一 判断三角形形状 1.在△ABC中，∠B-∠C=60°，且∠B是∠C的3倍，那么该三角形是(） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 2.在△ABC中，若∠A=90°，则△ABC是（) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上三种情况都有可能 3.若△ABC的三边长a,b,c满足 a-b)2+b-c= ,则△MBC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D,无法确定 知识点二 确定三角形个数 4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于F,DF交AC于E,图中有 ()个直角三角形 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图中三角形的个数是() 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.9 D.5 6.如图，以点A为顶点的三角形有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 知识点三 等腰三角形相关角度求解 7.等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是() A.50° B.40° C.40°或100° D.60° 8.在△ABC中，己知AB=AC,且一内角为110°，则这个等腰三角形底角的度数为() A.110° B.70 C.40° D.35° 9.一个等腰三角形有一个角为30°，则它的底角的度数是() A.30° B.75 C.30°或75° D.30°或65 知识点四 等腰三角形相关线段求解 10.已知等腰△ABC的底边长为4，周长为16，则腰长为() A.4 B.6 C.8 D.不确定 11.已知等腰三角形的一边长为5cm,另一边长为7cm,则它的周长为() A.17cm B.19cm C.17cm或19cm D.18cm 12.等腰三角形的两边长为a,b,且满足a-3+(6-b)=0 则它的周长为() A.12 B.15 C.12或15 D.以上答案都不对 知识点五 三角形的内角和外角相关角度求解 13.如图，△ABC的外角平分线AD交射线BC于点D,E在BA延长线上，若∠B=35°，∠DAE=60°，则 ∠ACD的度数为() 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A B A.850 B.95° C.100° D.105° 14.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACD,若∠A=50°，则∠P的度数为() C D A.25° B.20° C.10° D.15° 15.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠DFE=120°，∠ACB=80°，则 ∠BDC的度数为(） D E A.100° B.95 C.90° D.85° 知识点六 中线相关面积求解 16.如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AD,BE的中点.△CEF(阴影部分)的面积是4，则 △ABC的面积为() A.12 B.16 C.24 D.32 17.如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB=2OD,连接A0并延长交BC于点E,若△ABO的 面积为2，则△ABC的面积是() 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.6 c.5 D.4 18.如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O,己知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则阴 影部分（四边形MCNO)的面积为(） A 0 B B.5 c.6 D.7 知识点七 构成三角形的条件 19.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是() A.3cm,12cm,8cm B 6cm,8cm,15cm C 3cm,4cm,5cm D.6cm,6cm,12cm 20.一个三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形第三边长可能是() A.3cm B.5cm C.7cm D.11cm 21.下列各组线段长度，能构成三角形的是（) A.2cm、3cm、5cm B.3cm、4cm、8cm C.4cm、5cm、6cm D.lcm2cm、4cm 知识点八 三角形的稳定性 22,如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是() A.两点之间，线段最短 B.三角形任意两边之和大于第三边 4/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.垂线段最短 D.三角形具有稳定性 23.下列正多边形中，具有稳定性的是() B 0 24.劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳 定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是() B 知识点九 利用三角形中线求线段长 25.如图，BD是△ABC的中线，AB=I0,若△ABD的周长比aCBD的周长多2，则BC的长为.() A.5 B.7 C.8 D.12 26,如图，在△1BC中，D是商，E是中线，4D=4,8=24,则 24,则BE的长为《) A.2 B.3 C.4 D.6 27.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的中线，若AD=6,△ABE的面积为15，则BC 的长为() 5/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A.10 B.12 c.13 D.14 知识点十 判定全等三角形的依据 28.如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C和点F处，甲看向地面上点B处的视线 与他自己身体的夹角为∠BAC,乙看向地面上点E处的视线与他自己身体的夹角为∠EDF,已知AC⊥BE 于点C,DF⊥BE于点F,图中所有的点都在同一平面内.当AC=DF,∠BAC=∠EDF时，根据全等三 角形的知识可得到BC=EF，这里直接判定△ABC和△DEF全等的依据是() B A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 29.如图，某桥梁的钢架结构中，△ABC和△DEF的顶点B,C,E,F在同一直线上.已知AB∥DE, 且AB=DE,同时点C是BE的中点，点E是CF的中点.则判定△ABC≌aDEF的依据是() A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 30.用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过 点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线.验证这 一结论的过程中，aOPM与aOPW全等的依据是() M A 0 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 知识点十一 角平分线相关尺规作图 31,如图，在R1aABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点P、 Q,又分别以p、Q为圆心，大于2P吧为半径画弧交于点M,连接M交BC于点D.已知 AB=5,CD=2,则△ABD的面积是() A.2 B.3 C.4 D.5 32.下列作图中，点M到AB,BC两边距离相等的是() 33.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E,交 AC于点F,再分别以点E:F为圆心，大于2BF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 ∠BAC的内部相交于点P,画射线AP与BC相交于点D,CD=3,下列结论正确的是() A.AC=BD B.∠ADC=64° C.∠CAD=∠B D.B到AD的距离是3 7/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点计三 角平分线的性质 34.如图，在△ABC中，点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=12,过O作OD⊥BC 于点D,且OD=2,则△ABC的面积是() A.12 B.16 C.24 D.30 35.如图，在△ABC中，∠C=90,AD是∠BAC的平分线，若BC=5,BD=3,则点D到AB的距离是 () D A.1 B.2 C.3 D.5 36.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E,△ABC的面积=7，DE=2,AB=4, 则AC的长是() E A.3 B.4 C.6 D.5 知识点十三 角平分线的判定 37.如图，DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°，则∠BDA的度数为() 8/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C D A.40° B.50 C.60° D.80° 38.如图，四边形ABDC中，∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=I14°，∠CBD=66°，则∠BCD的度数为 () C A.40° B.44° C.46° D.48° 39.如图，∠AOB=80°，点C是∠AOB内一点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,且CD=CE,则 ∠DOC的度数是() D E A.35 B.40° C.45° D.50° 知识点十四 全等三角形的对数 0 40.如图，AD⊥BC于点D,BD=DC,E在AD上，则图中全等的三角形共有几对() 9/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 41.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,过点O作直线m交线段AB于点E,交线 段CD于点F.则图中共有几对全等三角形() D A.4 B.5 C.6 D.7 42.如图，4=2，∠C=∠B,请问图中全等的三角形有几对？() E B A.3 B.5 C.4 D.6 知识点十五 全等三角形相关综合性问题 43.如图，在△ABC中，AB>AC,D,E分别是BC,AB上的点，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点F,G 为AD的中点，延长BG交AC于点H.下列结论正确的有() E B 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①线段AD是△ACE的高：②△ABG与△BDG的面积相等；③AB-AC=BE;④ ∠CBE+∠BCE+∠EAD=90° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 44.如图，己知△ABC中，∠A=60°，BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,点P为BE,CD的交点，则下 列说法正确的个数是() 0∠BrC=120”:gBD+C5=BC,gSam+Sax=Sa:@ AB BC=CE:AE D B A.4 B.3 c.2 D.1 45.如图，在△ABC中，∠ABC、∠FCA的平分线BP、CP交于点P,延长BA至E,BC至F,PM⊥BE 于点PN LBF于点X下列结论：01P平分2B1C:②4C+2∠4C=1s:g5ae=Sr+Saw 其中正确的有() MA ■ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 知识点十六 全等三角形相关最值问题 46.如图，Rt△ABC中，∠C=90,BC=4,AB=12,BM为∠ABC的平分线，交AC于点M,过点M作 MN⊥BM 垂足为点M,交B于 NP,2,MN,AM AP+PO 于点，点分别为 上一个动点，则 的最小值为 11/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.8 D.10 47.如图，在△ABC中，AB=8,AC=14,∠C=30°，P是BC上的任意一点，连接AP,将AP绕点A 按顺时针方向旋转至Ag,使∠PA犯=∠BAC,连接BO,则线段B0长度的最小值为() 4V5 A.2 B.3 C.3 D.4 48.如图，己知Rt△ACB,∠ABC=90°，AB=BC=5,点D,E分别是AB,BC边上的动点，满足 AD=BE,连接AE,CD,则AE+CD取得最小值时，线段AD的长为()· E D 12 17 A. 5 c.5 知识点十七 轴对称图形 49.下列图案中，是轴对称图形的是() UE. 50.下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是() 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 51.近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利.下列人工智能应 用图标中，是轴对称图形的是() 知识点十八光线的反射 52.平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图， 一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行，若∠ABM=32°，则∠DCN的度 数为() M A.32° B.450 C.48° D.58° 53.射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1， AB是平面镜，若入射光线PO与水平镜面的夹角为∠I,反射光线OQ与水平镜面的夹角为∠2，则 I=∠2.如图2，OM和ON是两块平面镜，入射光线AB经过两次反射后，得到反射光线CD.则下列判 断错误的是() M B△a 图1 图2 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若AB⊥BC,则a=45° B.若OM⊥ON,则ABIICD C.若AB‖CD,则a+B=90° D.若=B,则AB‖CD 54.如图，平面镜CD放置在水平地面上，墙面PD⊥CD于点D,一束光线A0照射到镜面CD上，反射 光线为OB,点B在PD上.若∠AOC=40°，则∠OBD度数为() B A.409 B.45° c.50° D.60° 知识点十九 轴对称相关坐标求解 5,点4-3)与点B关于x轴对称，则点8的坐标是《) A.（1-3) 83) c.0,3) 0.（3-) 56。点P-3,5)关于×箱的对称点的坐标是《) A.（3,-5) B.(3-5) c.3,5) D.(5-3) 57.如果P点的坐标为(2,3)，那么它关于y轴的对称点坐标为() A.(2,-3) B.（-2,-3) C.(-2,3) D.(2,3) 知识点二十 垂直平分线的性质 58.如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,连接BE,若AB=4, AC=8,则△ABE的周长为() 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.10 C.12 D.16 59.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.△ABC的周长为23，BE=3,则 △ABD的周长为() E A.14 B.15 C.16 D.17 60.如图，点E为△ABC的边BC上一点，AE的垂直平分线刚好经过点C且与AB边交于点D,连接DE, 若AB=8,AC=5,BC=9,则△BDE的周长是() D A.10 B.15 C.14 D.12 知识点二十一 确定第三边取值范围 61.设△ABC的三边长是a,b,c.若b=8,c=3,则a的取值范围是 62.一个三角形的三边长分别是3,1-2m,8,则m的取值范围是 63.三角形三边之长分别为3,7,2a,则a的取值范围为 知识点二十二 三角形相关折叠问题 64.如图，△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，E、F分别是边AB、AC上的点，将△AEF沿着EF折叠， 得到△AEF,当4F BC时，∠AEF的度数是 >·A 65.如图，将△ABC沿经过点A的直线AD折叠，使边AC所在的直线与边AB所在的直线重合，点C落在 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边AB上的E处.若∠B=45°，∠BDE=20°，则∠CAD= E B 66.如图，在三角形纸片△ABC中，∠A=65°，∠B=80°，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC内，若 ∠1=40°，则∠2的度数为 B 知识点二十三( 利用全等三角形性质求解 67.若△ABC≌aDEF,∠A=70°，∠B=30°，则LE= 68.如图，△ABC≌aDEF,点A,E,B,D在同一条直线上，若AD=8,BE=5,则AE的长是 69.△ABC与△EDF的位置如图所示，点F、A、D在同一条直线上，点D在边BC上，且AD平分 ∠BAC,若△ABC≌△EDF,∠EDA=20°，∠F=60°，则∠DAC的度数是 B D 知识点二十四 添加条件证明全等 0 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 70.如图，AB∥DE、BE=FC.请你添加一个条件 使得△ABC≌ADEF 71.如图，在Rt△ABC和RtEDF中，∠BAC=∠DEF=9O°，AB=DE,点A、E、C、F在同一条直线 上，若要用“HL”直接证明Rt△ABC≌Rt△EDF,则还需要添加的条件是 72.如图，点E、F在线段BC上，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,连接AB、CD,若要根据“HL” 直接证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加的一个条件是 B 知识点二十五 镜面反射 73.如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代 码对应的实际数字代码是 N2日00Ea% 74.平面镜成像中，像和物成轴对称图形.小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如 图所示，则这时的实际时间应该是 15:02 75.停在湖边的一辆小轿车，如图为车牌号在湖面中的倒影，则这辆小轿车的车牌号码是 M1ò时28 17/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点二十六三线合一 76.如图，E为△ABC的边AC上一点，且CE=CB,CD平分∠ACB,与BE相交于点D,∠A=∠ABE. 若AC=5,BC=3,则BD的长为 D E 77.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3Cm,则 BF= cm B 78.如图，在△ABC中，AB=AE=EC,AD平分∠BAC,如果△ADE的面积为2，那么△ABC的面积为 知识点二十七 含30度的直角三角形 79.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D,E.若CE=8, 则线段AE的长度等于 80.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠B=30°，AD=1,则AB的长为 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 81.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,PD⊥OA.若PC=10,则PD= 知识点二十八 等边三角形相关求解 82.如图，等边三角形ABC中，D是AC延长线上的一点，点E在AB上，若AC=3,CD=1,DB=DE, 则AE的长为 D E 83.如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M, PN⊥AC N AB=15cmCM cm 于点，若 的长为 N B M C 84.如图，在正△ABC中，点M、N分别在AB、BC边上，且AM=BN,AN与CM相交于H.若 ∠ACM=20°，则∠ANC=」 连接BH,若BH⊥CM,且AH=4,则HC的长为 19121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 知识点二十九网格中的等腰角形 85.如图，己知每个小方格的边长为1，A,B,C三点都在小方格的格点上，则使△4BC为等腰三角形 的顶角顶点C有 个 86.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点 C也在格点处，则点C所处的位置个数为一· B 87.如图，在6×6的正方形网格中，A,B两点都是网格的格点，若△ABC是等腰三角形，且点C也是该 网格的格点，则点C的个数是 知识点三十 最短路径问题 88.如图，己知∠AOB=55°，点P是∠A0B内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流OA边上一点C 饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P.当将军走过的路程PC+CD+DP最短时，则 ∠CPD= 20121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A P 89.为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄 B的群众出行到河岸☑.张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄 A和李庄B到河岸b的距离分别为AC=1000m,BD=200m,且CD=3000m,如图所示.现要求：建造 的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C,D之间距离C 处.（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） B D b 河 90.为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝 B的群众出行到河岸α.张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A 和李厝B到河岸b的距离分别为 C=p(m)、BD=g(m）,且CD=(p+q)m,如图所示.现要求：建适 的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 (河岸边上的点到河对岸的距离都相等) B A C D a 21/21 期中复习压轴专题02 选择填空题分类训练 （新人教版八年级，30种类型90道） 范围：第十三章—第十五章 知识点一 判断三角形形状 1．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 2．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 3．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 知识点二 确定三角形个数 4．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 5．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 6．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 知识点三 等腰三角形相关角度求解 7．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 8．在中，已知，且一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形；根据题意可知只能是顶角，再结合等腰三角形的底角等于得出答案． 【详解】解：根据等腰三角形的两个底角相等，可知只能是顶角， 所以这个等腰三角形的底角． 故选：D． 9．一个等腰三角形有一个角为，则它的底角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意可分为顶角和底角两种情况进行分类求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当的角为该等腰三角形的底角时，则底角为； ②当角为该等腰三角形的顶角时，则底角为； 综上所述：该等腰三角形的底角为或； 故选C． 知识点四 等腰三角形相关线段求解 10．已知等腰的底边长为4，周长为16，则腰长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两腰长相等，即可解答． 【详解】解：∵等腰的底边长为4，周长为16， ∴腰长， 故选：B． 11．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为7cm，则它的周长为（    ） A．17cm B．19cm C．17cm或19cm D．18cm 【答案】C 【分析】分腰长为5cm和7cm，两种情况进行讨论求解即可．掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键． 【详解】解：当腰长为5cm时，周长为：； 当腰长为时，周长为； 故选C． 12．等腰三角形的两边长为a，b，且满足，则它的周长为（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】略 知识点五 三角形的内角和外角相关角度求解 13．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出，进而求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴． 15．如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 知识点六 中线相关面积求解 16．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 17．如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意得到，进而得到，最后由中线等分三角形面积即可得到答案． 【详解】解：∵， 则以边为底，与等高， ， ，则， ， 是的中线， ． 18．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 知识点七 构成三角形的条件 19．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需比较每组中两条较短线段的长度和与最长线段的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A. ，不能组成三角形，不符合题意； B. ，不能组成三角形，不符合题意； C. ，能组成三角形，符合题意； D. ，不能组成三角形，不符合题意． 20．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为和， ∴，即， 各选项中只有符合取值范围． 21．下列各组线段长度，能构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A选项：，不能构成三角形． B选项：，不能构成三角形． C选项：，能构成三角形． D选项：，不能构成三角形． 知识点八 三角形的稳定性 22．如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 23．下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知， 只有三角形具有稳定性． 24．劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 知识点九 利用三角形中线求线段长 25．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 26．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 27．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 知识点十 判定全等三角形的依据 28．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 29．如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵， ∴． 30．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 知识点十一 角平分线相关尺规作图 31．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 32．下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 33．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 知识点十二 角平分线的性质 34．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 35．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 36．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 知识点十三 角平分线的判定 37．如图，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证出是的角平分线，得出，再利用三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴是的角平分线，， ∴， ∴． 38．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 39．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 知识点十四 全等三角形的对数 40．如图，于点D，，E在AD上，则图中全等的三角形共有几对（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【详解】解：， 又， ， 又． 故图中全等的三角形共有3对． 故选B． 【点睛】本题考查学生观察，猜想全等三角形的能力，同时，也要求会运用全等三角形的几种判断方法进行判断． 41．如图所示，在平行四边形中，与相交于点O，过点O作直线m交线段于点E，交线段于点F．则图中共有几对全等三角形（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和全等三角形的判定可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，，，， ， 在和中， ， ， 同理可得， 在和中， ， ， 同理可得，，， 共有6对全等三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 42．如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的全等三角形的判定方法有：，，，，，做题时需根据题意灵活运用． 根据题干所给条件分析推理即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，全等的三角形有4对， 故选：C． 知识点十五 全等三角形相关综合性问题 43．如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，是的高；②点为的中点，底边在同一直线上，等高且等底，故面积相等；③平分角且，可证三角形全等，得到，代入线段差即可推出；④利用外角性质将得，结合直角三角形两锐角互余，等量代换可证三个角相加等于。 【详解】解：①于点， 线段为△的高， 故结论①不正确，不符合题意； ②点为的中点， ， △的边上的高与△的边上的高相同， 与△面积相等， 故结论②正确，符合题意； ③平分， ， 于点， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； ④， 于点， ， ， 故结论④正确，符合题意； 结论正确的有3个． 44．如图，已知中，，，分别平分，，点为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可对①进行判断；证明，，可得，即可判断②；根据②的结论即可判断③；根据角平分线的性质与判定，可对④进行判断． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴， 故①正确， 如图，在上截取，连接， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在与中， ∴， ， ∴， ∴， 故②正确； 由②可知，， ∴， 即，故③准确， 如图，连接，过点作， ∵，分别平分，， ∴， ∴， 设边上的高为, ∵, ∴ 即， 故④错误． 45．如图，在中，、的平分线、交于点P，延长至E，至F，于点M，于点N，下列结论：①平分；②；③．其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点P作于点D，根据角平分线的性质可得，，再证明，即可判断①；同理证明，可证明，进而可表示出、的数量关系，根据三角形的内角和为，利用、这两个三角形，即可判定②；根据，，即可证明③，问题得解． 【详解】解：过点P作于点D，如图， ∵，，平分， ∴，， ∵，，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，即①正确； 同理证明， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，即②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，即③正确， 即正确的结论有3个． 知识点十六 全等三角形相关最值问题 46．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 47．如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，利用全等三角形的判定和性质，可得，，当时，的长度最小，此时的长度最小，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，进行解答，即可． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的长度最小，此时的长度最小， ∵，， ∴． ∴． 48．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 知识点十七 轴对称图形 49．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，该图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 50．下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形沿着虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故Ａ选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 51．近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，故本选项符合题意； C、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、它不是轴对称图形，故本选项不合题意． 知识点十八 光线的反射 52．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 53．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，由题可知，进而可得；对于B，由题可得，进而得到，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断；对于C，根据平行的性质即可判断；对于D，由可得，无法判定． 【详解】解：对于A，由题可知，又， ，即，则，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，，即， ， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C，， ，即，故C正确，不符合题意； 对于D，，又， ，同旁内角相等，不一定互补，则不一定平行，故D错误，符合题意． 54．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反射定律得到，再利用直角三角形的内角和，算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ． 知识点十九 轴对称相关坐标求解 55．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 56．点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点关于对称轴对称的特点，当平面直角坐标系中两个点关于轴对称时，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴对称， 对称点的横坐标为，纵坐标为， 即． 故选：A． 57．如果P点的坐标为，那么它关于y轴的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点关于坐标轴对称的坐标变换规律，特别是关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变． 依据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变进行分析即可． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：C． 知识点二十 垂直平分线的性质 58．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 59．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长． 60．如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 知识点二十一 确定第三边取值范围 61．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 62．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 63．三角形三边之长分别为3，7，，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系列出正确的不等式，再根据不等式性质求解； 【详解】解：由三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，得， 即， 解得． 知识点二十二 三角形相关折叠问题 64．如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在下方时和当点在上方时，利用平行和折叠的性质分别求出，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】中，，， ， 如图，当点在下方时， ， ， 由折叠可知，， ； 如图，当点在上方时， ， ， ， 由折叠可知，， ； 综上可知，的度数是或． 65．如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质求出，由折叠得到，，再根据三角形的内角和定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得，，， 在中，， ∴． 66．如图，在三角形纸片中，，，将纸片一角折叠，使点落在内，若，则的度数为_________． 【答案】/30度 【分析】根据三角形内角和定理和四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 知识点二十三 利用全等三角形性质求解 67．若，，，则________． 【答案】 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 68．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】利用全等的性质得到，即可得到，再由运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：． 69．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ． 知识点二十四 添加条件证明全等 70．如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【分析】根据全等三角形的判定添加条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 71．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 【答案】 【分析】“”判定定理仅适用于直角三角形，判定规则为：若两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等，据此解答即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴要用“”直接证明，则还需要添加的条件是． 72．如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 【答案】 【分析】“”需要一组直角边、一组斜边分别相等，题目已经给出一组直角边相等，因此只需补充斜边相等的条件． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵，且、是和的一组对应直角边， 根据“”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应相等， ∵在中，是斜边，在中，是斜边， ∴需要添加的一个条件是． 知识点二十五 镜面反射 73．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 74．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，的实际时间应该是． 故答案为： 75．停在湖边的一辆小轿车，如图为车牌号在湖面中的倒影，则这辆小轿车的车牌号码是________ 【答案】 【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：如图所示： ∴车牌号是． 【点睛】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形． 知识点二十六 三线合一 76．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 77．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 78．如图，在中，，平分，如果的面积为2，那么的面积为________． 【答案】8 【分析】由等腰三角形的性质可得是的中线，再利用三角形中线的性质求得，进而求得的面积即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴是的中线， ∵， ∴， ∵， ∴是的中线， ∴． 知识点二十七 含30度的直角三角形 79．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 【答案】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而，在中，，则，由此即可求解． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 80．如图，在中，于点，，则的长为__________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，的度数，利用含角的直角三角形的性质依次求出、的长即可． 【详解】解：， ． ， ， ． ， ． 在中，， ． 81．如图，，，．若，则______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，再利用平行线的性质得到，接着根据含度的直角三角形三边的关系得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， ， 平分，， 而，， ， ， ， ， ． 知识点二十八 等边三角形相关求解 82．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 83．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【答案】5 【分析】利用等边三角形内角均为的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均为和，证明为等边三角形，得到，进而证明三个小直角三角形全等，设的长度为，根据直角三角形的边长关系，将、等线段用含的表达式表示，结合的条件，列关于的方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， 可得三个小直角三角形中， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴，， 设， 则，， 在中，角对的直角边是斜边的一半， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 84．如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 【答案】 /度 8 【分析】先根据等边三角形的性质证明，再结合三角形的外角性质求解的度数；在线段上取点，使得，连接，证明，然后导角证明即可． 【详解】解：①如图， ∵是正三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②在线段上取点，使得，连接， ∵，， ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴． 知识点二十九 网格中的等腰三角形 85．如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 86．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【答案】6 【分析】根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 87．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 知识点三十 最短路径问题 88．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 【答案】70 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，此时，路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为，进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和，求和即可得到． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： 此时，路程最短， 由对称性质可知，，． ， ， ， ∵， ， 由对称性质可知，， ，， ． 89．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 90．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是________．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】到AC的距离为p（m）处． 【分析】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，则AC＝CP，问题得解． 【详解】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P， ∴BP＝B'P， ∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短， 过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M， ∴B'M＝CD， ∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m， ∴AM＝（p＋q）m， ∴∠CAP＝45°， ∴AC＝CP， ∴P点与C点的距离是p（m）， ∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处， 故答案为：到AC的距离为p（m）处． / 学科网（北京）股份有限公司 $