专题02 几何最值问题分类训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建几何最值突破体系，通过定类型、找全等的核心方法，系统覆盖三角形及最短路径问题，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法|定轨迹类型，用全等代换动边，化折线为直线或垂线段|从通用方法到具体应用，建立问题转化思维| |题型归纳|5题型（各1典例+3变式）|三角形用垂线段最短与等面积法；全等用对称点连线；等腰/等边用旋转60°/90°拼接；最短路径作双对称点|从基础三角形到特殊三角形，再到综合路径问题，层层递进| |压轴挑战|15题|综合应用对称、旋转、费马点等模型，检验思维迁移能力|整合各类方法，对接中考高难度命题，提升问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02几何最值问题分类训练 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 三角形相关最值问题 题型一、全等三角形相关最值问题 题型一、等腰三角形相关最值问题 题型一、等边三角形相关最值问题 题型一、最短路径问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 第一步定类型，动点轨迹是直线对称还是旋转？所求线段是否共顶点？第二步找全等，全等不是目的， 是工具。它的唯一作用是等长代换—把难求的动边，换到与定边相连的位置。只要换完后能连成直线或 利用垂线段，最值就出来了。 刁题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形相关的最值问题 典例1如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点，连接PC,则 线段PC的最小值是() 1/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.2.4 C.3 D.4.8 题型模版 1.特征：题目中常出现面积相关的条件。 2.方法：根据垂线段最短得出，当PC⊥AB时，线段PC最小，然后根据等面积法求解即可。 变式1-1如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点，CD=2BD,AE=BE,连接AD、 CE交于点F.当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为() D A.7 B.8 C.9 D.10 变式1-2如图，在△ABC中，AB=8，,BC=7,AE为BC边上的高，AE=6,P为AB上一动点，则PC 的最小值为() P H 21 8 48 A. B.3 c.7 D.7 变式1-3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD是∠BAC的平分线，若点 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、分别是D和4C PC+PO 和上的动点，则 的最小值是() 20 A.4.8 B.7 C.3 D.2.4 题型二、全等三角形相关的最值问题 典例1.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点，PH⊥OB于点H,Q是射线OA上的一个动点，若 PH=3 PO ,则长的最小值为() H A A.3 B.4 C.5 D.6 题型模版 1.特征：动点在直线上（或对称图形上），求“PA+PB”和最小。 2方法：立刻作定点关于动点轨迹的对称点，连线即得最小值。 变式1-1.如图，在锐角△ABC中，△ABC的面积为15，BD平分∠ABC,若E,F分别是BD,BC上的动 点，当CE+EF的最小值为6时，AB的长为() 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.6 变式1-2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=12,BM为∠ABC的平分线，交AC于点M,过点M 作MN⊥BM,垂足为点M,交AB于点N,点P,O分别为MN,AM上一个动点，则AP+PO的最小值为 M A.4 B.6 C.8 D.10 变式1-3.如图，己知Rt△ACB,∠ABC=90°，AB=BC=5,点D,E分别是AB,BC边上的动点，满 足AD=BE,连接AE,CD,则AE+CD取得最小值时，线段AD的长为(). D 2 A.5 B.2 c.5 D. 2 题型三、等腰三角形相关的最值问题 典例1如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D为BC边的中点，EF为AB边的垂直平分线，分别 交AB于点E,交AC于点F,点M为EF上任意一点.若等腰三角形ABC的面积为4O,BC=8,则 BM+DM的最小值为一 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 题型模版 1.特征：共顶点的等长线段（等腰、等边、正方形），且有旋转感。 2.方法：“将某线段绕点旋转”、“等边三角形内一点”。将分散的线段旋转60°或90拼接，让折线变直 线。 变式1-1.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=13,BC=I0,AD是△ABC的高线，且AD=12.点E, F分别是AD,AC上任意一点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 变式1-2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16.若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知△CDM周长的最小值是一· E D M 变式1-3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ADC是以AC为底边的等腰三角形，DE平分∠ADC, 60 分别交AB,AC于点E,F,若AC=12,BC=5,点C到4B的距离为13，P是直线DE上的一个动点，连接 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PB,PC PB+PC 则 的最小值为 题型四、等边三角形相关的最值问题 典例1如图，直线m1I于点A,B是m上一点（点B在点A的上方），在m右侧以AB为边作等边三角 形ABC,M是I上的一个动点，以BM为边作等边三角形BMN,连接CN,则∠BCN=°；连接AN 若AB=12,则AN的最小值为 M 题型模版 1.特征：如果涉及费马点PA+PB+PC。含旋转全等，题干出现“等边三角形”并连接顶点，通常暗示需 要构造旋转手拉手模型。 2方法：·几何法优先：能用旋转或对称就别建系，省时目不易算错。·特殊值验证：当动点在中点或端 点处，往往就是最值点，可快速检验答案。 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-1如图，在边长为8的等边三角形ABC中，若M是高AD所在直线上一点，连接CM,以CM为边 在直线CM的右侧画等边三角形CMN,连接DN,则DN长度的最小值为 B 变式1-2.如图，等边三角形ABC和等边三角形A'B'C的边长都是a,点B,C,B在同一条直线上，点 P在线段A'C上，则AP+BP的最小值为一· B 变式1-3.如图，边长为6的等边三角形中，若点M是高AD所在直线上一点，连接CM,以CM为边在直 线CM的下方画等边三角形CMN,连结接DN,则DN长度的最小值为 D 题型五、最短路径问题 典例1如图，牧民从生活区边M上某点A出发，先到草地边P№上某点B牧马，再到小河边PM上某点 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C饮马，最后回到点A处，已知，点P到M的距离为4千米，∠QPM=30°，若△ABC的周长为m千米， 则m的最小值是_千米. 草地 小河 牧民生活区 题型模版 1.特征：特征：定点A、B在直线I同侧，在I上找点P,使PA+PB最小。在两条直线（或一条直线 +一条射线)上找两点M、N,构成三角形周长或PM+MN最短。两定点被一条固定宽度的“河”（或 平行线)隔开，要求垂直于河岸架桥(MN长度固定)，求AM+MN+NB最短。蚂蚁在圆柱、长方体 表面从A爬到B。 2方法：作定点关于两条线的对称点，连接两个对称点，与两条线的交点即为动点位置。折线被完全拉直。 变式1-1为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和 李庄B的群众出行到河岸a,张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量， 张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC=1000m,BD=2000m,且CD=3000m,如图所示.现要求： 建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C,D之间距 离C处.（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 8/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D b 河 a 变式1-2.如图，在4×4的正方形网格中，直线a外，有A,B两点.在直线a上求一点P,使PA+PB最 短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） A B EDCF a 变式1-3.如图，直线l是一条河，A,B两地相距6km,A,B两地到l的距离分别为3km,6km,欲在1上 某点M处修建一个水泵站，向A,B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺 设的管道最短的是() ◆◆ ◆◆ 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 1,如图，在三角形ABC中，AB=5,BC=6,BC边上的高AD=4,若点M在AB边上移动，则CM的最小 值为() M D 10 24 A.3 B.5 C.4 D.5 2.如图，三角形ABC中，AC⊥BC,D为BC边上的任意一点，连接AD,E为线段AD上的一个动点， 过点E作EF⊥AB点F.BC=6,AB=I0,AC=8,则CE+EF的最小值为() E D A.6 B.4.8 C.2.4 D.5 3.如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,AB⊥BC,点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则 AP+PO 的最小值等于() Q B 4 A.4 B.5 C.5 D. 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如右图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC=4,则MP的 最小值为() A.5 B.4 C.2.5 D.1.25 5.如图，在△ABC中，AB=8,AD平分∠BAC,∠BAD=15°，点P、O分别为边AD,AB上的动点， 连接BP,PO,则BP+P的最小值为() B A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,∠BAC的平分线交BC于点D,CD=2,Q为AB上一动点，则DO的 最小值为() B ○ A.2 8.② C v3 D.2.5 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=5,△BED≌aBAC,且A,B,D在同一条直 线上，点P在直线BE上，连接AP,则AP+CP的最小值为() 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.10 B.12.5 C.15 D.17.5 8.如图，在△ABC中，AB=6,∠C=30°，∠ABC=90°，点D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰三 角形ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接BE,则BE的最小值为() 12 A.2 B.3 D.5 9.如图，天然气主管道的一侧有A,B两个居民区，计划从主管道1引支管道连接这两个居民区，下面 的方案中，所引天然气支管道长度最短的是() Be...A Be、 A Be-- B..A D. 10。如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、？，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽4B.水系站P 在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得PA+AB+BO总长度最短，下列作图正确的是() 12/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 北渠 A 南渠 B P 北渠 A 北渠 A B 南渠 南渠 B P 北渠 北渠P六 D 南渠 南渠 O 0 -12 11.“如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=8,点M、N分别是射线OA、OB上的动点，求 △PMN周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：aPMN周长的最小值为一 D 12.如图，己知∠AOB=30°，点C是∠AOB内部的一点，且OC=3,点D、E分别是OA、OB上的动点， 则△CDE周长的最小值等于一· A D E 13.如图，在△ABC中，AC=BC=8,AD,DC分别平分∠BAC,∠ACB,E为BC上一点，若 ∠ADC=105°，则CD+DE的最小值为 13/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 14.如图，等腰△ABC中，AB=AC=12,△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一个动点， 连接PCPD,则PC+PD的最小值为一 4 D B 15.在面积为12的△ABC中，AB=AC,BC=4,AD⊥BC于点D,直线EF垂直平分AB,交AB于点 E,交AC于点F,P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为一 A E F D 14/14 专题02 几何最值问题分类训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形相关最值问题 题型一、全等三角形相关最值问题 题型一、等腰三角形相关最值问题 题型一、等边三角形相关最值问题 题型一、最短路径问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 · 第一步定类型，动点轨迹是直线对称还是旋转？所求线段是否共顶点？ 第二步找全等，全等不是目的，是工具。它的唯一作用是等长代换——把难求的动边，换到与定边相连的位置。只要换完后能连成直线或利用垂线段，最值就出来了。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形相关的最值问题 典例1 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（     ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 【答案】B 【详解】解：根据题意，当时，线段最小， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：题目中常出现面积相关的条件。 2.方法：根据垂线段最短得出，当时，线段最小，然后根据等面积法求解即可。 变式1-1如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 变式1-2如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 变式1-3如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点C、P、在同一直线上，且时，最小，即最小， ∴当点在点处时，最小，且最小值为， ，，， ∴， ， ， 的最小值为． 故选：D． 题型二、全等三角形相关的最值问题 典例1 ．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 题型模版 1.特征：动点在直线上（或对称图形上），求“PA+PB”和最小。 2.方法：立刻作定点关于动点轨迹的对称点，连线即得最小值。 变式1-1．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 变式1-2．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 变式1-3．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 题型三、等腰三角形相关的最值问题 典例1 如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，为边的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，点M为上任意一点．若等腰三角形的面积为40，，则的最小值为_______． 【答案】10 【分析】连接，由三线合一定理得到，根据三角形的面积公式求出；根据线段垂直平分线的性质得到，则可推出当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为10． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，，点D为边的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积为40，， ∴， ∴； ∵为边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为10． 题型模版 1.特征：共顶点的等长线段（等腰、等边、正方形），且有旋转感。 2.方法：“将某线段绕点旋转”、“等边三角形内一点”。将分散的线段旋转60°或90°拼接，让折线变直线。 变式1-1．如图，是等腰三角形，，，是的高线，且．点，分别是，上任意一点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出． 【详解】解：连接、，如图， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 变式1-2．如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：连接，． ∵等腰三角形，点为边的中点， ∴， ∵，， 又∵， ∴． ∵由图中尺规作图的痕迹可以判断出为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 变式1-3．如图，在中，，是以为底边的等腰三角形，平分，分别交于点E，F，若，点C到的距离为，P是直线上的一个动点，连接，则的最小值为______． 【答案】13 【详解】解：如图，连接． ∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴， ∴垂直平分． ∵P是直线上的一个动点， ∴． ∵， ∴， ∴当点P与点E重合时，，此时的值最小． ∵， ∴． ∴的最小值为13． 故答案为13． 题型四、等边三角形相关的最值问题 典例1 如图，直线于点，是上一点（点在点的上方），在右侧以为边作等边三角形，是上的一个动点，以为边作等边三角形，连接，则____；连接，若，则的最小值为_______． 【答案】 90 6 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 直线， ， ， 点在过点且垂直的直线上运动， 当时，取最小值， ， ， 在中，． 故答案为：；． 题型模版 1.特征：如果涉及费马点 PA+PB+PC。含旋转全等，题干出现“等边三角形”并连接顶点，通常暗示需要构造旋转手拉手模型。 2.方法：· 几何法优先：能用旋转或对称就别建系，省时且不易算错。 · 特殊值验证：当动点在中点或端点处，往往就是最值点，可快速检验答案。 变式1-1如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为________． 【答案】2 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵是高所在直线上一点，是等边三角形，， ，，点N的运动轨迹为如图所示直线， ， ∴， 故当时，最短，最短为， 故答案为：2． 变式1-2．如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵和都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，正好等于的长， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式1-3．如图，边长为6的等边三角形中，若点M是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的下方画等边三角形，连结接，则长度的最小值为 ___________．    【答案】 【详解】解：如图，连接，   是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，是等边三角形， ，， ， 时，最短为， 故答案为：． 题型五、最短路径问题 典例1 如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 【答案】4 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ，，，，，， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， 点到的距离为， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：4． 题型模版 1.特征：特征：定点 A、B 在直线 l 同侧，在 l 上找点 P，使 PA+PB 最小。在两条直线（或一条直线+一条射线）上找两点 M、N，构成三角形周长或 PM+MN 最短。两定点被一条固定宽度的“河”（或平行线）隔开，要求垂直于河岸架桥（MN 长度固定），求 AM+MN+NB 最短。蚂蚁在圆柱、长方体表面从 A 爬到 B。 2.方法：作定点关于两条线的对称点，连接两个对称点，与两条线的交点即为动点位置。折线被完全拉直。 变式1-1为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 变式1-2．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 变式1-3．如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短．此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当垂直于时，的长度最短， ∵， ∴， 解得． 2．如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（　　）    A．6 B．4.8 C．2.4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短和利用面积法求线段长是解题的关键． 过C作于F，交于E，此时，值最小，最小值等于，利用面积法求出长即可求解． 【详解】解：过C作于F，交于E，    则的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为：4.8， 故选：B． 3．如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可． 【详解】解：作过于的对称点，过点作，交于点，交于点， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 连接， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称，解决线段和最小，以及点到直线，垂线段最短，是解题的关键． 4．如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 【答案】C 【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线， ∴ ==5， ∴点M到AC的距离为：÷4=2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 5．如图，在中，，平分，，点P、Q分别为边，上的动点，连接，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、直角三角形的性质，作交于，交于，作于，由角平分线的性质可得，，从而可得此时的值最小，再由直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，作交于，交于，作于， ， ∵平分，， ∴，， ∴当点B，P，E三点共线时， ，此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 6．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：B． 7．如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．17.5 【答案】C 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质．连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值为的长． 故选：C． 8．如图，在中，，，，点是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，在上取一点，使，可证，得到，可知当最小时，最小，当时，最小，利用直角三角形的性质求出，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在上取一点，使， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 当最小时，最小， 而当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：． 9．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 10．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意渠宽固定，即的长度是定值，要使得总长度最短，则的长度最短即可． 【详解】解：将点P向下平移的长度得到，连接，， 则，． ． 即当三点共线时总长度最短． 11．“如图，，点为内一点，，点分别是射线上的动点，求周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：周长的最小值为______． 【答案】8 【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：作点关于、的对称点、，连接， 则垂直平分，垂直平分， ， 周长为， 由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， （等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值是8， 周长的最小值是8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键． 12．如图，已知，点是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于_____． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，由对称性可得，，，，，，，则周长，此时周长最小，证明为等边三角形，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，， ， 由对称性可得，，，，，，， ∴周长，此时周长最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 13．如图，在中，，，分别平分，，E为上一点，若，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】解：过点D作交于点F， ∵、分别平分、， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴C在的垂直平分线上，， ∴， ∴D在的垂直平分线上， ∵， ∴C、D、F三点共线， ∴ ∴ 当时，此时的值最小， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为4． 14．如图，等腰中，，是等边三角形，点P是的角平分线上一个动点，连接，则的最小值为________． 【答案】12 【详解】解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 15．在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为____． 【答案】8 【详解】，，， ， 的面积为12， ， ， 已知直线垂直平分， 如图，连接， 则， P为直线上一动点， ， ， ，当且仅当点在线段上时取最小值， 则周长的最小值为8． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $