专题01 几何综合题分类训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过题型归纳构建“特征-方法”对应体系，分层突破几何综合题，培养推理意识与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3步核心解法|审题标图挖隐含、逆向推理执果索因、全等判定试错|从解题流程到思维策略，构建通用方法论| |题型归纳|5类题型（三角形、全等、角平分线等），每类1典例+3变式|面积法、对称法、旋转法等，提炼“角分线对称看”等口诀|从基础图形性质到综合应用，形成知识网络| |压轴挑战|15道高难题|综合运用多方法，突破复杂图形与动态问题|衔接中考命题趋势，提升思维上限|

专题01 几何综合题分类训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形相关几何综合题 题型二、全等三角形相关几何综合题 题型三、角平分线相关几何综合题 题型四、垂直平分线相关几何综合题 题型五、等边三角形相关几何综合题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第一步：审题标图，挖掘“隐含条件” 边读题边在图上用不同符号标注等边、等角。关键是把“隐含条件”显性化。 第二步：逆向推理，执果索因， 从题目要证明的结论反向推导。 第三步：锁定全等，组合判定 根据已知条件，从五种判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）中快速试错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形相关几何综合题 典例1 如图，在中，分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论正确的有（   ）个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型模版 1.特征：条件“间接化”：不给明边角，而是给中点、角平分线、垂直、等腰。图形“动态化”：出现动点、折叠、旋转。图形位置变化，。 ·知识“综合化”：不再只考全等，常嵌套勾股定理、函数或面积法，需要跨章节搭桥。 2.方法：面积法（等积变换）：见到中线、高、角平分线，多想面积。同底等高面积相等；中线平分面积；角平分线上的点到两边距离相等，也常结合面积求距离。这往往是避开复杂全等的“捷径”。 变式1-1如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．下列结论①；②；③平分．其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-3如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型二、全等三角形相关几何综合题 典例1 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型模版 1.特征：条件“去直接化”：题目不明说等边等角，而是给中点、角平分线、平行、垂直。这些是“伪装”的条件，需要你激活它们的隐藏技能（如中线平分面积、平行出等角）。 图形“重叠交织”：多个三角形嵌套或交叉，公共边、公共角密集。结论“不止于全等”：设问不仅限于证全等，常延伸为证线段相等/平行/垂直，或求线段和差、角度值。这要求你必须把全等当“跳板”来倒边倒角。 2.方法：先标图，再倒推；缺角找加减，缺边找平移；模型套得准，辅助下得狠。 变式1-1如图，中，，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-2如图，在中，，的角平分线相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-3如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三、角平分线相关几何综合题 典例1 如图，在中，和的平分线相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 题型模版 1.特征：题干直接给“角平分线”或“AD平分∠BAC”：这是明线，立刻标角相等。 · 暗含角平分线：如折叠（折痕是角平分线）、等腰三角形“三线合一”。 · 条件配“垂线”或“平行线”：角平分线+垂直或平行，是综合题最爱的组合，必有特殊结论。 2.方法：角分线，对称看；求距离，作垂线；想和差，截等段；遇平行，等腰现；遇垂直，延长线. 变式1-1如图，的外角，的平分线，交于P，，，则下列结论中正确的有（    ） ①；②平分；③；④． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 变式1-2如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-3如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点①；②若，则；③；④：：则上述说法中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四、垂直平分线相关几何综合题 典例1 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①连接，，则；②；③；④平分；⑤．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型模版 1.特征：题干直接写“DE垂直平分AB”或“DE是AB的中垂线”。 给出“到两点距离相等”（如PA=PB），或等腰三角形“三线合一”（顶角平分线垂直平分底边）。 2.方法：看到“垂直平分线”，条件反射就是“连”！连完端点找等腰、找全等、找最值。这招比角平分线更直接，几乎不用绕弯。 变式1-1如图，AD是的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延长线于K，连接PD、AK，则下列结论：①；②；③；④；⑤图中有5对全等三角形；⑥．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1-2如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（    ）．    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 变式1-3如图，在中，，，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接．则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五、等边三角形相关几何综合题 典例1 已知点C在线段上，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接，则以下结论①；②；③；④是等边三角形，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型模版 1.特征：直接给等边（如△ABC是等边三角形）。立刻标上三边相等、三角60°。含60°角。只要题干出现60°，心里立刻拉响警报——补全或构造等边三角形往往是破局关键。 等边+动点/旋转。一个等边三角形绕顶点旋转，必然带出“手拉手”全等模型。 2.方法：等边一出，旋转开路；见60补全，遇手拉手找全等；算长度用勾股，压轴题转60°化折为直。 变式1-1如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论：；；．其中正确的有（     ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F，则下列结论正确的有（   ） ①连接，则垂直平分线段；         ②是等边三角形； ③若，则；        ④若，则． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④ 变式1-3如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接、，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，、分别是高、角平分线，为线段上的一个动点（不与、重合），与交于点，给出下列四个说法： ①若点为线段的中点，则； ②若等于，则等于； ③当时，； ④当时，，其中正确的说法的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，则． 其中，一定正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②； ③，分别表示和的面积，则； ④的周长不变． 其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④ 6．如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，，把折叠，使落在上，点B与上的点E重合，展开后，折痕交于点F，连接．下列结论： ①； ②图中有4对全等三角形： ③若将沿折叠，则点D不一定落在上： ④； ⑤其中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．如图，在中，点P是边上一点，连接，过点P作交于点R，过点P作交于点S，点Q为线段上的点，连接，若，，则下列三个结论：①；②；③，其中所有正确的结论个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 11．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（    ） ①若，则；②；③；④． A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③ 13．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 14．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②③ 15．如图，在等边中，D，E分别为边上的两个动点，且总使，与相交于点F，于点G，以下结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01几何综合题分类训练 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 三角形相关几何综合题 题型二、全等三角形相关几何综合题 题型三、角平分线相关几何综合题 题型四、垂直平分线相关几何综合题 题型五、等边三角形相关几何综合题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 第一步：审题标图，挖掘“隐含条件”边读题边在图上用不同符号标注等边、等角。关键是把“隐含条 件”显性化。第二步：逆向推理，执果索因，从题目要证明的结论反向推导。第三步：锁定全等，组 合判定根据已知条件，从五种判定(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)中快速试错。 夙题型归纳一精讲典型题法，奔失解题根基 1/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、三角形相关几何综合题 典例1如图，在△ABC中，BD,BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于 BE,交BD于点G,交BC于点H.下列结论正确的有()个， ①∠DBE=∠F:②2LBEF=∠BAF+LC； ③∠FEB=∠ABE+LC:④2∠F=∠BAC-∠C」 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：BD⊥AC,FH⊥BE, .∠FDG=90°，∠BMG=90°（设FH与BE交于点M). H E队M DA G B ∴.∠F+∠FGD=90°，∠DBE+∠BGM=90° .'∠FGD=∠BGM .∠DBE=∠F,故①正确： ·BE平分∠ABC ∴.∠ABE=∠CBE= L LABC 2 2/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BEF是△BCE的外角， ∴.∠BEF=∠C+∠CBE ∴.2∠BEF=2∠C+2∠CBE=2∠C+∠ABC, :∠BAF是△ABC的外角， ∴.∠BAF=∠ABC+∠C .∠BAF+∠C=∠ABC+2∠C ·.2LBEF=∠BAF+∠C,故②正确： :∠FEB=∠C+∠CBE,∠ABE=∠CBE, ∴.∠FEB=∠C+∠ABE,故③正确： ·∠DBE=∠ABE-∠ABD, 在R1△ABD中，∠ABD=90°-∠BAC, ∠DE=ABc-(9-∠B4G). :∠ABC=180°-∠BAC-∠C, ∠DBE=80°-∠BAC-∠C)-90°+∠BAC =90-B4C-3C-90+∠B4c =2∠BAC-∠0 1 .∠F=∠DBE, 2∠F=∠BAC-∠C,故④正确： 综上所述，正确的结论有4个， 题型模版 1特征：条件“间接化”：不给明边角，而是给中点、角平分线、垂直、等腰。图形“动态化”：出现动 点、折叠、旋转。图形位置变化，。·知识“综合化”：不再只考全等，常嵌套勾股定理、函数或面积法， 需要跨章节搭桥。 2方法：面积法（等积变换）：见到中线、高、角平分线，多想面积。同底等高面积相等：中线平分面积： 角平分线上的点到两边距离相等，也常结合面积求距离。这往往是避开复杂全等的“捷径”。 3/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-1如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,过D作DE⊥AC于点E,延长ED交AB的延长线 于点F,∠ACB的平分线分别与AD,AB相交于点G,H,且CH⊥AF.下列结论：①∠F=∠ACH;② 2∠AGH=∠DAC+∠ADB:③2∠FAD=∠ADC-∠DAC;④∠ABC=∠ACH+∠EDC.其中正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，逐项判断，即可 【详解】解：，DE⊥AC,CH⊥AF, ∴.∠AEF=90°=∠AHC, :.∠F+∠BAC=90°=∠ACH+∠BAC, ∠F=∠ACH,故①正确： ,CH是∠ACB的角平分线， .∠ACB=2∠ACG, :∠AGH,∠ADB分别为△ACG,△ACD的外角， :.∠ACG=∠AGH-∠CAD,∠ACB=∠ADB-∠CAD, 2(∠AGHH-∠CAD)=∠ADB-∠CAD 即2∠AGH=∠DAC+∠ADB,故②正确： .CH⊥AF, ∴.∠AHC=∠BHC=90°， .∠BAC+∠ACH=90°，∠ABC+∠BCH=90°. CH是∠ACB的角平分线， 4/63 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACH=∠BCH, .∠BAC=∠ABC, :∠ADC为△ABD的外角， ,∠ADC=∠FAD+∠ABC=∠FAD+∠BAC=2∠FAD+∠DAC, 即2∠FAD=∠ADC-∠DAC,故③正确： :∠ABC是△BDF的外角， :.∠ABC=∠F+∠BDF, ,∠F=∠ACH,∠EDC=∠BDF :.∠ABC=∠ACH+∠EDC,故④正确： 综上所述，正确的为①②③④，共4个. 变式1-2在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E, AD、BE相交于点F,过点D作DG∥AB,过点B作BG⊥DG交DG于点G.下列结论①∠AFB=I45°： ②∠BDG=2LCBE:③BC平分∠ABG.其中正确的个数是() D G B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①错误；由平行线的性质及角平分线的定义即 可判断②正确：根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案 【详解】解：在直角三角形ABC中，∠C=90°， ∴.∠BAC+∠ABC=90°， :AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, :∠FMB=BAC,∠ABE=∠EBC- &∠FMB+∠ABE=(2BAC+ZABC9)=45 ·∠AFB=180-(∠FAB+∠ABF)=180°-45°=135°，故①错误： 5/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DGI AB .∠BDG=∠ABC :∠EBC=)∠ABC 2 :∠EBC= LBDG, ,∠BDG=2∠CBE,故②正确： :∠ABC的度数不确定， :根据已知条件无法证明BC平分∠ABG,故③不正确： 综上，正确的结论为②，共1个 变式1-3如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,BC=10,AD是BC边上的高，CE是中线， BF平分∠ABC,BF交CE于点M,交D于点N,给出以下结论：O .N AD=48:® ∠AFN=∠ANF；④∠NAF=2∠ABF,以上说法正确的个数是() E A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：①：CE是中线， .AE=BE, ·等底等高的两个三角形面积相等， SAACE:=SABCE ，正确： ②：∠BAC=90°，AB=8,AC=6,BC=10,AD是BC边上的高， 1 :>×4BxAC=1×AD×BC, 、)×8×6=。×ADx10 2 6/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得AD=4.8,正确： ③：∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.∠ABF+∠AFN=90°，∠BND+∠NBD=90°， BF平分∠ABC, ∴.∠ABF=∠NBD ∴.∠AFN=∠BND. .∠ANF=∠BND :∠AFN=∠ANF,正确： ④：∠A=90°，∠ADC=90°. ∴.∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90° .∠B=∠DAC. ∠B=2∠ABF, .∠DAC=2∠ABF,正确。 综上，正确的说法有4个. 题型二、全等三角形相关几何综合题 典例1如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过E作 EF⊥AB,F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=I80°；③AE=EC;④若 AF=2,则DE=4.其中正确的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：：BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠EBC 又BD=BC,BA=BE, 7/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABD≌△EBC(SAS) 故①正确. .BD=BC. ∴，∠BCD=∠BDC 由△ABD≌△EBC,得∠ADB=∠BCE, 又：∠ADB+∠BDC=180° ∴∠BCE+∠BCD=180°，故②正确： ,△ABD≌AEBC. ∴.AD=EC, ,BA=BE,∠ABD=∠EBC,BD=BC, :∠BAB=∠BEA=180-,ABD_180-,∠CBD=∠BDC=ADE. 2 2 ∴，AD=AE, .AE=EC,故③正确。 ④过A作AH⊥BE于H, B AE=AD. ..DE =2HE =2DH, ,AH⊥BE,EF⊥AB, ∴，∠BFE=∠BHA=90°， ,∠ABH=∠EBF, ∴.△ABH≌△EBF, .BF =BH, .'BA-BF BE-BH HE=AF, ∴.DE=2AF=4,故④正确。 综上，①②③④正确， 8/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 题型模版 1.特征：条件“去直接化”：题目不明说等边等角，而是给中点、角平分线、平行、垂直。这些是“伪 装”的条件，需要你激活它们的隐藏技能（如中线平分面积、平行出等角）。图形“重叠交织”：多个 三角形嵌套或交叉，公共边、公共角密集。结论“不止于全等”：设问不仅限于证全等，常延伸为证线段 相等/平行/垂直，或求线段和差、角度值。这要求你必须把全等当“跳板”来倒边倒角。 2方法：先标图，再倒推：缺角找加减，缺边找平移：模型套得准，辅助下得狠。 变式1-1如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,过P作PF⊥AD交 BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA:③PH=PD;其中正确 的结论有() G D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【详解】在△ABC中，∠ACB=90°， ∴.∠BAC+∠ABC=90° 又：AD,BE分别平分∠BAC,∠ABC, :∠BD+∠BE-∠BMC+∠ABC)=45. .∠APB=135°， 故①正确： ∴∠BPD=45°， 又：PF⊥AD, .∠FPB=90°+45°=135°， 9/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠APB=∠FPB, 又∠ABP=∠FBP, 在△ABP和△FBP中， [∠ABP=∠FBP BP=BP ∠APB=∠FPB' ∴.△ABP≌△FBP(ASA) ∴.∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF, 故②正确： ∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP,PA=PF, 在△APH和△FPD中， ∠APH=∠FPD=90° PA=PF ∠PAH=∠PFD ∴.△APH≌AFPD(ASA) .PH=PD. 故③正确： 故选：D 变式1-2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过点P作PF⊥AD 交BC的延长线于点R交4C于H则下别结论：08m:Sm=1C:B。®∠4PB=135:司 PF=PA:④BD+AH=AB,其中正确的结论的个数是() E 10/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：过点D作DI⊥AB于点I, E 是 的角平分线， B.:AD △ABC ∠ACB=90° .DC DI. c)-c: :.S△MCD:S△MBD=AC:AB 故①正确 ∠ACB=90°， ∴.∠BAC+∠ABC=90° :AD、BE是△ABC的角平分线， ∠BAD2BAC,∠ABE=)ZABC :∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=45°：∠APB=180°-(UBAD+∠ABE)=180°-45°=135°，故@正确. 2 ∠APB+∠BPD=180°. .∠BPD=180°-135°=45° PF⊥AD, .∠FPD=90° ∴.∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135° .∠APB=∠FPB」 :BE是△ABC的角平分线， ∴.∠ABP=∠FBP .BP=BP, .△ABP≌△FBP(ASA) 11/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA=PF,故③正确. △ABP≌△FBP, .∠BAP=∠BFP :AD是△ABC的角平分线， .∠BAP=∠HAP ∴.∠HAP=∠BFP PF⊥AD, ∴∠APH=∠FPD=90° PA=PF, ∴.△APH≌AFPD(ASA) .AH=FD :.BD+AH=BD+FD=FB △ABP≌△FBP, .AB=FB. ∴BD+AH=AB,故④正确. .正确的有4个， 故选：D 变式1-3如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的三等分点（点E靠近A)，F是AD延长线上一点， ED=DF,连接BE、CF、CE,G是EC的中点，连接BG.下列说法：①CF=BE;② ∠BEC+∠ECF=180°；③△ECF和△BEC的面积相等；④△BEG与△ABC的面积之比是I:2.其中正确的 有() A G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 12/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：①：AD是△ABC的中线， .BD DC 在△BED和△CFD中， BD=CD ∠BDE=∠CDF ED=DF △BED≌ACFD(SAS) ·BE=CF,①正确， ②：△BED≌△CFD, ∴.∠EBC=∠FCB, ∴.∠BEC+∠ECF =∠BEC+∠ECB+∠FCB =∠BEC+∠ECB+∠EBC =180°，②正确 SECF=SCFD+SEDC SBEC =SBED+SEDC ③ :△BED≌△CFD. SARED =SACED S,r=S,,③正确： ④，点E是AD的三等分点（点E靠近A),AD是△ABC的中线， .S.w-S..o-S. 3 2 1 .SAAE =ISA 1 同理可得：8as6c, .S.BRC=S.A0C-S.ABE-S.ACE= 3 13/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :G是EC的中点， 1 SAMEG= 9 .△BEG与△ABC的面积之比是：3，④错误. 综上所述，正确的有①②③，共3个 故选：C 题型三、角平分线相关几何综合题 典例1如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于 E点0作OD1BC于D,下列三个结论：①Z10B=90°+5∠C；②当∠C=600时，4F+BE ③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则Sc=b.其中正确的有()个 ED A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【详解】解：∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O, :∠OBA=)∠CBA,∠0AB=5∠CAB. 2 2 .∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB 2<CB 18O9一5∠CB4《 =180-4cBM+c） 14/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°- 2180°-∠C) 1 =90°+ ∠C 故①正确： ,∠C=60°， ∴.∠BAC+∠BCA=120°， :AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线， ∠0MB+∠OBM=2{∠BAC+∠ABC)=60°， :.∠AOB=120°， .∠A0F=60°， .∠B0E=60°， 如图所示，在AB上取一点H,使BH=BE, F 是 的角平分线， ED BE ∠ABC .∠HBO=∠EBO. 在△HBO和△EBO中， BH BE ∠HBO=∠EBO BO=BO △HBO≌AEBO(SAS) ∴.∠BOH=∠BOE=60° .∠A0H=60°， .∠AOH=∠AOF=60°， 在△HAO和△FAO中， 15/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠HOA=∠FAO A0=A0 ∠AOH=∠AOF △HAO≌△FAO(ASA) .AF=AH, ∴，AB=BH+AH=BE+AF,故②正确： 如图所示，作OH⊥AC于H,OM⊥AB于M, M 和 的平分线相交于点O, ED ∠BAC ∠ABC “点O在∠C的平分线上， ...OH =OM=OD=a, AB+BC+CA=2b. .SAANC=AB-OM+AC.OH+BC.OD 1 1 2 =(AB+AC+BC)-a =ab,故③正确： 综上，其中正确的有①②③共3个. 题型模版 1特征：题干直接给“角平分线”或“AD平分∠BAC':这是明线，立刻标角相等。·暗含角平分线：如 折叠（折痕是角平分线）、等腰三角形“三线合一”。·条件配“垂线”或“平行线”：角平分线+垂直 或平行，是综合题最爱的组合，必有特殊结论。 2方法：角分线，对称看；求距离，作垂线；想和差，截等段：遇平行，等腰现；遇垂直，延长线 变式1-1如图，△ABC的外角∠ACF,∠EAC的平分线CP,AP交于P,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结 论中正确的有() 16/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M B OPM=PN:@BP平分ABC,G nCABCPB ；③ A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：①如图所示，过点P作PD⊥AC于点D, E D B C N :∠ACF,∠EAC的平分线CP,AP交于P,且PM⊥BE,PN⊥BF, .PM=PD=PN, 故①正确： ②，PM=PN,且PM⊥BE,PW⊥BF, ∴.点P在∠ABC的平分线上， ∴BP平分∠ABC, 故②正确： ③如图所示， E M A B CN :PM⊥BE,PD⊥AC, 17/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AMP=∠ADP=90°， 由①得PM=PD, 又AP=AP, RtAPAM≌Rt△PAD(HL) S.PAM=SPAD RtAPCNS≌RtAPCD(HL) 同理， S.PCN=S.PCD SAPAC=SAMuAP +SANCP 故③正确： ④如图所示， /E M p D B F CN PM⊥BE,PN⊥BF, ∴.∠BMP=∠BNP=90°， .PM=PN,BP=BP Rt BPM≌Rt△BPN(HL) 、.∠BPM=∠BPN=∠MPN 由③得，RtAPAM≌RtAPAD,Rt△PCN≌RtaPCD. .∠APM=∠APD,∠CPN=∠CPD 18/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠APC=∠APD+∠CPD=∠MPN 1 .∠BPM=∠APC. ∴.∠BPM-∠APB=∠APC-∠APB, 即∠APM=∠CPB, 令∠APM=∠CPB=a,则∠MAP=∠CAP=90°-a, ∠CAB=180°-2(90°-a)=2a .∠CAB=2∠CPB, 故④正确： 综上，正确的选项为①②③④， 故选：D 变式1-2如图，BN平分∠MBC,P为BN上一点，且PD⊥BC于点D,PE⊥BM于点E, ∠APC+∠ABC=I8O°，给出下列结论：①∠MAP=∠BCP:②PD=PE;③PA=PC:④△PBC的面积 是△PAB面积的2倍，其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C RtABPE≌RtABPD(HL) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点.证明 APAE≌aPCD(ASA) ,利用全等三角形的性质即可解决问题. 【详解】解：，PE⊥BM,PD⊥BC,∠ABP=∠CBP, ∴PE=PD,故②正确： 在Rt△BPE和Rt△BPD中， (BP=BP PE=PD. 19/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△BPE≌RtABPD(HL) .BE=BD, ∠APC+∠ABC=180°，且∠ABC+∠EPD=180°， ∴、LEPD=∠APC, ∴.∠APE=∠CPD ∴.∠MAP=∠BCP,故①正确： 在△PAE和△PCD中， I∠AEP=∠PDC PE=PD ∠APE=∠CPD' △PAE≌APCD(ASA) ·AE=CD,PA=PC,故③正确： Rt△BPE≌Rt△BPD△PAE≌aPCD(ASA) SABPE SABPD:SAAPE SAPDC ∴.△PBC的面积≠△PAB面积的2倍，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③. 故选：C 变式1-3如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E, MD、CE交于点F04C=120:②若CELB,则4B=24E:gCD+AE=4C:@9 S.=MF,FC则上述说法中正确的个数是（） 20/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：①在△ABC中，∠ABC=60°， .∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=120°， :AD平分∠BAC交BC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E, ∴.∠BAC=2∠FAC.∠BCA=2LFCA, ∴.2∠FAC+2∠FCA=120°， ∴.∠FAC+∠FCA=60°， 在aMFC中， ∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=120 故①正确： ②：CE⊥AB,CE平分∠ACB, ∴∠AEC=∠BEC=90°，∠ACE=∠BCE, 在△ACE和△BCE中， ∠AEC=∠BEC=90 CE=CE ∠ACE=∠BCE ∴△ACE≌△BCE(ASA) :AE=BE, .AB=AE+BE=2AE, 故②正确： ③在AC边上截取AG=AE,连接FG,如图1所示： 21/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B D C 图1 :∠AFC=120 .∠AFE=∠CFD=180°-∠AFC=60°， AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD 在△AFE和△AFG中， AG=AE ∠BAD=∠CAD AE=AE :AAFE≌△AFG(SAS) .∠AFE=∠AFG=60°， ∴∠CFG=∠AFC-∠AFG=120°-60°=60°， ∴.∠CFD=∠CFG=60°， CE平分∠ACB, .∠DCF=∠GCF, 在△FDC和△FGC中， I∠CFD=∠CFG CE=CE ∠DCF=∠GCF' .∴AFDC≌△FGC(ASA) ∴.CD=CG, ∴.CD+AE=CG+AG=AC, 故③正确： ④作EM⊥AF于M,DN⊥FC于N,如图2所示： 22/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 ∴.∠EMF=∠DWNF=90 .△AFE2△AFG, ∴EF=FG. 又：△FDC≌△FGC, :FD=FG. .EF FD. 在△MFE和△NFD中， ∠EMF=∠DNF=90° ∠EFM=∠DFN EF=FD ∴.△MFE≌△NFD, ..EM=DN, Sm-BMAr,又DN-C=Mc, 2 2 .S.AEF S.FDC=AF :FC, 故④正确： 综上所述，正确的有①②③④. 故选D, 题型四、垂直平分线相关几何综合题 典例1如图，△ABC中，∠BAC=6O°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D, DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,现有下列结论：①连接BD,CD,则BD=CD;② DE=DF:③DE+DF=AD:④DM平分∠EDF:⑤AB+AC=2AE.其中正确的有() 23/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B M E D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：如图，连接BD,CD, F 垂直平分， B M E D .·MD BC ..BD=CD ∴①正确： :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, :.DE DF, .②正确： ∠BAC=60°，AD平分∠BAC, ∠EAD=∠FAD=30°， DE⊥AB, .∠AED=90°， 0-0 同理得，FD= ∴DE+DF=AD, 24/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.③正确： 由题意得， ∠EDA=∠ADF=60°， ∴.∠EDF=60°+60°=120°， 假设MD平分∠EDF, .LEDM=∠MDF=60°， ∴.MD和AD重合， 但仅当AB=AC时，它们才重合，而题中也不能证得AB一定等AC, ∴不能判断MD一定平分∠EDF, ∴.④错误； :DM是BC的垂直平分线， ∴.DB=DC 在Rt△BED和Rt△CFD中， DE=DF BD=DC ∴.Rt△BED≌RtACFD(HL) .BE=FC, ..AB+AC=AE-BE+AF+FC, AE=AF,BE=FC. .AB+AC=2AE, ∴⑤正确： 综上所述，①②③⑤正确. 故选：D 题型模版 1.特征：题干直接写“DE垂直平分AB”或“DE是AB的中垂线”。给出“到两点距离相等”（如 PA=PB),或等腰三角形"三线合一”（顶角平分线垂直平分底边）。 25/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：看到“垂直平分线”，条件反射就是“连”！连完端点找等腰找全等、找最值。这招比角平分 线更直接，几乎不用绕弯。 变式1-I如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P,交BC的延 长线于太，连接PD、AK,则下列结论：OA=PD,②∠PK∠B,③PD∥AB,④S=Sam:⑥ 图中有5对全等三角形：©∠PKD=(∠4CB-∠B).其中正确的结论有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【详解】解：AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAE=∠PAE, PF⊥AE, ·∠AEF=∠AEP=90°， AE=AE, .△AFE≌△APE(ASA) ∴，AF=AP, FK垂直平分AD, .'AP=PD. AF=PD,故①正确： ,FK垂直平分AD, .AK =DK, .∠KAD=∠KDA, 26/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠B=∠ADK-∠BAD,∠KAC=∠KAD-∠DAC,∠BAD=∠CAD, .∠PAK=∠B,故②正确： :∠FAE=∠PAE,∠PAE=∠PDA, ∴.∠FAE=∠PDA, ∴.PD∥AB,故③正确： ,△AFE≌AAPE, S.AFE=SAPE .AE =DE, SAAPE =SADPE SAFE+SAPE =SAPE+SDPE , S6m=Sm,故④正确： AE=DE,PA=PD,PE=PE. △AEP≌ADEP(SSS) .AP=PC, :△AFE≌△DPE, ..AK=DK,PK=PK. △AKP2aDKP(SSS) .KE =KE, △AKE≌aDKE(SSS) .图中有5对全等三角形，故⑤正确： :∠AKC=∠ACB-∠CAK=∠ACB-∠B, ,△AKE≌ADKE, :.∠PKD=AKC, ∠PKD=(ACB-∠B),即⑥正确 综上，正确的有6个 27/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 中明图DaD再可底M多aaT中"云 并延长EF交AB于G,BG的垂直平分线分别交BG,AD于点M,点N,连接GN,CN,下列结论：① L4B;②GF=2EF:③∠GNC=12O°：④Sm边4Gwc=4 SAMGN:其中正确的结论序号是《 G 分 M D E A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】A 【详解】解：△ABC是等边三角形， .∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC, 1 :CE=2BC,F是AC的中点， 21 :.CF=CE, ∴.∠E=∠CFE ∠ACB=∠E+∠CFE=60°， ∠E=30°， .∠BGE=90°， .EG⊥AB,故①正确： 设AG=x,则AF=FC=CE=2x, ∴FG=V3xBE=6x RtABGE BG=3x EG=33x 中 28/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=EG-FG=3V3x-3x=23x :Gn=EF,故②正确： 2 ③如图，过N作NH⊥AC于H,连接BN, M B 在等边三角形ABC中， :AD⊥BC. .AD平分∠BAC,BN=CN, .MN⊥AB :NH =NM, :MN是BG的垂直平分线， :BN =NG. ∴.BN=CN=NG 在Rt△NGM和Rt△NCH中， MN=NH GN=NC, :.Rt△NGM≌Rt△NCH(HL). .∠GNM=∠CNH. .∠MNH=∠CNG :∠ANM=∠ANH=60°， .∠CNG=120°，故③正确： 29/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 设AG=a, 在Rt△AGF中，∠GAF=60°，∠AFG=30° ∴AF=2AG=2a,F是AC的中点，∴AB=AC=2AF=4a,则BG=3a, 3 设Sacw=g,则S,aw=38,S4m=Saawt+5oY=4,Saua2Sam=2, 2 :△ABC是等边三角形，AD⊥BC, ∴.AB=AC,∠BAD=∠CAD,AN=AN ∴△BAN≌ACAN(SAS). SAMBN =S.ACN =4S .Sg边形4GC=SAAGN+SACN=S+4s=5s 10 S四边形AGNC= SAMGN 3 故④错误， 故①②③正确. 故选：A 变式1-3如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D, 连接BD.则下列结论：①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③BC=AD;④OD=2CD.正确的有() 30/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：，AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D, .'AD=BD. .∠ABD=∠A=36°， AB=AC. ∠ABC=∠C=72° .∠C=2∠A,故①正确： .∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°， 、∠ABD=∠DBC, .BD平分∠ABC,故②正确： .∠BDC=∠C=180°-72°-36°=72°， :BC=BD=AD,故③正确： 由条件不能得出OD=2CD,故④错误. 故选：C 题型五、等边三角形相关几何综合题 典例1已知点C在线段AE上，分别以BCCE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE,连接BE与 CD相交于点N,连接BC与AD相交于点M,连接OCMN,则以下结论OAD=BE:② △ACM≌△BCN:③∠BOD=120°：④△MNC是等边三角形，正确的个数是() 31/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质，证明 △CBE≌△CAD,根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定方法，逐一进行判断 即可 【详解】解：：等边三角形ABC和等边三角形DCE, 、.∠ACB=60°，∠DCE=60°，CD=CE,CA=CB、 ,点C在线段AE上， :.∠BCD=180°-2×60°=60°，∠ACD=∠BCE=120°， ∴△CBE≌△CAD AD=BE,∠CBE=∠CAD;故①正确： .∠BCN=60°=∠ACM,AC=BC,∠CAM=∠CBN .△ACM≌△BCN:故②正确： ..CM=CN, :∠MCN=60°， ∴△MNC是等边三角形，故④正确： ,∠CBE=∠CAD,∠AMC=∠BMO ∴∠BOM=∠ACM=60° 、.∠B0D=180°-∠B0M=120°，故③正确： 故选D 题型模版 1.特征：直接给等边（如△ABC是等边三角形）。立刻标上三边相等、三角60°。含60°角。只要题干出现 32/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60°，心里立刻拉响警报—补全或构造等边三角形往往是破局关键。等边+动点/旋转。一个等边三角形 绕顶点旋转，必然带出“手拉手”全等模型。 2方法：等边一出，旋转开路；见60补全，遇手拉手找全等；算长度用勾股，压轴题转60°化折为直。 变式1-1如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，AB与ED相交于点F,有 以下结论：①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有() A.①② B.②③ c.①③ D.①②③ 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，根 据等腰三角形三线合一，即可一一判断. 【详解】解：~△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形， ∴AB=AC=BC,∠BAC=60°，AE=AD=ED,∠EAD=60°， ·AD是角平分线， ∴.∠DAB=∠DAC=30° ∴.AD⊥BC,故①正确，∠EAB=∠BAD=30°， .AB⊥ED,EF=DF,故②正确 ∴BE=BD,故③正确， 故选：D 变式1-2.如图，已知△ABD是等边三角形，BC=DC,E是AD上的点，CEllAB,与BD交于点P,则下 列结论正确的有() 33/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E ①连接AC,则AC垂直平分线段BD: ②△DEF是等边三角形： ③若∠CBD=40°，则∠DCE=30°： ④若AB=6,DE=2,则C℉=2. A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③④ 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC, B ,△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD,∠ABD=∠DAB=∠EDF=6O°， .BC=DC. ∴，点A、C都在线段BD的垂直平分线上， ∴.AC垂直平分线段BD,故①正确： CEI∥AB. .∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60° ∴.△DEF是等边三角形，故②正确： .BC=CD,∠CBD=40°， .∠CDB=∠CBD=40°. ,∠DFE=60°， :.∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误： 34/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC垂直平分BD,AB=AD,∠BAD=60°， .∠CAB=∠CAD=30°， .AB//CE. '.∠ACE=∠CAB=∠CAD, ∴CE=AE. :△ABD和△DEF都是等边三角形，AB=6,DE=2, .AD=AB=6,EF=DE=2. 、CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=6-2-2=2,故④正确： 综上，正确的结论有①②④。 变式1-3如图所示，在等边三角形ABC内有一点D,连接AD、BD,以AD为边做一个等边三角形ADE, 连接CE、DC,下列结论：①∠ABD=∠ACE,②BD=EC;③若∠ADB=150,则DE⊥EC:④若B、 D、C三点共线，则∠DEC=60°，其中正确的有() E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】证明△ABD≌△ACE,即可得到∠ABD=∠ACE,BD=EC,∠ADB=∠AEC判断O②，结合等边三 角形的性质判断③④，即可得出结论。 【详解】解：：△ABC,△ADE均为等边三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠AED=60°， .∠BAD=∠CAE=60°-∠DAC, △ABD≌△ACE(SAS) ·∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE,BD=EC,故①②正确： 若∠ADB=150°，则：∠ADB=∠AEC=150°， ∴.∠CED=∠AEC-∠AED=90°， 35/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE⊥EC,故③正确： 当B、D、C三点共线时，则点D在线段BC上，如图， B D ,∠ABC=60°，∠ABC+∠ADB+∠BAD=180° .∠ADB+∠BAD=180°-∠ABC=120°， .∠ADB<120°， ∴∠CED=∠AEC-∠AED=∠ADB-∠AED<6O°， 故∠DEC不可能等于60°，故④错误： 综上：正确的有3个： 故选C. 同压轴桃战一减克离珍压轴，突破思维上保 1.如图，在△ABC中，BD、BE分别是高、角平分线，G为线段BC上的一个动点（不与B、C重合）， AG与BE交于点P,给出下列四个说法： ①若点F为线段BC的中点，则28 ABG=SABC ②若∠C等于40°，则∠DBE等于20°： ③当2∠AGF=∠ABF+∠C时，∠APB=90°+ ④当∠CAG=∠DBE时，2∠DAP=∠BAC-∠C,其中正确的说法的个数是() 36/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【详解】解：由慰意知，当点6为线段BC的中点， BC 2S.c=Sc,①正确，故符合要求： :BD、BE分别是高、角平分线， ∴.∠BDA=∠BDC=90°，∠CBE=∠ABE 当∠C=40°时，∠CBD=180°-∠C-∠BDC=50° :.∠DBE=50°-∠CBE,此时无法求解∠DBE,②错误，故不符合要求： 由题意知， 2∠AGF=2(LGAC+∠C)=2∠GAC+2∠C∠ABF+∠C=∠BAC+∠C+∠C=∠BAC+2∠C .·2∠AGF=∠ABF+∠C, ∴.2∠GAC+2∠C=∠BAC+2∠C,即∠BAC=2∠GAC, .AG是∠BAC的平分线， 由题意知，2aPg=18w-(BP+∠ABn）=1i8-GB4C+A8C=10-so-∠C)=0+号c 1 、∠APB=90°+)∠C,③正确，故符合要求： 29 如图，记AGBD的交点为M, P F B G .∠CAG=∠DBE,∠CAG+∠AMD+∠ADB=1I8O°=∠DBE+∠BMP+∠BPA,∠AMD=∠BMP, ∴.∠BPA=∠ADB=90°，即BP⊥AG, ,BP是角平分线， 37/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABG是等腰三角形， .∠BAG=∠AGB=∠DAP+∠C, ·.∠BAC-∠C=∠BAG+∠DAP-∠C=∠DAP+∠C+∠DAP-∠C=2∠DAP,④正确，故符合要求： 故选：B 2.如图，在三角形ABC中，点D,E是边AC上两点，点F在边AB上，将三角形BDC沿BD折叠得三 角形BDG,DG交AB于点H,将三角形EFA沿EF折叠恰好得到三角形EFH,且HE∥BD.下列四个结 论： B G E ①EF⊥AB: ②∠EHD=∠HED: ③∠A=∠ADH: ④∠EHD=2∠HBD: ⑤若4∠ABC=3∠AHD,则∠ABD=4∠ABG 其中，一定正确的有(） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可得EF⊥AB;①正确，故符合要求： 由折叠的性质可得△BCD≌aBGD,△EFA≌△EFH, ∴：∠DBC=∠DBG,∠A=∠EHA,∠HDB=∠BDC, HE∥BD, ·.∠EHD=∠HDB=∠BDC,∠AHE=∠ABD ∠EDH=180°-（∠HDB+∠BDC)=180°-2∠HDB ,∠EHD+∠EDH+∠HED=18O°， ∴.∠EHD+180°-2∠HDB+∠HED=180°. ∴.∠EHD=∠HED,②正确，故符合要求： 38/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADH=180°-∠A-∠AHD=180°-4∠A,无法判断∠A与∠ADH的关系，③错误，故不符合要求： ,∠HED=∠A+∠AHE=2∠A, ∴.∠EHD=2∠A, ,∠HBD+∠A=∠BDC, &∠HBD+)∠EHD=∠EHD ∴，∠EHD=2∠HBD,④正确，故符合要求： .·4∠ABC=3∠AHD 4(∠ABD+∠DBC)=3(∠AHE+∠EHD) ·2∠EHD+4∠DBC=3∠ABD+3∠EHD」 :4(∠DBC-∠ABD)+∠ABD=∠EHD 4(∠DBG-∠ABD)+∠ABD=∠EHD,即4ABG+∠ABD=∠EHD ∴4∠ABG=∠EHD-∠ABD=∠BDC-∠ABD=∠A=∠ABD,⑤正确，故符合要求： 综上：①②④⑤正确. 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识. 解题的关键在于明确角度之间的数量关系， 3.如图，∠ABC=∠ACB,BD、CD、BE分别平分∠ABC,外角∠ACP,外角∠MBC,以下结论：① AD∥BC,②BD⊥BE,③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可. 39/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：①设点A、B在直线MF上， ,BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP, D .AD平分△ABC的外角∠FAC, ∴∠FAD=∠DAC, ,∠FAC=∠ACB+∠ABC,且∠ABC=∠ACB, .∠FAD=∠ABC ADBC,故①正确。 ②：BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC, ∠DE=∠D6c+∠Bc-4c+号Mnc-x1s0=90, .EB⊥BD,故②正确 ③·∠DCP=∠BDC+∠CBD,2∠DCP=∠BAC+2∠DBC, .2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2LDBC, :∠BDC=)∠BMC. 2 ∠BAC+2∠ACB=180°， ÷2∠B1C+∠ACB=90 ·.∠BDC+∠ACB=90°，故③正确： ④：LBEC=180°-)(ZMBC+∠NCB)=180°-号(LBAC+∠ACB+LBAC+∠ABC)=180°-(I80°+∠BAC :∠BEC=90°-∠BAC ·.∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确 故选：D, 40/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点F,D,E分别是边AB、BC、AC上的点，且AD,BE,CF相 交于点O,若点O是△ABC的重心.则以下结论：①线段AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线：② △BOD 的面积是△10C面积的一半，③图中与△B0C 面积相等的三角形有2个： SAn=Sac0E,⑤ 0F-写0，共一定正的结论有() F E B A.1 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段AD,BE,CF是△ABC的三条中线，可判断①错误，继而 mD=cm=S.c=S.C=.=.cS.moD=S.coDS.O=8.cOS.0r=.0F 步推出 n=Sm=Sas=及.cae=Sam=.r,然后逐个分析即可： 【详解】解：①：AD,BE,CF相交于点O,点O是△ABC的重心，重心是三条中线的交点， ∴线段AD,BE,CF是△ABC的三条中线，故①错误： ,三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， .m..cn.-.c.v.we-.wc 2 SBOD =SACOD SAOE =SACOESAOF=SBOF .S.AOD=S.BACE-S四边形CDOE,S4OE=SACD-S四边形DOE S△BOn=SAAOE 同理可求： Sn=Sm=Sm=S.ae=S.ar=Sr,放④正确： 41/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BOD的面积是△AOC面积的一半，故②正确： 图中与△BOC面积相等的三角形有△A0C,△4OB共2个，故③正确： :S.e=3S,,△BOF与ABCF等高， 3 ..OF =CF 3 :CF与AD不一定相等， :OF=34D不-一定成立，故⑤错误： 3 综上所述，正确的结论有②③④，共3个. 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm,D为BC中点，E,F分别是AB,AC两边上的动 点，且∠EDF=90°，下列结论： ①BE=AF: ②∠AGF=∠AED: ®S,S,分别表示AABC和△EDF的面积，则4S≤8，≤S; ④△AEF的周长不变. 其中正确的结论有() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①③④ 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可证△ADE≌△CDF,根据全等三角形的性质可证①结论正确；根据 △ADE≌aCDF可证△DEF是等腰直角三角形，根据三角形外角的性质可证∠AGF=∠AEG+45°，根据角 之间的关系可知∠AED=∠AEG+45°，可得②结论正确：当点E与点B重合时，点F与点A重合，可得 ,-2S,当DE⊥AB时，DF1AC,可得：S=4,可证③结论正确：EF的长度随AE的变化而变 化，所以△AEF的周长是变化的，可知④结论错误。 42/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：~∠BAC=90°，AB=AC=6cm,D为BC中点， .∠B=∠C=45,BD=CD:∠ADB=∠ADC=90°， ∠BAD=∠DAC-)BMC=45° ∴.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°， .BD=AD=CD. ∴.∠CDF+∠ADF=90°， .∠EDF=90° ∴∠ADE+∠ADF=90°. ∴∠ADE=∠CDF, 在△ADE和△CDF中， I∠BAD=∠C AD=CD ∠ADE=∠CDF ∴.△ADE≌ACDF(ASA) ∴AE=CF, .AB-AE=AC-CF, ∴.BE=AF,故①结论正确： :AADE≌aCDF, :DE=DF, :∠DEF=∠DFE=45°， ∴.∠AED=∠AEG+∠DEF=∠AEG+45°. :∠AGF是△AEG的外角， ∴.∠AGF=∠AEG+∠BAD=∠AEG+45° .∠AGF=∠AED,故②结论正确： 8-DsDr-DE。 “当点E与点B重合时，点F与点A重合，此时DB取得最大值，即最大， S 此时△DEF与△ABD重合， 43/63 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则S=Sm=2S,c=2S, 当DE上MB时，DF1AC,此时DE取得最小值，即最小， S t时DE=4B,DF=4C, 2 :48≤品≤28，枚③结论正确： :AADE≌ACDF, ∴.AE=CF .AE+AF=AC =6cm, ∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AC+EF=6+EF, DE=DF,∠EDF=90°，即△EDF为等腰直角三角形， ∴斜边EF的长度随DE长度的变化而变化， 即△AEF的周长是变化的，故④结论错误； 综上所述，正确的结论有①②③. 故选：A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、垂线段最短， 熟练掌握以上知识点是解题的关键， 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,点F在边AC上运动，作FG ⊥AE,交AD于点G,交AE于点H,连接HD,DF,若此时满足HD=HF,DF⊥AC.有以下结论： D∠4GH=∠CME+∠C,②R=E,③∠D1G=2☑MF,③Sa4w=Sm+Sm.其中正确的有 ()个 44/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到∠AGH=∠AED=∠CAE+∠C,进而判断①： 先假设HF=HE,进而根据等腰三角形的性质与判定得出∠BAC=9O°，即可判断②，根据等角的余角相等， 以及三角形的外角的性质，即可判断③，延长FC交4B于点M,连接DM,证明△MM≌a1r(ASA） 得出MH=HF,进而证明MD∥1C,根据平行线间的距离相等得出S S.MDF =SMDA “,进而判断④，即可求 解。 【详解】解：：AD⊥BC,FG⊥AE, ·∠DAE+∠AED=90,∠AGH+∠DAE=90 ∴∠AED=∠AGH, 又，∠AED=∠CAE+∠C, :.∠AGH=∠CAE+∠C,故①正确： 若HF=HE, .HD=HF ∴.HD=HE, ∴.∠HDE=∠HED :AD⊥BC, ∴.90°-∠HDE=90°-∠HED,即∠HDA=∠HAD, .HA=HD, .HF=HA ·.∠EAC=45°，则∠BAC=90°， 45/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴仅当∠BAC=90°时，有HF=HE,故②不正确： 设∠HFD=a, HD HF ∴.∠HFD=∠HDF=a ∴.∠DHG=2a, ,DF⊥AC ∴.∠AFH=90°-a 又：AE⊥FG, ∠HAF=90°-∠HFA=a ·.∠DHG=2LHAF,故③正确 如图所示，延长FG交AB于点M,连接DM, G M B E AE平分∠BAC,AE⊥FG, 、.∠MAH=∠FAH,∠AHM=∠AH=90° 又，AH=AH △AHM≌△AHF(ASA) .MH =HF, SAM=S.AFH HF =HD .MH HD .∠HMD=∠HDM .'∠MHD=∠GHD=2a 46/63 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠MD=∠ZHDM=180°-2）=90°-a=∠AFH ∴.MD∥AC SMDE =SMDA SAIDF-S.MDG=S.MDA-SMDG SAMG=SAGDF ,即 SAAHF =S.AHM =S.AMG +S.AGH =S.GDF +S.AGH SAAHD +SAFHD S△AHr=S△AHD+S△FHD 故④正确 故正确的有①③④ 故选：C 7.如图，在Rt△ABC中，AB=CB,BO1AC,把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重 合，展开后，折痕AD交BO于点F,连接DE,EF.下列结论： ①AB:BD=2:l； ②图中有4对全等三角形： ③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上： ④BD=BF: 四边形DrOE=S△AOF ⑤ 其中正确的个数是() D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：：AB=CB,BO⊥AC,∠ABC=90°， 47/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AO=CO=BO,∠AB0=LBAO=∠C=∠CBO=45°， ~把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合， .△ABD≌△AED. ∴∠ABD=∠AED=9O°，BD=DE,AB=AE, ∠EDC=LC=45°， :.DE=EC, :CD=2DE=2BD, .AB=BC=BD+CD=(1+2)BD ，故①错误， 在△ABO和△CBO中， A0=CO ∠AOB=∠COB BO=BO :∴.△ABO≌ACBO(SAS) △ABD≌AAED. ∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE, 在△ABF和△AEF中， AF=AF ∠BAF=∠EAF AB=AE ∴.aABF≌△AEF(SAS) 在△BDF和△EDF中， BD=DE DF=DF BF=EF ∴.ABDF≌aEDF(SSS) .图中共有4对全等三角形，故②正确： 48/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BDFSEDF, ∠FBD=∠FED=45°， :∠AED=90°， ∠AEF=∠DEF, ∴将△DEF沿EF折叠，则点D一定落在AC上，故③错误； ∠AFO=90°-∠FA0,∠ADB=90°-∠BAD, ∠ADB=∠AFO=∠BFD, BF=BD,故④正确： 连接CF, E B C D .·AO=CO S.AFO=S.CFO :∠AEF=∠ACB=45°， .EF∥BC, .S.EED=S.EFC .S四边形ObDr=S.cro S四边形OEDF=SA ,故⑤正确， 故选：C 8.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的 过程中，其两边分别与射线OA,OB交于点M,N,则以下结论：①PM=PN恒成立；②OM+ON的 值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的为() 49/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【详解】解：点P在∠AOB的角平分线上， .∠AOP=∠BOP 如图所示，过点P作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点B, M E B .∠PEO=∠PFO=90°，PE=PF, ..OP=OP .△PEO≌aPFO, ..OE=OF, 在四边形PEOF中，∠AOB+∠EPF=180°， :∠AOB+∠MPN=180°， ∴.∠MPN=∠EPF,即∠MPE+∠EON=∠EON+∠NOF, ∴.∠MPE=∠NPF, AMPE≌△NPF(AAS) :.PM=PN,故①正确： 50/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由△MPE≌△NPF可得ME=NF, .OM+ON=OE+EM+OF-F=2OE=2OF,故②正确： 由△MPE≌△NP SAMPE =SANPE 可得 SAMPE+SAFPO+SAOPN=SAEPO+SAOPN+S△Nr=S四边形PMON=Sg边形EOF ∴，四边形PMON的面积是定值，故③正确： M E B 如图所示，连接EF,由上述结论可得，PM=PN,PE=PF,∠MPN=∠EPF,PM>PE,PN>PF, MN≠EF,即MN的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B 9.如图，在△ABC中，点P是边BC上一点，连接AP,过点P作PR⊥AB交AB于点R,过点P作 PS⊥ACAC AS PO AO=PO PR=PS 交于点S,点Q为线段上的点，连接，若 ,则下列三个结论：① AS=AROP∥AR△BPR≌AOSP :②1 ;③ ,其中所有正确的结论个数为() R P A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【详解】解：①，PR⊥AB,PS⊥AC, 51/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ARP和Rt△ASP中， PR=PS AP=AP, RtAARPS≌RteASP(HL) AS=AR,故①正确： ②AQ=P2, ·.∠PA0=∠AP2, 又，Rt△ARP≌Rt△ASP, .∠RAP=∠PAg, ·∠APg=∠RAP :.P∥AR,故②正确： ③在△BPR与△QSP中，只能得到PR=PS,∠PSO=∠PRB不能判断三角形全等，故③错误， 综上所述，正确的结论是①②，共2个， 故选：C 10.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,连接MD, 过点D作ON LMD,交BM于点N,CD与BM相交于点E,若点E是CD的中点，则下列结论：① 4C=E:②DM=DN,gSam=3S其中正确的有《)个. D A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】A 【详解】解：：∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,BM1AC于点M, ∴.LADC=LEDB=LAMB=∠CME=90°， .∠DCB=∠DBC=45°，∠ACD=∠EBD=90°-∠A, 52/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=BD, 在△ACD和△EBD中， ∠ACD=∠EBD CD=BD ∠ADC=∠EDB' △ACD≌AEBD(ASA)） .AC=BE, 故①正确： .DN⊥MD, ∴.∠WDM=90° .∠CDM=∠BDN=90°-∠CDN, 在△CDM和△BDN中， I∠CDM=∠BDN CD=BD ∠MCD=∠NBD' ACDM≌aBDN(ASA) .'DM =DN 故②正确： 作DF⊥MN于点E,如图： A D FE B 则FN=FM,∠DFE-∠CME=90°， SADEN SADEM :点E是CD的中点， 53/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'DE=CE, 在△EFD和△EMC中， [∠DEF=∠CEM ∠DFE=∠CME DE=CE △EFD≌AEMC(AAS) EF-EM SAHD=SARMC SAEMD=SAEFD=S△BEMC SADFN SADEM =2SAEFD =2SAEMC SADEN SADEN +SARFD =2SAEMC +SAEMC =3SARMC 故③正确， 故选：A: 11.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=32,AD⊥BC,∠ABC的平分线交AD于点E,且DE=8.将 ∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合，①BD=16:②点E到AC的距离为8：③∠AGE+∠EMD=2LC, ④AB=2AE,以上结论正确的个数是() E D M A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可判断①：根据角平分线的性质可判断②：由折叠的性质及和角关系、三 SA哑=AE=AB 角形内角和可判断③：由SANDE DE BD,得AB=2AE,即可判断④. 【详解】解：：AB=AC,BC=32,AD⊥BC, 54/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &BD=6C=16 3 故①正确： 如图，过点E作EF⊥AB,EH⊥AC,垂足分别为F,H, ,BE平分∠ABC, ∴ED=EF=8: AB=AC,AD⊥BC, .AD平分∠BAC, ∴.EH=EF=8, 即点E到AC的距离为8： 故②正确： D M 由折叠知，LCGM=LEGM,∠CMG=∠EMG: ,∠AGE=180°-∠CGM-∠EGM=180°-2∠CGM, 同理，∠EMD=180°-2∠CMG. :.∠AGE+∠EMD=360°-2(LCMG+∠CGM) =360°-2180°-∠C) =2LC: 故③正确： AE·BD B.EF 2 ,S△BDE DE·BD 2 BD.DE AE AB 即DEBD, AEAB 816 55/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AB=2AE; 故④正确： 综上，正确的有4个： 故选：A 12.如图，△ABC中，∠ACB=60°，AG平分∠BAC交BC于点G,BD平分∠ABC交AC于点D,AG、 BD相交于点F,BE⊥AG交AG的延长线于点E,连接CE,下列结论中正确的有() SANEG=BF ①若∠BAD=70°，则∠EBC=5°：②BE=CE:③AB=BG+AD:④S△mAF G E A.①③ B.①③④ C.①②④ D.②③ 【答案】B 【详解】解：①∠ACB=60°，∠BAD=70°， ÷.∠ABC=180°-∠ACB-∠BAD=180°-60°-70°=50°， :AG平分∠BAC,BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC=25°，∠BAG=∠CAG=35°， .∠BFE=∠ABD+∠BAG=25°+35°=60°， BE⊥AG, ∴.∠BEF=90°， ∴.∠FBE=90°-∠BFE=90°-60°=30° .∠EBC=∠FBE-∠FBG=30°-25°=5°， 故结论①正确； ②如图，延长BE,AC交于点H, 56/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E :AG平分∠BAC,BE⊥AG, ∴.∠BAE=∠HAE,∠AEB=∠AEH=9O°， 在△ABE和△AHE中， ∠BAE=∠HAE AE=AE ∠AEB=∠AEH' △ABE≌△AHE(ASA) ∴.BE=HE, 假设HE=CE, 则BE=HE=CE, ∴.∠EBC=∠ECB,∠ECH=∠EHC .∠BCH=∠BCE+∠HCE=∠EBC+∠EHC, ,∠BCH+∠EBC+∠EHC=I8O°， ∠BCH=90°， .∠ACB=180°-∠BCH=180°-90°=90°，与∠ACB=60°矛盾， ∴假设不成立，即HE≠CE, ∴BE≠CE, 故结论②错误： ③如图，在AB上截取BN=BG,连接NF 57/63 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N D G E :BD平分∠ABC,AG平分∠BAC,∠ACB=60° ÷∠ABD=∠DBC=)∠ABC,∠BAG=∠CAG= ∠BAC, ∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=180°-60°=120°， &∠FAB+∠F4=BAC+∠ABC)-=x12w=60. ∠AFB=180°-（∠FAB+∠FBA4)=180°-60°=120° .∠BFG=180°-∠AFB=180°-120°=60°， 在△BFN和△BFG中， BN=BG ∠NBF=∠GBF BF=BF △BFN≌△BFG(SAS) .∠BFN=∠BFG=60°. ∴.∠AFN=∠AFB-∠BFN=120°-60°=60°， ,∠BFG=∠AFD .∠AFD=60°=∠AFN, 在△AFD和△AFN中， ∠DAF=∠NAF AF=AF ∠AFD=∠AFN' △AFD≌AAFN(ASA) 58/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AD=AN, ∴.AB=BN+AN=BG+AD. 故结论③正确： ④如图，过点N作NP⊥BF于P,NO⊥AF于Q, B :∠AFN=∠BFN=60°，NP⊥BF,Ng⊥AF, .NP=NO, SAMN=2 F.NP BF 2AF-NO AF. :△BFN≌△BFG,△AFD≌△AFN, SABEN=S△FGS△MD=S△AN SABG=S△=BF :SAAFD S△AwAF, 故结论④正确； ∴.正确的结论有①③④. 故选：B 13.如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=9O°，AE⊥BD于点E,连接CD, 分别交AE、AB于点R、G,过点A作AH⊥CD交BD于点H,则下列结论：①∠ADC=I5°：②△AFG是 等腰三角形：③△ADF≌△BAH；④∠CGB=75°.其中正确的有() 59/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 【答案】B 【详解】解：，△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， .∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°， ∴.aCAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， :.∠ADC=15°，故①正确： ,AE⊥BD,即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， :.∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， .∠AGF=75°， ∴.△AFG三个内角都不相等， “.△AFG不是等腰三角形，故②错误； 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°. 在△ADF和△BAH中， ∠ADF=∠BAH,DA=AB,∠DAE=∠ABD=45°， :△ADF≌ABAH(ASA) .DF=AH,故③正确： :△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， :∠ADC=15°=∠ACD. .∠BCG=45°. 60/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷.∠CGB=180°-∠ABC-∠BCG=180°-60°-45°=75°，故④正确； 故选：B 14.如图，己知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连接AD,AC,BC,BD,若 AD=AC=AB,则下列结论：①AE垂直平分CD,②△ABD是等边三角形，③AC平分∠BAD,④ ∠BCD的度数为120°.其中正确的结论为() D A.①③④ B.①② C.①②③④ D.①②③ 【答案】D 【详解】解：：△ABE与△CDE都是等腰直角三角形， ·AE=BE,DE=CE, ·∠AEB=∠DEC=90°， ∴.∠AEC=∠DEB、 在△AEC和△BED中， AE=BE ∠AEC=∠DEB CE=DE △AEC≌aBED(SAS) ∴AC=BD ..AD=AC=AB, ∴.AD=BD=AB, ∴.△ABD是等边三角形 .∠DAB=60° 故②正确， ∴.∠ABD=∠BAD=∠ADB=60°， 61/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABE与△CDE都是等腰直角三角形， .∠EAB=∠ABE=45° .∠DAE=∠DAB-∠EAB=60°-45°=15° AD=AC,CE=DE. ·AE垂直平分CD 故①正确， .∠CAE=∠DAE=15° ∴.∠CAD=30°，∠CAB=∠EAB-∠CAE=45°-15°=30° ∴.∠CAD=∠CAB=30° ·.AC平分∠BAD 故③正确， :aABC为等腰三角形，顶角∠BAC=30°， ∴.∠ACB=∠ABC=75°， 同理∠ACD=∠ADC=75°， ∴.∠BCD的度数为75°+75°=150° 故④不正确 故选：D. 15.如图，在等边△ABC中，D,E,分别为AB,BC边上的两个动点，且总使BD=CE,AE与CD相交于 点F,AG⊥CD于点G,以下结论：①△ACE≌△CBD;②AF=2FG;③AC=2CE.其中正确的有 () B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【详解】解：，△ABC为等边三角形， 62/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=CB,∠ACE=∠B=60°， 在△ACE和△CBD中， AC=CB ∠ACE=∠B CE=BD :.△ACE≌△CBD,故①正确： ,△ACE≌△CBD, .∠CAE=∠BCD ∴.∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， :AG⊥CD, ∴.∠AGF=90°， ∠FAG=30°， ∴.AF=2FG,故②正确： ,E为BC边上的动点， ∴.BC不一定等于2CE, ..AC=CB. ∴.AC不一定等于2CE,故③错误. 故选：C 63/63