奥数思维培优 第14讲 盈亏问题·比较思想（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第14讲 盈亏问题 · 比较思想 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第14讲 专题 盈亏问题——比较思想 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 除法；相差数 核心方法 两次分配作差求人数 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握一盈一亏、双盈、双亏、盈尽的解题模型。 过程与方法 通过两次分配的比较寻找差额。 思维品质 体会比较与对应的思想。 情感应用 会解决分物、住宿、划船等盈亏类实际问题。 三、情境导入 一筐苹果分给小朋友，每人5个多10个；每人7个又少6个。小朋友到底有几人？ 想一想：两次分法不同，结果一个多一个少，怎么统一比较？ 悬念："多"与"少"之间藏着答案！ 图1 分苹果 今天我们就来学习用"比较"解决盈亏问题。 四、知识导航 把两次分配的结果作比较，差额÷两次每人分的差=人数。 图2 盈亏公式 类型 公式 一盈一亏 (盈+亏)÷每人差=人数 双盈 (大盈−小盈)÷每人差=人数 双亏 (大亏−小亏)÷每人差=人数 一盈一尽 盈÷每人差=人数 求出人数后，代入任一次分配求物品总数。 五、易错辨析 常见错误 正确做法 双盈用相减 大盈−小盈 双亏用相减 大亏−小亏 忘记检验 求人数后代入验证 分不清盈和亏 多出来是盈，不够是亏 六、典例精讲 本讲安排6道例题，覆盖四种盈亏类型；每例后附一道变式练习。 例1【一盈一亏】 题目：老师把苹果分给小朋友，每人5个多10个，每人7个少6个。一共有多少个小朋友？ 分析：第一次多10个（盈），第二次少6个（亏），差额=盈+亏，每人差=7−5。 详解： 差额：10+6=16（个）。 每人差：7−5=2（个）。 人数：16÷2=8（人）。 验证：5×8+10=50，7×8−6=50（个）。 答：一共有8个小朋友。 图3 一盈一亏 方法点睛：一盈一亏：人数=(盈+亏)÷每人差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：分糖果，每人4块多8块，每人6块少4块。有多少人？ 解答： 差额8+4=12，每人差2，12÷2=6（人）。 点拨：与例1同法：盈+亏再除以差。 例2【双盈】 题目：把一批练习本分给同学，每人6本多20本，每人8本多4本。有多少名同学？ 分析：两次都多，取差：大盈−小盈，除以每人差。 详解： 差额：20−4=16（本）。 每人差：8−6=2（本）。 人数：16÷2=8（人）。 验证：6×8+20=68，8×8+4=68（本）。 答：有8名同学。 图4 双盈 方法点睛：双盈：人数=(大盈−小盈)÷每人差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：分点心，每人5块多14块，每人7块多2块。有多少人？ 解答： 差额14−2=12，每人差2，12÷2=6（人）。 点拨：与例2同法：大盈−小盈。 例3【双亏】 题目：把一批书分给学生，每人9本少12本，每人7本少4本。有多少名学生？ 分析：两次都不够，取差：大亏−小亏，除以每人差。 详解： 差额：12−4=8（本）。 每人差：9−7=2（本）。 人数：8÷2=4（人）。 验证：9×4−12=24，7×4−4=24（本）。 答：有4名学生。 图5 双亏 方法点睛：双亏：人数=(大亏−小亏)÷每人差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：分彩笔，每人8支少10支，每人6支少2支。有多少人？ 解答： 差额10−2=8，每人差2，8÷2=4（人）。 点拨：与例3同法：大亏−小亏。 例4【一盈一尽】 题目：学校给宿舍分配床位，每间住5人多8人，每间住7人正好住满。宿舍有多少间？ 分析：第二次正好（盈为0），差额=盈−0，除以每间差。 详解： 差额：8−0=8（人）。 每间差：7−5=2（人）。 间数：8÷2=4（间）。 人数：7×4=28（人）。 答：宿舍有4间。 图6 一盈一尽 方法点睛：盈尽：份数=盈÷每人差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：宿舍每间住6人多14人，每间住8人正好。有几间宿舍？ 解答： 差额14−0=14，每间差2，14÷2=7（间）。 点拨：与例4同法：盈÷每间差。 例5【盈尽求总数】 题目：把一筐橘子分给小朋友，每人5个多10个，每人6个正好分完。有多少个小朋友？这筐橘子有多少个？ 分析：第二次正好分完，差额=10，每人差=6−5。 详解： 差额：10−0=10（个）。 每人差：6−5=1（个）。 人数：10÷1=10（人）。 橘子：6×10=60（个）。 答：有10个小朋友，60个橘子。 图7 盈尽求总数 方法点睛：先求人数，再求总数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一盒点心分给同学，每人3块多18块，每人5块正好分完。有多少名同学？ 解答： 差额18−0=18，每人差2，18÷2=9（人）。 点拨：与例5同法：盈÷每人差。 例6【综合盈亏】 题目：老师买来一批铅笔，每人分3支多20支，每人分5支少10支。班上有多少名学生？ 分析：一盈一亏的综合应用：差额=盈+亏。 详解： 差额：20+10=30（支）。 每人差：5−3=2（支）。 人数：30÷2=15（人）。 验证：3×15+20=65，5×15−10=65（支）。 答：班上有15名学生。 图8 综合盈亏 方法点睛：先判断类型再代公式，最后验证。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：分故事书，每人2本多30本，每人4本少10本。有多少人？ 解答： 差额30+10=40，每人差2，40÷2=20（人）。 点拨：与例6同法：一盈一亏。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【一盈一亏】（某名校小升初真题） 题目：老师给同学们发铅笔，每人3支多16支，每人5支少8支。一共有多少名同学？ 分析：典型一盈一亏，差额=盈+亏。 详解： 差额：16+8=24（支）。 每人差：5−3=2（支）。 人数：24÷2=12（人）。 答：一共有12名同学。 方法点睛：一盈一亏求人数：差额÷每人差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：每人4支多10支，每人6支少6支。有多少人？ 解答： 差额10+6=16，每人差2，16÷2=8（人）。 点拨：与真题1同法。 真题2【租船问题】（某重点中学分班考试真题） 题目：同学们去划船，每条船坐5人多10人，每条船坐7人少6人。一共有多少条船？多少名同学？ 分析：船数相当"人数"，一盈一亏先求船数再求人数。 详解： 差额：10+6=16（人）。 每条船差：7−5=2（人）。 船数：16÷2=8（条）。 人数：5×8+10=50（人）。 答：有8条船、50名同学。 方法点睛：租船、住宿等问题的"份"就是船或房间。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：每条船坐6人多12人，每条船坐8人少4人。有多少条船？ 解答： 差额12+4=16，每条差2，16÷2=8（条）。 点拨：与真题2同法。 八、方法总结表 类型 公式 说明 一盈一亏 人数=(盈+亏)÷差 多+少 双盈 人数=(大盈−小盈)÷差 大−小 双亏 人数=(大亏−小亏)÷差 大−小 一盈一尽 人数=盈÷差 盈−0 九、解题口诀 盈亏问题有诀窍，两次分配来比较； 一盈一亏加一加，双盈双亏减一减； 所得差额除以差，人数份数就出来； 求出人数要检验，代入分法全对好。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 分橘子，每人5个多7个，每人6个少3个。有多少人？ A2. 分糖果，每人4块多16块，每人6块多4块。有多少人？ A3. 分图书，每人7本少10本，每人9本少20本。有多少人？ A4. 宿舍每间住6人多12人，每间住8人正好。有几间宿舍？ A5. 分苹果，每人2个多6个，每人4个正好分完。有多少人？ B组 能力提升（5题） B6. 发练习本，每人3本多24本，每人5本少16本。有多少人？ B7. 分点心，每人6块多18块，每人8块多6块。有多少人？ B8. 分铅笔，每人9支少12支，每人7支少4支。有多少人？ B9. 分鲜花，每人4朵多20朵，每人6朵正好。有多少人？多少朵花？ B10. 发本子，每人4本多32本，每人6本少8本。有多少人？ C组 思维挑战（5题） C11. 分橘子，每人5个多10个，每人7个少8个。有多少人？多少个橘子？ C12. 分糖果，每人8块少6块，每人10块少16块。有多少人？ C13. 宿舍每间住6人多18人，每间住8人正好。有几间宿舍？多少人？ C14. 同学们划船，每条船坐4人多20人，每条船坐6人少10人。有多少条船？多少名同学？ C15. 把一批书分给同学，每人5本多40本，每人8本少20本。有多少名同学？多少本书？ 十一、参考答案与详细解析 A1 差额7+3=10，每人差1，10÷1=10（人）。 A2 差额16−4=12，每人差2，12÷2=6（人）。 A3 差额20−10=10，每人差2，10÷2=5（人）。 A4 差额12−0=12，每间差2，12÷2=6（间）；8×6=48（人）。 A5 差额6−0=6，每人差2，6÷2=3（人）；4×3=12（个）。 B6 差额24+16=40，每人差2，40÷2=20（人）。 B7 差额18−6=12，每人差2，12÷2=6（人）。 B8 差额12−4=8，每人差2，8÷2=4（人）。 B9 差额20−0=20，每人差2，20÷2=10（人）；6×10=60（朵）。 B10 差额32+8=40，每人差2，40÷2=20（人）。 C11 差额10+8=18，每人差2，18÷2=9（人）；5×9+10=55（个）。 C12 差额16−6=10，每人差2，10÷2=5（人）；8×5−6=34（块）。 C13 差额18−0=18，每间差2，18÷2=9（间）；8×9=72（人）。 C14 差额20+10=30，每条差2，30÷2=15（条）；4×15+20=80（人）。 C15 差额40+20=60，每人差3，60÷3=20（人）；5×20+40=140（本）。 十二、本讲小结 本讲学会了用"比较"思想解决盈亏问题：把两次分配作差，差额÷每人差即得人数，再用任一次分配求出总数；关键是要先判断盈亏类型。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 类型判断 一盈一亏相加，双盈双亏相减 差额方向 大数减小数 单位 差额与每人差单位要一致 忘记验证 求出人数后代回检验 学习建议：把两次分配画成示意图再比较；下讲预告：第15讲 逻辑推理·排除列表。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $