奥数思维培优 第10讲 格点与面积·皮克定理（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第10讲 格点与面积 · 皮克定理 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第10讲 专题 格点与面积——皮克定理 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 多边形面积公式；割补法 核心方法 数格点；皮克定理 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 会数边界格点与内部格点，会用皮克定理求面积。 过程与方法 经历"数点→套公式"的过程。 思维品质 培养数形结合思想。 情感应用 感受格点图中隐藏的数学规律。 三、情境导入 在方格纸上，每两条线交叉的地方叫"格点"。多边形的顶点都在格点上，怎么求面积？ 动脑筋：数格子？边上的格子算一半？ 发现：只要数清"边界格点"和"内部格点"，就有公式！ 图1 格点多边形 这个神奇公式叫"皮克定理"。 四、知识导航 皮克定理： 图2 皮克定理示意 公式：S=N+B÷2−1 符号 含义 怎么数 B 边界格点数 沿多边形边线数交点 N 内部格点数 多边形内部的完整格点 S 面积 套公式计算 注意：皮克定理要求多边形顶点都在格点上。 五、易错辨析 常见错误 正确做法 边界点数漏 边线上的格点都要算 内部点与边界点混 内部点不含边界上的 公式记错 S=N+B÷2−1 多边形含圆弧 皮克定理只适用于格点多边形 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从数格点到皮克定理；每例后附一道变式练习。 例1【数格点长方形】 题目：方格纸上一个长方形，长5格、宽3格（顶点在格点上）。面积是多少？ 分析：直接数：每格面积1，长×宽。 详解： 长=5格，宽=3格。 S=5×3=15（格）。 图3 格点长方形 方法点睛：规则图形直接用面积公式。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：格点长方形长7格宽2格，面积是多少？ 解答： S=7×2=14（格）。 点拨：与例1同法：长×宽。 例2【格点三角形】 题目：格点三角形，底6格、高3格。面积是多少？ 分析：规则三角形直接用公式：底×高÷2。 详解： S=底×高÷2。 =6×3÷2=9（格）。 图4 格点三角形 方法点睛：规则图形优先用面积公式。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：格点三角形底8格高4格，面积是多少？ 解答： S=8×4÷2=16（格）。 点拨：与例2同法：底×高÷2。 例3【皮克定理入门】 题目：五边形各顶点在格点上（如图）：边界格点B=10，内部格点N=6。面积是多少？ 分析：直接用皮克定理S=N+B÷2−1。 详解： S=N+B÷2−1。 =6+10÷2−1=6+5−1=10（格）。 图5 皮克定理入门 方法点睛：皮克定理：S=N+B÷2−1，先数再算。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：某格点多边形B=8，N=5。面积是多少？ 解答： S=5+8÷2−1=5+4−1=8（格）。 点拨：与例3同法：套皮克定理。 例4【直角三角形验证】 题目：直角三角形两直角边都在格线上：直角边4格和2格。求面积，并用皮克定理验证。 分析：先用面积公式，再数格点用皮克定理验证。 详解： 公式法：4×2÷2=4（格）。 数边界点B：底边5个点，高边3个点，斜边3个点，减去3个顶点重复，B=5+3+3−3=8。 数内部点N：斜边只经过(2,1)一个格点，内部有(3,1)，N=1。 皮克定理：1+8÷2−1=1+4−1=4（格）。 两种方法结果一致，验证正确！ 图6 直角三角形 方法点睛：皮克定理可以用来验证面积公式。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：直角边6格和3格的直角三角形，用皮克定理求面积。 解答： B：底边7点，高边4点，斜边4点，减3个顶点，B=7+4+4−3=12。 N：内部点(3,1),(4,1),(5,1),(5,2)，N=4。 皮克：4+12÷2−1=4+6−1=9（格）。 公式验证：6×3÷2=9（格）。一致！ 点拨：与例4同法：公式与皮克互相验证。 例5【割补法】 题目：五边形顶点(1,1),(4,1),(4,4),(2,5),(1,4)。求面积。 分析：方法一：分割成三角形+长方形；方法二：皮克定理验证。 详解： 割补法：沿(1,4)−(4,4)分成上下两部分。 下部长方形：(4−1)×(4−1)=3×3=9（格）。 上部三角形：底3格、高1格，3×1÷2=1.5（格）。 总面积：9+1.5=10.5（格）。 验证（皮克定理）：B=11，N=6，S=6+11÷2−1=6+5.5−1=10.5。一致！ 图7 割补法 方法点睛：不规则格点多边形，割补法与皮克定理可互相验证。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：某格点多边形B=10，N=5。面积是多少？ 解答： S=5+10÷2−1=5+5−1=9（格）。 点拨：与例5同法：皮克定理。 例6【综合应用】 题目：格点五边形顶点(1,1),(5,1),(6,3),(4,4),(1,3)。求面积。 分析：数边界点B和内部点N，用皮克定理。 详解： 数边界点B：5个顶点，底边中间3个点，左边中间1个点，B=5+3+1=9。 数内部点N：逐列数，共8个。 S=8+9÷2−1=8+4.5−1=11.5（格）。 图8 综合应用 方法点睛：综合题：先数B和N，再套公式。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：某格点多边形B=12，N=9。面积是多少？ 解答： S=9+12÷2−1=9+6−1=14（格）。 点拨：与例6同法：皮克定理。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【皮克定理应用】（某名校小升初真题） 题目：格点四边形，边界点B=10，内部点N=8。面积是多少？ 分析：直接套皮克定理。 详解： S=N+B÷2−1。 =8+10÷2−1 =8+5−1=12（格）。 方法点睛：给B和N，直接套公式。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：格点六边形B=12，N=10。面积是多少？ 解答： S=10+12÷2−1=10+6−1=15（格）。 点拨：与真题1同法：皮克定理。 真题2【实际应用】（某重点中学分班考试真题） 题目：一格代表1平方米，某格点多边形B=14，N=16。实际面积是多少平方米？ 分析：皮克定理求格数，再换算单位。 详解： S=16+14÷2−1=16+7−1=22（格）。 1格=1平方米。 面积=22平方米。 方法点睛：一格代表多少，答案就带什么单位。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一格代表4平方米，多边形B=8，N=5。实际面积是多少？ 解答： 格数=5+8÷2−1=8格。8×4=32平方米。 点拨：与真题2同法：格数×每格面积。 八、方法总结表 题型 方法 公式 规则图形 直接用公式 长×宽；底×高÷2 不规则格点多边形 皮克定理 S=N+B÷2−1 给B、N求S 套公式 直接代入 实际面积 换算 格数×每格面积 九、解题口诀 格点面积有妙招，先数边界和内部； 边界格点记作B，内部格点记作N； 皮克定理来帮忙，N加B除2再减1； 规则图形优先算，公式直接带进去。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 格点长方形长6格宽4格，面积是多少？ A2. 格点三角形底5格高4格，面积是多少？ A3. 某格点多边形B=8，N=3。面积是多少？ A4. 某格点多边形B=6，N=4。面积是多少？ A5. 某格点多边形B=12，N=9。面积是多少？ B组 能力提升（5题） B6. 格点正方形边长5格，面积是多少？（两种方法验证） B7. 某格点多边形B=16，N=12。面积是多少？ B8. 一格代表2平方米，多边形B=8，N=6。实际面积是多少？ B9. 格点三角形底7格高6格，用公式求面积。 B10. 某格点多边形B=10，N=11。面积是多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 一格代表3平方米，多边形B=10，N=9。实际面积是多少？ C12. 某格点多边形面积S=14，B=8。内部格点N是多少？ C13. 某格点多边形面积S=10，N=5。边界格点B是多少？ C14. 两个格点多边形拼在一起，一个B=6,N=3，另一个B=8,N=5（不重叠）。总面积是多少？ C15. 格点直角梯形：上底2格下底6格高4格，用面积公式求。 十一、参考答案与详细解析 A1 S=6×4=24（格）。 A2 S=5×4÷2=10（格）。 A3 S=3+8÷2−1=3+4−1=6（格）。 A4 S=4+6÷2−1=4+3−1=6（格）。 A5 S=9+12÷2−1=9+6−1=14（格）。 B6 公式法：5×5=25格；皮克定理：B=20，N=16，S=16+20÷2−1=16+10−1=25格。一致。 B7 S=12+16÷2−1=12+8−1=19（格）。 B8 格数=6+8÷2−1=6+4−1=9格。9×2=18平方米。 B9 S=7×6÷2=21（格）。 B10 S=11+10÷2−1=11+5−1=15（格）。 C11 格数=9+10÷2−1=9+5−1=13格。13×3=39平方米。 C12 由14=N+8÷2−1得14=N+3，N=11。 C13 由10=5+B÷2−1得10=B÷2+4，B÷2=6，B=12。 C14 S1=3+6÷2−1=5；S2=5+8÷2−1=8；总=5+8=13（格）。 C15 S=(2+6)×4÷2=16（格）。 十二、本讲小结 本讲学习了皮克定理：格点多边形面积S=N+B÷2−1（N为内部格点数，B为边界格点数）。 规则图形优先用面积公式，不规则格点多边形用皮克定理。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 边界点漏数 沿边走一圈，交点都算 内部点含边界 内部点不含边界上的 公式 S=N+B÷2−1 单位换算 格数×每格面积 学习建议：画图数格点要按顺序；下讲预告：第11讲 位置与坐标·数对。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $