精品解析：河南省安阳市林州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

2024-2025学年高二上学期11月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（ ） A. B. 6 C. -6 D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 两两相互独立 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 10. 如图，已知正方体的棱长为2，点，在四边形所在的平面内，若，，则下述结论正确的是（ ） A. 二面角的平面角的正切值为2 B. C. 点的轨迹是一个圆 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 为平面外一点，是平面内一点．下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为重心，则 C. 若与所成的角为与平面所成的角为，则 D. 若，则． 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 点A是圆上一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为_______. 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 14. 如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 （1）当时， 求的值； （2）若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面. （1）求证：为中点； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若点为棱上一动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求直方图中，值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 18. 已知直线及圆. （1）求证：直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值； （2）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值. 19. 某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 05 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图 （1）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； （2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期11月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 2. 已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（ ） A. B. 6 C. -6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据得到方程，分，，三种情况，结合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案. 【详解】设，由，得， 化简得， 若，此时不存在，舍去， 若，此时点坐标为，但不满足， 故不合要求，舍去， 若，即点在圆上， 圆心为，半径. 圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以，解得596， 所以或，即的最小值为. 故选：D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 4. 空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则和运算律进行计算即可. 【详解】根据题意画出如图所示的空间四边形 由图可知 故选：B. 5. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 6. 钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正四棱柱中，以为原点，以的方向分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式可求出结果. 【详解】如图，在正四棱柱中，分别为侧面和侧面的中心， 为中点，为点钟时针，为点钟时针， 则，， 设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 以为原点，以的方向分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 所以. 所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为. 故选：B 7. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C D. 两两相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC：先求，，结合古典概型分析判断；对于D：根据独立事件改了乘法公式可知事件A与不相互独立. 【详解】由题意得，事件A的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为， 对于选项：事件与共有样本点2，3，所以不互斥，故A错误； 对于选项B：事件样本点，所以，故B错误； 对于选项D：因为，， 且事件样本点，则， 可得，所以事件A与不相互独立，故D错误； 对于选项C：因为事件样本点，可得， 所以，故C正确. 故选：C. 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A的真假；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B的真假；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积，判断C的真假；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点，判断D的真假. 【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确； 对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确. 对于C，当时，如图： 设，，则. 所以，所以C错误； 对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误. 故选：AB 10. 如图，已知正方体的棱长为2，点，在四边形所在的平面内，若，，则下述结论正确的是（ ） A. 二面角的平面角的正切值为2 B. C. 点的轨迹是一个圆 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二面角的几何法可得其平面角为，即可求解A，根据勾股定理可得，即可求解C，建立空间坐标系，即可根据向量垂直判断B，根据向量的夹角即可得求解D. 【详解】对于A,连接相交于，连接, 由于且，故 因此为二面角的平面角，故,故A错误， 对于C：在正方体中，平面，平面，所以， 故，则有， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故选项C正确； 对于B：在正方体中，平面平面，且两平面交线为,平面，故平面， 因为，则平面，故在上， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为点的轨迹是线段，设，则,,， 则,0,，,0,，,0,，,2,，,， 则,,，,故， 进而可得，故，B正确， 又,0,，,2,，,,， 设平面的一个法向量为,,， 则有，即， 令，则，， 故平面的一个法向量为,1,， 设与平面所成的角为， 则,， 当时，有最大值， 故与平面所成角的正弦值的最大值，故D正确． 故选：BCD． 11. 为平面外一点，是平面内一点．下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为重心，则 C. 若与所成的角为与平面所成的角为，则 D. 若，则． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,B,利用向量的几何运算可判断；对于C,通过举反例来判断；对于D,说明点在底面的投影为的垂心，即可得证. 【详解】 对于A，连接并延长交于点， 因三点共线，则存在实数，使得, 又三点共线，则存在实数，使得, 则 , 又，故，故，即A正确； 对于B，因为重心，故是的中点，故,且, 则 ,故B正确； 对于C，当平面时，，故C错误； 对于D， 如图，过点作平面,连接并延长交于点，连接 连接并延长交于点，连接；连接并延长交于点，连接； 因平面,则, 又，且,故平面, 因平面，故,即， 同理可证,即点为的垂心，故， 因平面,平面,则, 又，则平面， 又平面,故,即D正确. 故选：ABD. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案． 【详解】设，又点， 则， 所以，， 又点A在圆上， 则，即， 所以线段AB的中点P的轨迹方程为． 故答案为：． 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意有,动点M恰为PD的中点即,及可求出，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积． 【详解】由题意知 当时最小， 因为M为PD的中点，故而为的中点，即， ，设外接球的半径为，则． 解得.故外接球的表面积为. 【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 （1）当时， 求的值； （2）若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线性质及点到直线距离公式进行求解即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径得到，根据韦达定理得到，，进而得到，再根据三角形面积公式结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由圆，可知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 由，解得或， 因此切线所在直线方程为或， 分别联立，， 解得，，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 因为，所以，即， 设，是方程的两个根， 则，， 所以， 在切线方程中，令，得， 设，， 则， 则的面积为， 当时，的面积取得最小值，最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面. （1）求证：为中点； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若点为棱上一动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，得到线线平行，再根据中位线性质定理证明为中点. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的三角函数值. （3）在（2）的基础上，利用空间向量求线面角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 连结交于点，连结， 因为底面是矩形，所以为中点， 因为平面，平面， 平面平面，所以， 又因为为中点，所以为中点. 【小问2详解】 取的中点，连结，，因为底面为矩形，所以， 因为，为中点，所以，， 所以，又因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面，所以， 所以，，两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得： ，，，，，， 则，，， 由上可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 所以，， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2），，因为点在棱上（含端点） 所以设， 则， 设与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 【答案】（1），，平均数为 （2）万，理由见解析 （3）5.8吨，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数； （2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数； （3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 ， 又，则，， 该市居民用水的平均数估计为： ； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得， 月均用水量不超过2吨的频率为：， 则月均用水量不低于2吨的频率为：， 所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： （万）； 【小问3详解】 由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88， 月均用水量不超过5吨的频率为0.73， 则85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），， ，解得， 即标准为5.8吨． 18. 已知直线及圆. （1）求证：直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值； （2）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程化为，由可得出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在圆上，且当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，利用直线与圆相切可求得实数的值； （2）利用勾股定理可求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【小问1详解】 证明：因为直线，得， 由，可得，所以直线过定点. 圆，所以定点在圆上， 圆心，半径为. 当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，此时有：，所以. 【小问2详解】 解：设点到直线的距离为，利用勾股定理得：. 同时利用圆心到直线的距离：，解得. 19. 某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 04 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图 （1）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； （2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 【答案】（1）频率分布直方图见解析；，，； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全直方图，根据频率等于频数除以总数求得、、 （2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及岁中被抽取的人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【小问1详解】 结合频率分布直方图可知，第二组的频率为， 所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下： 结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以； 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以； 因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以． 【小问2详解】 因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为， 所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人． 设年龄在中被抽取的4个人分别为：； 年龄在岁中被抽取的2个人分别为：； 则总的基本事件有：,,,,,……，共20个； 记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个； 所以. 【点睛】频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$