专题09 反比例函数的概念专项训练（7大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题09 反比例函数的概念 题型01 用反比例描述数量关系 题型02 根据定义判断是否为反比例函数 题型03 比例系数k 题型04 利用反比例函数的定义求参数 题型05 点在反比例函数图象上 题型06 待定系数法求解析式 题型07 求函数值或自变量的值 ▌题型01 用反比例描述数量关系 【典例1】下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【变式1-1】下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【变式1-2】下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【变式1-3】下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 ▌题型02 根据定义判断是否为反比例函数 【典例1】下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【变式1-3】下列函数中，是的反比例函数的有__________（填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． ▌题型03 比例系数K 【典例1】反比例函数的比例系数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】反比例函数中，比例系数_______． 【变式1-2】反比例函数的比例系数是 　　 ． 【变式1-3】下列函数是反比例函数吗？如果是，请指出比例系数的值． (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型04 利用反比例函数的定义求参数 【典例1】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【变式1-1】若是反比例函数，则的值为_________． 【变式1-2】已知是关于x的反比例函数，求的值． 【变式1-3】已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ ▌题型05 点在反比例函数图象上 【典例1】若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知反比例函数的图象经过点，则______． 【变式1-2】已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【变式1-3】下列各点，哪些在反比例函数的图象上？ （1）；（2）；（3）；（4）． ▌题型06 待定系数法求解析式 【典例1】已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【变式1-1】已知y是x的反比例函数，当时，． (1)写出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 【变式1-2】已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 【变式1-3】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． ▌题型07 求函数值或自变量的值 【典例1】对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 【变式1-1】已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为________． 【变式1-2】已知反比例函数． (1)写出这个函数自变量的取值范围； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的值． 【变式1-3】已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 反比例函数的概念 题型01 用反比例描述数量关系 题型02 根据定义判断是否为反比例函数 题型03 比例系数k 题型04 利用反比例函数的定义求参数 题型05 点在反比例函数图象上 题型06 待定系数法求解析式 题型07 求函数值或自变量的值 ▌题型01 用反比例描述数量关系 【典例1】下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 【变式1-1】下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 【变式1-3】下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． ▌题型02 根据定义判断是否为反比例函数 【典例1】下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 【变式1-1】在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 【变式1-2】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 【变式1-3】下列函数中，是的反比例函数的有__________（填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 【答案】（2）（3）（4）（6）（9） 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】由题意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函数． 故答案为：（2）（3）（4）（6）（9）． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）．也考查了一次函数的定义． ▌题型03 比例系数K 【典例1】反比例函数的比例系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解反比例函数解析式中k的值就是比例系数是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：反比例函数的比例系数是， 故选：． 【变式1-1】反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 【变式1-2】反比例函数的比例系数是 　　 ． 【分析】根据反比例函数的定义：形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数解答即可． 【解答】解：反比例函数的比例系数是：， 故答案为：． 【变式1-3】下列函数是反比例函数吗？如果是，请指出比例系数的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是反比例函数，比例系数为 (2)是反比例函数，比例系数为 (3)是反比例函数，比例系数为 (4)不是反比例函数 【分析】形如（为常数，）的函数是反比例函数，为比例系数；根据反比例函数的定义，逐一判断各函数是否符合标准形式并确定比例系数． 【详解】（1）解：符合反比例函数形式，是反比例函数，比例系数为； （2）解：将变形为，符合反比例函数形式，是反比例函数，比例系数为； （3）解：符合反比例函数形式，是反比例函数，比例系数为； （4）解：不符合反比例函数形式，不是反比例函数． ▌题型04 利用反比例函数的定义求参数 【典例1】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 【变式1-1】若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 【变式1-2】已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出m，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， 则． 【变式1-3】已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1)当或时，是的正比例函数 (2)当时，是的反比例函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解； （2）根据反比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∵，，均满足条件， ∴或． （2）解：∵是的反比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∴． ▌题型05 点在反比例函数图象上 【典例1】若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在函数的图象上，则横纵坐标之积等于2．由于点在函数的图象上，则，据此逐项判断横纵坐标之积是否等于2即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． A、，故点不在该反比例函数图象上； B、，故点不在该反比例函数图象上； C、，故点在该反比例函数图象上； D、，故点不在该反比例函数图象上． 【变式1-1】已知反比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入得： ， 等式两边同乘得： ， 等式两边同除以得：， 移项得：． 【变式1-2】已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 【变式1-3】下列各点，哪些在反比例函数的图象上？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】在反比例函数图象上的点是和． 【详解】解：（1） 当时，， 点不在反比例函数的图象上； （2） 当时，， 点在反比例函数的图象上； （3） 当时，， 点在反比例函数的图象上； （4） 当时，无意义， 点不在反比例函数的图象上． 综上所述，在反比例函数图象上的点是和． ▌题型06 待定系数法求解析式 【典例1】已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 【变式1-1】已知y是x的反比例函数，当时，． (1)写出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法，代入已知的，值求出比例系数，即可得到反比例函数表达式； （2）将代入已求出的函数表达式，计算得到的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为． 当时，， ， 解得． 这个反比例函数的表达式为． （2）解：把代入，得 ． 【变式1-2】已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，得到用反比例函数表示的y与x的之间的关系式是解决本题的关键． （1）设出用k表示的反比例函数解析式，把时，代入即可求得k的值，进而整理为用x表示成y的形式即可； （2）再将当代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数， ∴， ∵当时，， ∴， ∴ ∴； （2）解：当时，2， ∴． 【变式1-3】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． 【答案】 【分析】此题考查求函数解析式，已知自变量的值求函数值，由题意设，代入对应值求出解析式，再将代入，求出y的值． 【详解】解：由题意设，则 当时，；当时，， ，解得， 函数解析式为 当时，． ▌题型07 求函数值或自变量的值 【典例1】对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 【答案】 【分析】将已知的值代入反比例函数解析式，计算得到的值． 【详解】解：把代入，得． 【变式1-1】已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为________． 【答案】6 【分析】先设出反比例函数解析式，代入已知点求出的值，再将所求点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵该反比例函数的图象也经过点， ∴， 解得． 【变式1-2】已知反比例函数． (1)写出这个函数自变量的取值范围； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1)自变量的取值范围为 (2)函数y的值为 (3)自变量x的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】（1）解：自变量的取值范围为； （2）解：当时，； （3）解：当时， ， 解得． 【变式1-3】已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解： 是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $