第三章图形的相似单元测试2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册图形的相似单元卷，覆盖相似三角形、比例线段、位似变换等核心知识，通过生活情境题（如测量树高）和综合实践题，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似图形判定、位似性质|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|5/15|比例性质、黄金分割、位似坐标|简洁考查核心公式，培养符号意识| |解答题（一）|3/21|比例计算、相似证明|基础推理训练，发展推理意识| |解答题（二）|3/27|相似应用（测量树高）、位似作图|结合生活情境，提升应用意识| |解答题（三）|2/27|黄金分割计算、矩形旋转综合|综合实践探究，培养创新意识|

第三章图形的相似单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组线段中，能构成比例线段的一组是（　　） A．1,2,3,4　　B．2,3,4,5　　C．2,4,6,12　　D．3,5,7,9 2．下列四边形中，一定相似的是（　　） A．两组邻边分别相等的四边形　　B．正方形　　C．等腰梯形　　D．平行四边形 3．下列关于位似变换的说法，正确的是（　　） A．位似图形对应点连线不一定过位似中心 B．位似图形对应边互相平行且成比例 C．位似变换不改变图形的形状但改变图形的大小，对应点连线可不共点 D．位似图形的对应边一定相等 4．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D、E分别在边上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点为边上一点，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D． 10．已知，如图 下面等式： ； ； ； ，能成立的等式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知 3a=2b（a,b 均不为0），则 a∶b=______． 12．△ABC 的三边长分别为 3,4,5，△DEF 的三边长分别为 6,8,10，则△ABC______△DEF（填"相似"或"不相似"）． 13．大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_______cm． 14．已知：，那么　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知四个数 a,b,c,d 满足 a∶b=c∶d，且 a=2，b=3，c=4，求 d 的值． 17．如图，相交于点O，，求证：． 18．中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 20．已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. （1）求证：BC = CE； （2）求证： 21．在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似,使它与的位似比为2：1． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．点 C 在线段 AB 上。 （1）若 C 为 AB 的黄金分割点（AC>CB），AB=8，求 AC 与 CB（保留根号）； （2）若 AC:CB=AB:AC，求证：. 23．综合与实践 项目式学习小组研究了一个问题，如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，四边形是矩形，连接． (1)与的长度比为 ； (2)如图2，将矩形绕点A按顺时针方向旋转至点G落在边上，求点 F到的距离； (3)将矩形绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B C B A B C 11．2∶3 12．相似 13．/ 14． 15． 16．解：由 a∶b=c∶d 得 ad=bc． 代入 a=2，b=3，c=4： 2d=3×4=12， 故 d=6． 17． 证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】略 18．见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 【详解】证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，   ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 20．（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD. 又∵BE∥CD， ∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD. ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠CBE=∠CEB. 故△BCE是等腰三角形，BC=CE. （2）证明：∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得=， 又∵BC=CE， ∴=. 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠CBE=∠CEB，根据等角对等边得出BC=CE； （2）根据平行线分线段成比例定理可得=， 结合BC=CE，即可得证. 21．(1) 点的位置如图所示，； (2)如图，即为所求． 【分析】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可． 22．(1) （2）设 AB=1，AC=x，则 CB=1-x； 由 AC:CB=AB:AC 得 x:(1-x) =1:x x²=1-x x²+x-1=0 23．(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）如图1中，由此交于，则四边形是矩形．在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）如图2中，作于．利用勾股定理和相似三角形的性质，求出、即可解决问题； （3）连接，，由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图1中，由此交于，则四边形是矩形． 在中，，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，作于， 在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即点到的距离为； （3）解∶． 证明：连接，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $