专题一 圆中的定理（强基专项）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 强基专项 九年级全一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLISHING HOUSE 专题一圆中的定理 空手建高 培优拓展 1.如图，在⊙O中，P为弧BAC的中点，PD⊥CD,CD交⊙O于点A.若AC=3,AD=2,则 AB的长为7 B ·0 C A D (第1题) 孕手理高 2.定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线被称为圆的一条折弦.阿基米德折弦定理：如 图1，AB和BC组成圆的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中点，MF⊥AB于点F,则AF= FB+BC.如图2，△ABC中，∠ABC=60°，AB=8,BC=6,D是线段AB上一点，BD=1, 作DE⊥AB交△ABC的外接圆于点E,连结EA,则∠EAC=60° M B A E A D B C 图1 图2 (第2题) 孕手理高 3.如图，PA,PB是⊙O的一条折弦，C是弧AB的中点，CD是⊙O的直径，CE⊥PA于点 E.求证：PD一AD=PA·PB F 解：证明：延长CE交⊙O于点F,连结FB并延长交AP的延长 线于点G,连结AF,如图所示， ,四边形APBF内接于⊙O, ∴.∠GBP=∠FAP, ,点C是弧ACB的中点， :.AC=BC. ∴.∠AFC=∠BFC, ∴.△AEF≌△GEF, .'CE⊥AP, .∠FAP=∠G, ∴.∠GEF=∠FEA=90°， ∴.PB=PG, ..AE-PE=EG-PE=PG=PB. 在△AEF与△GEF中， (∠AFC=∠BFC, .CD是⊙O的直径，CE⊥AP, .PD2-AD2=(CD2-PD2)-(CD2-AC2)=AC2-PC2= EF=EF, 空手建高 (AE2+CE)-(PE2+CE2)=AE2一PE2=(AE+PE)(AE一 ∠FEA=∠GEF, PE)=PA·PB. 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC⊥BD,OM⊥BC. (1)求证：OM=AD. D 若AC=13,BDI5,⊙0的半径r三，求OM的长 E 解：如图①所示，(1)证明：连结CO并延长，交⊙O于点E,连结 B M EB,OB, ,EC是⊙O的直径， ① .∠EBC=90°，即EB⊥BC, .∠BAC=∠E,AC⊥BD, .OM⊥BC, ∴.∠ABD=∠BCE, .BM=MC,EB∥OM, .'.AD=BE, ∴.OM是△BEC的中位线， ∴.AD=BE ..OM=1BE, 2 i0M=合AD 手重高 (2)如图②所示，连结OB,OC,作OG⊥BD于点G,OH⊥AC于 点H, 则BG=DG= BD=AH=CH=号AC-号 2 .OG=√OB2-BG= 空.0H=V0c-cF-9 8 设AC,BD交于点I,则四边形OGIH是矩形， 1H=OG=25 ,1G=OH= 39 8, D AI=AH-IH=13-2 527 28 8 DI-DG-IG=15_ 3921 Γ2 8 8 B M C AD=VAF+DE= 8130, ② 空手理高 0M=AD= 6130. 5.如图，P为第一象限内一点，过P,O两点的⊙M交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于 点B,∠OPA=45°. (1)求证：PO平分∠APB. (2)作OH⊥PA交弦PA于点H. ①若AH=2,OH十PB=8,求BP的长. ②若BP=m,OH=n,把△POB沿y轴翻折，得到△P'OB(如图2)，求AP'的长. 解：证明：(1)如图所示，连结AB, .∠AOB=90°， B .AB是直径， M .∠APB=90°， H .∠OPA=45°， A x ∴.∠OPB=∠APB-∠OPA=90°-45 图2 =45°， (第5题) ∴.∠OPA=∠OPB, 空手建高 ∴.PO平分∠APB. (2)①.∠OAB=∠OPB=45°，∠OBA=∠OPA=45°， .∠OBA=∠OAB, ∴.OA=OB, 如图所示，将△AOH绕点O逆时针旋 转90°，得到△BOC .AH=BC=2,∠AHO=∠C=90°， ∠OAH=∠OBC, ,四边形APBO是圆内接四边形， ∴.∠OAH+∠PBO=180°， ∴.∠OBC+∠PBO=180°， C,B,P三点共线， .∠AHO=∠C=90°=∠APB, .四边形OCPH是矩形， ..CP=OH, ∴.AH=OH一BP=2,且BP+OH=8, 空手建高 ∴.BP=3,OH=5. ②BP=m,OH=n, 如图所示，将△AOP绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ,连结 BQ,P'Q. .OH⊥AP,∠OPA=45°， D ∴.∠POH=∠OPA=45°， .PH=OH=n,OP=√2n, M .OA=OB. :.0B=0A. ∴.∠BPO=∠OPA=45°， :把△POB沿y轴翻折， 得到△P'OB, ∴.OP=OP'=√2n,BP=BP'=m,∠BPO=∠BP'O=45°， .将△AOP绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ, ∴.OQ=OP'=√2n,∠QOP'=90°， ∴.P'Q=2n,∠QP'0=45°， .∠QP'B=90°， ∴.BQ=√PB+PQ2=√4n2+m2, 孕手理高 ∴.AP'=4n2+m2. 6.定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫作圆的奇妙四边形. (1)如图1，已知四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形，若AC=6,BD=8,则S四边形ABcD= 24 (2)如图2，已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线交于点E,若AD+BC=180°. ①求证：四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形. ②作OM⊥BC于点M,请猜想AD与OM之间的数量关系，并推理说明. D (2)如图所示，连结OA,OB,OC,OD, .AD+BC=180°， E ∴.∠AOD+∠BOC=180°， .0 “∠ACD=合∠AOD,∠BDC=号∠BOC. 则∠ACD+∠BDC= 2(∠AOD+∠BOC)=90, B B 图2 ∴.∠DEC=90°，即AC⊥BD, (弟0题) ∴.四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形， ②0M=子AD.理由如下： 如图所示，连结OB,OC,OA,OD,作OF⊥AD于点F, .OE⊥AD, ∴.AF=DF, C .∠BOC=2∠BAC, M 而∠BOC=2∠BOM, B ∴.∠BOM=∠BAC, 在△BOM和△OAF中， 同理可得∠AOF=∠ABD, ∠BMO=∠OFA, ,BD⊥AC, ∠OBM=∠AOF, .∠BAC+∠ABD=90°， OB=OA, ∴.∠BOM+∠AOF=90°， ∴.△BOM≌△OAF(AAS), ,∠BOM+∠OBM=90°， ∴.OM=AF, ∴.∠OBM=∠AOF, 碎手理高 OM-AD.