第15讲 反比例函数（强基专项）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 强基专项 九年级全一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLISHING HOUSE 第十五讲反比例函数 孕手重高 培优拓展 1.如图，正比例函数当=1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点，其中点 A的横坐标为2.当y1>y2时，x的取值范围是 (D) A.x<-2或x>2 B.x<-2或0<x<2 C.-2<x<0或0<x<2 D.一2<x<0或x>2 (第1题) 孕手理高 2.如图，A,B两点在双曲线y=4上，分别经过A,B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1， 则S1十S2= (D) A.3 B.4 C.5 D.6 y个 A S B S2 (第2题) 空手理高 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的 2 两边AB,BC分别相交于M,N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM十 PN的最小值是 (C) A.6√2 B.10 C.2√26 D.229 C B M PA (第3题) 孕手理高 4,如图，A,C为反比例函数y=(x<0)图象上的点，过点A,C分别作AB⊥x轴，CD⊥x 轴，垂足分别为点B,D,连结OA,AC,OC,线段OC交AB于点E,点E恰好为OC的中 点.当△AEC的面积为号时，k的值为 (C) A.4 B.6 C.-4 E D.-6 B O (第4题) 空手建高 5.如图，点A在双曲线y=二上，点B在双曲线y=3上，且AB∥x轴，点C,D在x轴上. 若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2 A B 3 -V= (第5题) 空手理高 包四 6.如图，直线y=k1x十b与双曲线y=交于A,B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 1x<+b的解集是一5<x<一1或 x>0 (第6题) 孕手理高 7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x>O)的图象交矩形OABC的边AB于点 2 D,交边BC于点E,且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6，则k= 3 A B E C (第7题) 孕手理高 8.如图，已知点A,C在反比例函数y=(>0)的图象上，点B,D在反比例函数y= (b<0)的图象上，AB∥CD∥x轴，AB,CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的 距离为5，则a-b的值是6 /B (第8题) 孕手理高 9.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A,C分别在坐标轴上， 点B的坐标为(4,2)，直线y=一十3交AB,BC于点M,N,反比例函数y一的图象 经过点M,N. (1)求反比例函数的解析式. (2)若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标. 解：(1)B(4,2),四边形OABC是矩形， ∴.OA=BC=2, A B 将y=2代入y= 2x+3得x=2,.M2,2), 把M的坐标代入y=得=4， 0 “反比例函数的解析式是y=4 空手理高 (②)把x=4代入y=兰得：y=1,即CN=1, .'S四边形BMON=S矩形OABC一S△AOM一S△CON, =4×2-7×2×2-z×4×1=4, 个y 由题意得7OP|×AO=4, M .A0=2, A B N .|OP=4, ∴.点P的坐标是(4,0)或（一4,0）. X 孕手建高 10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第二象限，点B在x轴负半轴上，△OAB 的面积是9，P是AB中点.若函数y=(x<0)的图象经过点A,P,则k的值为(A) A.-6 B.-4 C.-3 D.-2 孕手理高 11,如图，两个反比例函数y=和y=(其中1>0>k)在第一象限内的图象是C,第 二、四象限内的图象是C2.设点P在C1上，PC⊥x轴于点M,交C2于点C,PA⊥y轴于 点N,交C2于点A,AB∥PC,CB∥AP相交于点B,则四边形ODBE的面积为(D) k A.|k1-k2 B.Tkz C.k1·k2 k22 D. M (第11题)》 孕手理高 12.如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD,△ABD与△ACD的面积分别 为10和20，若双曲线y=飞恰好经过BC的中点E,则k的值为 (A) A号 B. 10 3 C.5 D.-5 A B D E (第12题) 空手理高 13.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D,F在x轴上，点C在 DE边上，反比例函数y=(k≠O)的图象经过点B,C和边EF的中点M.若SE方形cD =2,则正方形DEFG的面积为 (A) A B号 C.4 B M G (第13题) 空手理高 14.如图，△OAB为等腰直角三角形，斜边OB边在x负半轴上，一次函数y=一7x十号与 △OAB交于E,D两点，与x轴交于点C,反比例函数y=(k≠0)的图象的一支过点 E,若S△AED=S△Oc,则k的值为 (C) A-号 B.-√3 C.-3 D.-4 个y A E D B C (第14题) 空手理高 15.如图，P1(GM),P,(2,2),…,P.(xy.)在函数y=9(x>0)的图象上，△OP1A1, △P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAm-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1,A1A2,…,Am-1 A,都在x轴上，则十+…+，=3√n- D P2 P3 Pn A1 A2 A3 An-An x (第15题) 孕手理高 16.如图，经过原点O的直线与反比例函数y=a(a>0)的图象交于A,D两点（点A在第 7 一象限)，点B,C,E在反比例函数y=么(b<O)的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴， 五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a一b的值为 24 b 的值为 1 3 (第16题) 孕手理高 17.如图，直线y=kx十b与函数y=”(x>0)的图象交于B,C两点，与y轴交于点A,与x 轴交于点D.已知AB=3,则CD=3 B C D (第17题) 孕手理高 18.如图，A,B为直线y=x上的两点，过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=1(x >0)于C,D两点.若BD=2AC,则4OC-OD2的值为6 B (第18题) 空手理高 19.如图，一次函数y=- 十6的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点.线段AB自 P在反比例函数y=的图象上.若一次函数y=mx十n的图象与y=的图象有且只 有一个在第三象限的公共点Q,且与x轴，y轴分别交于C,D两点，则四边形ABCD的 最小面积为48 (第19题) 孕手理高 20.如图，直线AB经过A(1,0),B(0,1)两点，动点P在曲线y=(c>0)上运动，PMLx 2.x 轴，PN⊥y轴，垂足分别为点M,N,PM,PN与直线AB分别交于点E,F. (1)求证：矩形OMPN的面积为定值. (2)求AF·BE的值. V (3)求动点P到直线AB的最短距离. B 解：(1)证明：设P(m,n),由题意mn= 2 D 1 E 六S矩形OMPN=mn=之=定值. (2)证明：过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足为D、C, M 则△AOB,△FCA,△DBE为等腰直角三角形， (第20题)】 设P(x0,yo),则FC=yo,DE=xo,AF=√2yo,BE=√2xo, ∴.AF·BE=√2y0·√2xo=2xoy0, 又“%=克，即200=1， 空手理高 2x0 ∴.AF·BE=1. (3)解：平行于AB的直线l的解析式为y=一x十b,设l与双曲 线的唯一公共点Q坐标为(x,y), y=一x+b 联立 ,得2x2-2bx+1=0, y- 2 由△=4b2-8=0,得b=√2(-√2舍去)， 2 即Q点的坐标为（停，号），连结OQ交AB于T, B y=x 2 由题意直线OQ的解析式为y=x,由 ,解得 y=-x+1 1 2 T(2,3) 0Q=1,0T=2 , TQ=1- 21 孕手理高 六动点P到直线AB的最短距离为：1一 21.如图，A是坐标原点，D是反比例函数y=(x>0)图象上一点，点B在x轴上，AD BD,四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y=S(x>O)图象于点E. (1)口ABCD的面积等于 12 (2)设点D横坐标为m. ①试用m表示点C的坐标， ②试用表示点E的坐标.（要有推理和计算过程） E (3)求CE：EB的值. ②：B2m,0),c(3m,） A (4)求EB的最小值. 6 (2)①由题意D(m,合）： ∴，直线BC的解析式为y= m (第21题) 6 由(1)可知AB=2m, x=(W2+1)m (x=(1一√2)m ,四边形ABCD是平行四边形， 由 ,解得 6 12 6√2-6 或 V= 222 n y= 61+√2)（舍弃）， m n ∴.CD=AB=2m, 空手建高 ..C(3m,m E2+1)m, √2-6 m (3)作EF⊥x轴于F,CG⊥x轴于G. .EF∥CG, CE FG 3m-(W2+1)m_ ·BE BF 2-区=2 (2+1)m-2m √2-1 (4) CE BE =√2， 1 ∴.BE= AD, √2+1 A H BF G 要使得BE最小，只要AD最小， .AD- 3 m m-6） +12, m ∴AD的最小值为2√5， ÷BE的最小值为25=2厅-25 空手理高 √2+1 冲刺竞赛 年导年年年年年导。年年。年年年年年华●年年年华年年 1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,1),B(4,2). 图1 图2 备用图 (第1题)】 (1)点P(x,0)是x轴上的一个动点，当x=2 时，△PAB的周长最小. (2)点P()是y=（<0)上的一个动点，当x= 时，|PB一PA有最大值. 3 (3)点M(m,0),N(0,)分别是x轴和y轴上的动点，当”= 3 时，四边形ABMN 5 的周长最小 4 (4)点C(x,0),D(x十2,0)是x轴上的两个动点，当x= 时，四边形ABCD的周 空手理高 长最小. 3 2.(1)如图1，点M,N在反比例函数y=(k>0)的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N 作NF⊥x轴，垂足分别为E,F.试证明：MN∥EF, (2)若(1)中的其他条件不变，只改变点M,N的位置（如图2所示），请判断MN与EF是 否平行 解：(1)证明：如图①，连结MF,NE y个 y个 设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2), M :点M,N在反比例函数y=(k>O)的图象上， ·x1y1=k,x2y2=k, ,ME⊥y轴，NF⊥x轴， 图1 图2 ∴.OE=y1,OF=x2, (第2题) 1 ,.S△EFM= 1y1=2k,SAEEN=x2y2=k, ∴.S△EFM=S△EFN, ∴.两三角形的高必相等， 空手建高 ,△EFM与△NFE同底， ∴.MN∥EF. (2)MN∥EF. 证明：如图②，连结MF,NE,设点M的坐标为(x1,y1),点N的 坐标为(x2,y2). :点M,N在反比例函数y=(k>O)的图象上， C .x1y1=k,x2y2=k, ,ME⊥y轴，NF⊥x轴， ∴.OE=y1,OF=-x2, 1 六.SAM=之xiM= 2,SN==， ∴.S△EFM=S△EFN, ,△EFM与△NFE同底， ∴.两三角形的高必相等， .MN∥EF. 空手建高 3.2002年国际数学家大会的会徽设计的基础是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理绘制 的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形 的面积之和. 设直角三角形的边长为a,b,则SE方需>4Sr△，(a2+)>4(分ab)小，即a2+>2ab, 当=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形的面积 之和，即a2+B=4(号ab)=2ab, 综上所述，a2+b≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. 使用上述结论“a2+b≥2ab,当且仅当a=b时等号成立”，解决下列问题. 孕手理高 (1)证明：若a,b为正实数，则a十b≥2√ab,当且仅当a=b时等号成立. (2)a,b均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值4；若a十b为定值6，则ab有 最大值 9 解：(1).a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立， (3)请结合函数图象（图2）研究y=x十二中函数值y的取值范围.a2+()≥2√a而， ∴.a+b≥2√ab,当且仅当a=b时等号成立. (4)如图3，已知P是反比例函数y=（>0)图象上任意一动点，0(0,0)，A(一1，a),其 中a是常数，a>0,试求SAo4的最小面积. b 图1 图2 图3 (第3题) 孕手理高 3)当>0时+>2V…,即x>2, 当<0时-2V·工，即x计≤-2， .y≥2或y≤-2. (4)如图③中，作AB⊥x轴于B,作PC⊥x轴于C. 设P(z<),则Cx,0,B(-1,0). :.AB=a,BC=x+1,PC=-.OC=x,OB=1, ∴.S=S四边形ABCP一S△ABO一S△POC, B Y =×(a+)+D-a-…日 =(a+)≥×2Var…工， 即S≥a, 空手理高 ∴.S△AOB的最小值为√a. 4.对于某一自变量为x的函数，若当x=xo时，其函数值也为xo,则称点(xo,xo)为此函数 的不动点，现有函数y=3十0 x+b' (1)若y=3十有不动点(4,4)，(-4，-4)，求a,b的值. x+6 (2)若函数y= 3十的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a,b应满足的条件. x+b (3)已知a=4时，函数y=3x士仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=3x十a x+b x+6 的图象与函数y=一 的图象有什么关系？与函数y=一口的图象又有什么关系盈 解：(1)将(4,4)、(-4，-4)代人y= 3x十a中， x+b 12+a 4+b a=16 得 ,解得 空手理高 -12+a 一4 b=3 -4+b (2)令3士=x,得：3x+a=2+bx(x≠-b), x+b 即x2十(b-3)x-a=0, 设方程的两根为x1,x2,则两个不动点(x1,x1),(x2,x2), 由于它们关于原点对称，所以x1十x2=0, 1b-3=0 a>0 ,解得 (b-3)2+4a>0 b=3 又因为x≠一b,即x≠一3，所以a≠9， 因此a,b满足条件a>0且a≠9，b=3. (3)由（2)知6=3，此时函数为y=生，即y=3- x+3 x+3' .函数y= 3x+4 x+3 的图象可由y=一 3的图象向上平移3个单 5 位得到， 又：函数y=一 千3的图象可由函数y=一三的图象向左平移 5 3个单位得到， .函数y 空手理高 3江士的图象可由函数y=一5的图象向左平移3个 x+3 单位，再向上平移3个单位得到. 5.如图，点A(m,m十1)，B(m十3，m一1)都在反比例函数y=的图象上 (1)求m,k的值. (2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四 边形，试求直线MN的函数表达式， (3)将线段AB沿直线y=kx十b进行对折得到线段A1B1,且点A1始终在直线OA上.当 线段AB,与x轴有交点时，b的取值范围为 <得写出答案) 解：(1)“点A(m,m+1),B(m十3，m-1)都在反比例函数y= 的图象上 B ∴.m(m+1)=(m+3)(m-1)=k, 解得：m=3,k=12, ∴.m、k的值分别为3、12. (第5题) 空手理高 (2)设点M的坐标为(m,0),点N的坐标为(0，n), ①若AB为平行四边形的一边， I.点M在x轴的正半轴，点N在y轴的正半轴， 连结BN、AM交于点E,连结 AN、BM,如图①， ,四边形ABMN是平行四边形， B ∴.AE=ME,NE=BE, .A(3,4)、B(6,2)、M(m,0)、N (0,n), 1 ∴.由中点坐标公式可得： TE= 3+m_6+0 2 2 设直线MN的解析式为y=kx十b. 4+0_2+n yE= 2 2 3k十b=0 k=-2 则有 解得 ∴.m=3,n=2, b=2 b=2 .M(3,0)、N(0,2), 2 空手建高 .直线MN的解析式为y=一 3x+2, Ⅱ.点M在x轴的负半轴，点N在y轴的负半轴， 连结BM、AN交于点E,连结AM、BN,如图②， 个1V B E M ② 同理可得：直线MN的解析式为y=一 3x-2, ②若AB为平行四边形的一条对角线，连结AN、BM,设AB与 MN交于点F,如图③， 个V 同理可得：直线MN的解析式为y=- 3x+6, 此时点A、B都在直线MN上，故舍去. F 2 B 综上所述：直线MN的解析式为y=一子十2或y-一子。一2 孕手建高 0 M ③