第10讲 相似三角形的基本模型和应用（强基专项）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 强基专项 九年级全一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLISHING HOUSE 第十讲相似三角形的基本模型和应用 空手建高 培优拓展 1.下列两个图形一定相似的是 (C) A.两个菱形 B.两个矩形 C.两个正方形 D.两个等腰梯形 孕手理高 2.如图，下列条件不能判定△ADBp△ABC的是 (D) A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD·AC 0 AD AB BC B A D C (第2题) 孕手理高 3.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角 形的周长分别是 (A) A.75 cm,115 cm B.60 cm,100 cm C.85 cm,125 cm D.45 cm,85 cm 孕手理高 4.如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD上，AF,BE相交于点G,若AE= 3ED,DF=CF,则会S的值是 (C) A号 B. 54 6 C. 5 D 76 A E G F B C (第4题)》 空手理高 5.如图，△ABC中，已知MN∥BC,DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论： D尝岩：®提瓷，®提之，-发其中正箱站论的个致为(B) MN A.1 B.2 C.3 D.4 A D M N (第5题) 空手理高 6.如图，已知点A,B分别在反比例函数y=2(x>0),y=8(x>0)的图象上，且OA1 C 0B.则8 的值为 (B) A.√2 B.2 C.3 D.3 B (第6题) 空手理高 7.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1,D为AC上一点，若∠APD= 60°，则CD的长是 (C) A号 R是 C. 2—3 D 60° B P C (第7题) 空手理高 8.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC,EF的中点，则AD:BE的值为 (A) A.3:1 B.√2：1 C.5:3 D.不确定 B (第8题) 空手理高 9.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的“布洛卡 点”.三角形的布洛卡点由法国数学家克雷尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当 时的人注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名. 已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1,则 EQ+FQ- (D) A.5 B.4 C.3+√2 D.2+√2 P A B (第9题) 孕手理高 10,如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF1AC,垂足为点E,沿-△CEF的面积 为S1,△AEB的面积为S2,则会的值等于 1 16 D F B (第10题) 空手理高 11.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥L2∥13，l1与2之间距离是1，l2 与l之间距离是2，且4,2，分别经过点A,B,C,则边AC的长为2√21 3 h 12 -13 C (第11题) 孕手理高 12.三个边长分别为2cm,3cm,5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为 3.75cm2 5cm 3 cm 2 cm (第12题)》 孕手理高 13.如图，点O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM.若 AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为 2 y=- BM (第13题) 空手理高 14.如图，在△ABC中，AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B. (1)求证：AC·CD=CP·BP. (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时，求BP的长. 解：(1).AB=AC, .∠B=∠C, .∠APD=∠B, .∠APD=∠B=∠C, B ,'∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC, (第14题) ∴.∠BAP=∠DPC, (2)如图所示， .△ABP△PCD, ∴.△BAP∽△BCA, PD∥AB, BP AB .BA BP CD CP’ ∴.∠APD=∠BAP, BCBA' AB=10,BC=12, ∴.AB·CD=CP·BP, .∠APD=∠C, .10 BP .AB=AC, ∴.∠BAP=∠C, ·12 10 ∴.AC·CD=CP·BP ∠B=∠B, ∴BP= 25 15.如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC,BC边上各取一点E,F,连结AF,BE交于点P. (1)若AE=CF. ①求证：AF=BE,并求∠APB的度数. ②若AE=2,试求AP·AF的值. (2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长. 解：(1)①证明：，△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC,∠C=∠CAB=60°， 又.AE=CF, AB=AC, 在△ABE和△CAF中，3∠BAE=∠ACF, AE=CF, B ∴.△ABE≌△CAF(SAS), ∴.AF=BE,∠ABE=∠CAF, ②.∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF, 又，∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP, ∴.△APE∽△ACF, 空手理高 ∴.∠APE=∠BAP+∠CAF=60°， 品能即号-系所以APAF=12 .∠APB=180°-∠APE=120°； (2)①如图所示，当AE=CF时，点P的路径是一段弧： 由题目不难看出当点E为AC的中点的时候，点P经过弧AB 的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°， E ..∠AOB=120°， 又AB=6, C .OA=25, B 点P的路径是= 1π1i 120π×2√34√3π 180 180 3 ②如图所示，当AE=BF时，过点C作CH⊥AB,垂足为H, 点P的路径就是过点C向AB作的垂线段HC的长度， E ,等边三角形ABC的边长为6，CH⊥AB, H -- ,.BH=3, ∴.点P的路径CH=√BC2-BH=√62-32=3√3； B C 空手建高 F ③如图所示， ==.4-2 3 、D .OA=OB,CA=CB, ∴.OC垂直平分AB, 又.∠AOB=120°， .∴.∠AOG=60°， ∴0D=AD·tan30°=3×S-5,0A=20D=25. ∴.DG=OG-OD=2√5-√5=√5， ∴.GC=33-3=2√3， 所以点P经过的轨迹=AG+GC=2Y+25: 3 孕手理高 ④如图所示， 由③可知，DG=5,BGAG=25x. 3 所以点P经过的轨迹=BCG+DG=25x+3. 3 综上所述，点P经过的轨迹的长度为或3成2+ 28或2+ 3 D 。G 空手理高 B F C 16.在△ABC中，P为边AB上一点. (1)如图1，若∠ACP=∠B,求证：AC2=AP·AB. (2)若M为CP的中点，AC=2. ①如图2，若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长， ②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长. A 解：(1).∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴.△ACPC∽△ABC, 力 M ·ACAB M ∴APAC B C B C B 图1 图2 图3 .AC2=AP·AB. (第16题) 碎手业高 (2)①如图所示，取AP的中点G,连结MG,设AG=x,则PG= x,BG=3-x, ,M是CP的中点， A .MG∥AC, ∴.∠BGM=∠A, .'∠ACP=∠PBM, M ∴.△APC∽△GMB, 瓷即 2 B C 3±√5 2 ,AB=3, .AP=3-√5， 碎手理高 .BP=5 ②如图所示，过点C作CH⊥AB于点H,延长AB到点E,使 BE=BP,设BP=x. .∠ABC=45°，∠A=60°， ∴.CH=√3，HE=√3+x, .CE=(5)2+(3+x)2, M .'BP=BE,PM=CM, ∴.BM∥CE, ∴.∠PMB=∠PCE=60°=∠A, ∠E=∠E, ∴.△ECPp△EAC, .CE AE “EP一CE' ∴.CE2=EP·AE, .3+3+x2+2√3x=2x(x+√3+1)， x=√7-1， 孕手理高 ∴.BP=√7-1. :t0:0000。 e年ee0e0.0。年。。e0eee0e。9。 080e00.0gee0000000e9000000e00000000000.00080 冲刺竞赛 年年8年8年。年8年8年888年8年8年88年8年80年8年8卡85888888年 年年0年年年年年0年8年年8年年年年等年年年。年年。年年年8年年年年年中 至8年年年年8年5年年8◆年8年年年888年等。年年年8年年年等8年年 1.如图，已知AB=AC.AE+CE=CD.∠AEC=2∠BCD,则S 2 B E C (第1题) 孕手理高 2.如图，菱形ABCD中，AB=AC,E,F分别为边AB,BC上的点，且AE=BF,连结CE, AF交于点H,连结DH交AC于点O.有下列结论：①△ABF≌△CAE;②∠AHC= 120°；③AH+CH=DH;④AD=OD·DH.其中正确的是①②③④（写序号） E H B (第2题) 空手理高 3.如图，△ABE中，AB=AE=4,∠BAE=120°，C为直线AB右侧的一动点，∠ACB=90°， 则线段CE长的最大值为2十2√7 C A E B (第3题) 空手理高 4.如图，已知四边形ABCD,∠B=∠D=90°，∠BAC+3∠DAC=90°，BC=5,AD=15,则 线段CD的长为3√5 D C A B (第4题) 孕手理高