第7讲 比例线段和平行线分线段成比例（强基专项）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 强基专项 九年级全一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLISHING HOUSE 第七讲比例线段和平行线分线段成比例 空手建高 培优拓展 1.下列四条线段能成比例线段的是 (C) A.1,1,2,3 B.1,2,3,4 3’22,3 D.2,3,4,5 空手理高 2.如图，已知D,E分别为AB,AC上的两点，且DE∥BC,AE=3CE,AB=8,则AD的长为 (D) A.3 B.4 C.5 D.6 E B C (第2题) 空手理高 BF 3.如图，直线4∥∥l,若AC:CE=5:4,则F的值为 (D) A C. D. B C D 12 13 (第3题) 空手理高 4.如图，点D,E,F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC,DF∥AC.若AE：EC=1：2, BF=6,则DE的长为 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 A D E B C (第4题) 空手理高 5.如图，AG:GD=4：1,BD:DC=2:3,则AE与EC的比值是 (D) A.3:2 B.4:3 C.6:5 D.8:5 E G B D C (第5题) 空手理高 6.已知号-台-斤，且a+6-2c=6,则a的值为 12 空手理高 7.已知2是x和4的比例中项，则x=1 空手重高 8.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”. 如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那 么PB的长度为(15-5√5)cm. B (第8题) 空手理高 9.如图，P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP.设以AP为边长的正方形 面积为S1,以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S,,则S1= S2. (选填“>”“=”或“<”) S1 B A S2 (第9题) 孕手理高 10已知告-牛4-告-，则长的值为2或-， a 1 空手理高 11.如图，已知AD∥BECF,它们依次交直线U1,l2于点A,B,C和D,E,F. 若器-号AC=14, 12 (1)求AB的长. A D (2)如果AD=7,CF=14,求BE的长. B E 解：(1).AD∥BE∥CF, (2)如图所示，过点A作AG∥DF交BE于点H,交CF于点G, .AB DE 2 又.AD∥BE∥CF,AD=7, ·BCEF 5 ∴.AD=HE=GF=7, 11 ·AB 2 2 .CF=14, …AC2+5 A D 7 .CG=14-7=7, H .AC=14, BE∥CF, B E ∴.AB=4. .BH AB ·CG 空手建高 ∴.BH=2, G .BE=2+7=9. 12.如图，在△ABC中，EF∥CD,DE∥BC. (1)求证：AF：FD=AD:DB. (2)若AB=15,AD:BD=2：1,求DF的长. 解：(1)证明：.EF∥CD,(2)AD:BD=2:1, 部能 EC BD= 2AD, B AD+合AD=15. (第12题) .DE∥BC, AE .AD=10, EC' .AF:FD=AD:DB, AF AD …FD .AF:FD=2:1, BD' ∴.AF=2DF, .AF+DF=10, ,∴.2DF+DF=10, 碎手业高 ·DF= 3 13.定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分 割点 如图2，△ABC中，AB=AC=2,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点. (2)求线段AD的长. 解：(1).∠A=36°，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=72°， D ,BD平分∠ABC, ∴.∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°， A C B B C .'.AD=BD,BC=BD, 图1 图2 (第13题) .∴.△ABC△BDC, (2),点D是线段AC的黄金分割点， BD ·AB ，即APCD CD PAC AD AD-5IAC. 2 空手理瑞 ∴.AD2=AC·CD, ,AC=2, .点D是线段AC的黄金分割点. ∴.AD=√5-1. 14.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究 这个图形时得到如下结论： 解：精想：当品时能一理由如下： 当品时， 如图所示，过点D作DG∥BE, A 交AC于点G, 则哈能品点 1 E 荒，G=AE G 当时=： n ,AD是△ABC的中线， B .EG=CG,AC=(2n+1)AE, ●。9 1 2n+1 骑想：当品十时，怎的值为多少？ 请说明理由. 碎手建高 冲刺竞赛 1.如图，连结正五边形的各条对角线围成一个新的五边形.图中有 D 很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三 E M N 角形，黄金三角形的底与腰之比为5，若AB=后，则 0 R MN=√5-2. B (第1题) 空手理高 2.如果一个矩形的宽长之比为（√5一1）：2，那么称这个矩形是黄金矩形.如图，四边形ABCD 是黄金矩形且AD-5,L,将矩形ABCD剪裁掉一个正方形ADFE后，利余的四边形 AB BCFE是否是黄金矩形？请说明理由 解：证明：设矩形ABCD的长为x, A E B ,四边形ABCD为黄金矩形， 8宽BC为5,2】 ,四边形AEFD是正方形， .BE= 5-13-√5 D F C 2x- 2 x, (第2题) 3-√5 2 3-5_(3-5)(W5+1)=5-1 5-15-1 (W5-1)(W5+1) 2 空手理高 .BE与BC的比是黄金比， ∴.剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形. 3.如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1:2,D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1, 连结FD与AC交于点N,求FN:ND的值. 解：证法一：如图所示，过点F作FE∥BD,交AC于点E, EF AF …BC AB F E AF:BF=1:2, N .AF 1 AB 3 1 3, .FE∥BD, B C 即FE=BC, 3 FN FE 1BC 2 .BC:CD=2:1, …ND CD 1 BC 2 :.CD=BC, 即FN:ND=2:3. 空手建高 2 证法二：如图所示，连结CF,AD, .'AF:BF=1:2,BC:CD=2:1, ·BF BC2 A “AB BD 3 .∠B=∠B, 公 ∴.△BCFp△BDA, .FC BC 2 衣 …AD BD 3 ∠BCF=∠BDA, ∴.FC∥AD, B C D ∴.△CNF∽△AND, FN CF 2 …ND AD 3 孕手建高 4.如图，AC/BD,AD,BC相交于点E,EF∥BD,求证：十品亦 解：证明：.AC∥EF, C D ∴.△BEFp△BCA, EF BF E …ACAB ①， .EF∥BD, F B .∴.△AEF∽△ADB, (第4题) EF AF ·BD AB ②， EF EF ①+②，得AC+B BF⊥AE=A )AB AB AB =1, “+ 1 碎手业高 5.顶角等于36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”.如图1，在△ABC中，已知AB=AC,且 ∠A=36°. (1)在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于点D,并连结BD.(保留作图痕迹，不 写作法) (2)△BCD是不是黄金三角形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由. (3)设 =k,试求k的值 (4)如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1,∠A1=108°，且A1B1=AB,请直接写出 BC的值， B CI 解：(1)如图所示， B B 空手理高 (第5题) (2)△BCD是黄金三角形， 证明如下： ,点D在AB的垂直平分线上， ∴.AD=BD, ∴.∠ABD=∠A, B .∠A=36°，AB=AC, (3)设BC=x,AC=y, .∠ABC=∠C=72°， 由(2)知，AD=BD=BC=x, ∴.∠ABD=∠DBC=36°， ,∠DBC=∠A,∠C=∠C, 又.∠BDC=∠A+∠ABD=72°，.△BDCp△ABC, ∴.∠BDC=∠C, -瓷即子-， ∴.BD=BC, ∴.△BCD是黄金三角形. 整理得2+xy一y2=0,解得x=二1±⑤ 2 空手建高 因为工，y均为正数，所以k=工=5-1 y 2 m (4) 3-√5 2 理由如下： 延长BC到点E,使CE=AC,连结AE, ∠A=36°，AB=AC, ∴.∠ACB=∠B=72°， ∴.∠ACE=180°-72°=108°， ∴.∠ACE=∠B1A1C, .AB=AB, ..AC=CE=A1 BI=AIC1, ∴.△ACE≌△B1A1C1, ..AE=BC1 ⊙ 由(3)知， ·BC_BC_5-1AB_5-1 ·ABAC2'AE 2 :.BC-BC-BC×A5-E-1×5-1-3=5 碎手理高 ·B1 CAE ABAE 2 2 2