第5讲 圆心角与圆周角（强基专项）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 强基专项 九年级全一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLISHING HOUSE 第五讲圆心角与圆周角 空手理高 培优拓展 1.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是 直径；④相等的圆心角所对的弧相等.其中正确的有 (B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 空手理高 2.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若AD=150°，∠A=75°，∠D=60°，则BC的 度数为 (D) A.25° B.40° C.50° D.60° A D B C (第2题) 空手理高 3.如图，A,B,C,D四个点均在⊙O上，∠AOD=40°，弦DC的长等于半径，则∠B的度数为 (C) A.40° B.45° C.50° D.55° B C (第3题) 孕手理高 4.如图，A,B,C,D四个点均在⊙O上，其中AD=180°，且AB=BD,BC=CD.若在AB上 取一点P,在BD上取一点Q,使得∠APQ=130°，则下列正确的是 (B) A.点Q在BC上，且BQ>DQ B.点Q在BC上，且BQ<QC C.点Q在CD上，且CQ>QD D.点Q在CD上，且CQ<QD B A O D (第4题) 孕手理高 5.如图，在⊙O中，弦AB所对的圆周角∠C=45°，AB=√2，BC=1,则∠A的度数为(A) A.30° B.36° C.45 D.60° C 。O A B (第5题) 孕手理高 6.如图，在⊙O中，AB=BC,∠AOB=40°，则∠BDC的度数是 (B) A.10 D B.20° C.30° D.40° B (第6题) 孕手建高 7.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E,F为圆上一点，若AE= BF,AD=CF,OE=1,则BC的长为 (A) A.26 B.32 C.4 D.5 F B E D (第7题) 空手理高 8.如图，AB是⊙O的直径，点D,C在⊙O上，∠DOC=90°，AC=2,BD=22,则⊙O的半 径为 (D) A.3 B.√5 C.√2+1 D.√0 0 A B D (第8题) 空手理高 9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD.若∠C=72°，则∠ABD的度数是 36° D 0 B (第9题) 孕手理高 10.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为DE上一点（点P与点D,E不重合），连结 PC,PD,DG⊥PC,垂足为点G,则∠PDG等于54 B E (第10题) 空手理高 11.如图，在△ABC中，AB=AC=10,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点 E,连结OD交BE于点M,且MD=2,则BE的长为8· M E B (第11题) 空手理高 12.如图，在⊙O中，点P为AB的中点，弦AD,PC互相垂直，垂足为点M,BC分别与AD, PD相交于点E,N,连结BD,MN. (1)求证：N为BE的中点. (2)若⊙O的半径为8，AB的度数为90°，求线段MN的长. 解：(1)证明：.AD⊥PC, ∴.∠DEN=∠DBN, .∴.∠EMC=90°， ∴.DE=DB, M .点P为AB的中点， ∴.EN=BN, ∴.PA=PB, .点N为BE的中点. (第12题) ∴.∠ADP=∠BCP, .'∠CEM=∠DEN, .∠DNE=∠EMC=90°=∠DNB, .PA=PB, 碎手业高 ∴.∠BDP=∠ADP, (2)如图所示，连结OA,OB,AB,AC, AB的度数为90°， D .∠AOB=90°， .OA=OB=8, .AB=8√2， B 由(1)同理得AM=EM, .'EN=BN, ,.MN是△AEB的中位线， ∴MN=÷AB=4VE 孕手理高 13.如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点 (1)如图1，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF=BE.求证：△ADF≌△ABE. (2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE,BE,AE之间满足等量关系：DE一BE=√2AE 请你说明理由. (3)如图2，若点E在AD上，请写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.（不必证明） 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB=AD, .∠1和∠2都对AE, 0 .∠1=∠2， E AB=AD, B 在△ADF和△ABE中，< ∠1=∠2， 图1 图2 BE-DF, (第13题)》 .∴.△ADF≌△ABE(SAS); 空手建高 (2)由(1)有△ADF≌△ABE, 在正方形ABCD中，∠BAD=90°， .AF=AE,∠3=∠4， ∴.∠BAF+∠DAF=90°， 在正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∠DAE+∠DAF=90°， .∴.∠BAF+∠3=90°， ∴.∠EAF=90°， ∴.∠BAF+∠4=90°， .△EAF是等腰直角三角形， ∴.∠EAF=90°， ∴.EF2=AE+AF2, ∴.△EAF是等腰直角三角形， ∴.EF2=2AE2, ∴.EF2=AE2+AF2, ∴.EF=√2AE,即BE-BF=√2AE, ∴.EF2=2AE2, ∴.BE-DE=√2AE ∴.EF=√2AE,即DE一DF=√2AE, ∴.DE-BE=√2AE. (3)BE一DE=√2AE,如图①，②所示，理由如下： 在BE上取点F,使BF=DE,连结AF, 0 易证△ADE≌△ABF, B 空手理高 ∴.AF=AE,∠DAE=∠BAF, ① ② 冲刺竞赛 1.如图，已知⊙O的半径为1，AB,CD都是它的直径，∠AOD=60°，点P在劣弧BD上运动. (1)∠APC的大小是否随点P的变化而变化？若不变化，请说明理由；若变化，请求出其 变化范围. (2)线段PA十PC的长度大小是否随点P的变化而变化？若不变化，请说明理由；若变 化，请求出其变化范围. 解：(1)∠APC的大小不变化，如图所示，理由如下： ∠APc=∠A0C 而∠AOC=180°-60°=120°， B i∠AC-2X120r=60, (第1题) ,.∠APC不会随着点P的变化而变化. 空手建高 (2)线段PA十PC的长度大小随点P的变化而变化， 连结AC,AD, 六此时点P到AC的距离为号×，厅- 2 ∠AOD=60°，OA=OD, ∴PA+PC的最大值为2√3， .三角形AOD为等边三角形， 点P到AC的距离的最小值为1， 又，CD为直径， 当点P与点D或点B重合，点P到AC的距离最小，最小值为1， .∠DAC=90°，则∠ACD=30°， 此时PA+PC的值为3， 且AO=1,因此AC=√5， 因此，PA+PC值的变化范围为3≤PA+PC≤2√3. 在△APC中，由余弦定理得：AC2=AP2+PC-2AP·PCcost60°， 即AP2+PC2-AP·PC=3, .(AP+PC)2=3+3AP·PC, 面SAAe三7AP·PC·sin60 又：点P在DB上运动，则点P到AC的距离是变化的，底边 AC为定值， ∴△APC的面积是变化的，从而AP·PC的值也是变化的，且 随点P到AC的距离的增大而增大， B 当点P为DB的中点时，点P到AC的距离最大， ,此时三角形APC为正三角形， 孕手重高 2.如图，已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB<1,以AB为一边 在⊙O内作正△ABC,D为⊙O上不同于点A的一点，且DB=AB, DC的延长线交⊙O于点E,试探究AE的长是否为定值（不随AB长E 度的变化而变化).若为定值，请写出这个定值；若不为定值，试确定 AE与OA长之间的关系.答： y B 解：A,B,D,E四点共圆，如图所示， ∴.∠EAB+∠EDB=180°， .BC=BD,∠BDC=∠BCD,∠BCD+∠ECB=180°， ∴.∠ECB=∠EAB, 又.∠CAB=∠ACB=60°， .AB=BD, ,∴.∠ECB-∠ACB=∠EAB-∠CAB, ∴.∠DEA=∠AOB, .∠ECA=∠EAC, .AC=AB, ∴.△EAC是等腰三角形， ∴.△EAC≌△OAB, 孕手型高 ..AE=OA=1. 3.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P,分别交AB, AD于点F,E. (1)求证：DE=AF. (2)若⊙0的半径为，AB=区+1，求会5的值。 E D 解：(1)证明：连结EP,FP,如图所示， ,·四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAD=90°，∠BPA=90°， ∴.∠FPE=90°， ∴.∠BPF=∠APE, 又.∠FBP=∠PAE=45°， B ∴.△BPF≌△APE, (第3题) .'BF=AE, 孕手速高 而AB=AD, ∴.DE=AF (2)连结EF, E .∠BAD=90°， .EF为⊙O的直径， 而00的半径为号 ∴.EF=√3， ∴.AF2+AE2=EF2=(√3)2=3①， 而DE=AF,DE2+AE2=3, B C 又.AD=AE+ED=AB, ∴.AE+ED=√2+1②， 由①②联立起来组成方程组，解得AE=1,ED=√或AE=√2， ED=1, 空手建高 所以部号或 -厄 4.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，并且OC⊥AB,P为⊙O上的一点，位于点B,C 之间，直线CP与AB相交于点Q,过点Q作直线QR与AB垂直，交直线AP于点R.求 证：BQ=QR. R 解：证明：如图所示，连结PB,BR,则∠APC=45°，∠APB=90°， 故∠BPQ=180°-∠APC-∠APB=45°， 又.∠APB=90°=∠BQR, .B,Q,R,P四点共圆， 于是∠BRQ=∠BPQ=45°， 从而△BQR为等腰直角三角形， ..BQ=QR. 碎手理高