专题五 折弧中勾股与相似-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 专题五 折弧中勾股与相似 牵手重高 知识梳理 要点诠释》甜 折弧问题的解决核心 1.翻折就是轴对称（对应角相等、对应线段相等）. 2.折弧的一般性质。 性质一：翻折圆与原来的圆是等圆. 性质二：对称全等与圆中转角（圆周角与圆心角）. 性质三：折弧过圆心，必有120°圆心角(60圆周角). 牵手重高 3.解题突破口. (1)构题方式一：折弧与弦相交类 ①一般构题：如图1，AB,BC为⊙O的两条弦，将BC沿弦BC翻折，翻折后的弧与弦 AB交于点D. ②一般方法：如图2、图3，取点D关于BC的对称点D',连结CA,CD,CD,BD,BD'. 由对称性可得∠DBC=∠D'BC,则AC=CD'=CD,则CA=CD=CD'. 如图3，过点C作CE⊥AB于点E,则在等腰△ACD中，有“三线合一”，即AE=DE. D' B B B D D E 图1 图2 图3 牵手重高 如图4，若折弧过圆心O,则∠A=60°，△ACD为等边三角形. 如图5，若交点所在的弦AB为直径，则满足“射影定理”. HD H D B 图4 图5 图6 图7 如图6，若AB=BC,则等腰△ABC∽等腰△ACD(子母三角形相似). 如图7，当折弧不过圆心或没直径弦时，在图中构造相似，即△CAH∽△CEB. 牵手重高 (2)构题方式二：折弧与弦相切类 M G, B D B 图8 图9 如图8，折弧与直径AB切于点E:对称十垂径十双勾股， 如图9，折弧与弦AB切于点E:对称十垂径十矩形转化十双勾股. 牵手重高 【例1】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD. (1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=2,求⊙O的半径 (2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数. 解：(1)如图①所示，过点O作OD'⊥AC于点H, B 由折叠可得O1=之0D=之AD. B H D D .∠OAC=30°， 0 ∴.∠ADC=120°， A C ∴.AC=√3OA, H (2)如图②所示，连结BC, D A R=2 .∠DAC=∠BAC, ① (例1) ② 3 ∴.CD=BC, .'CD=BC, 过点C作CH⊥AB,则∠BCH=∠DCH=∠BAC=25°， 又AB为直径， 牵手重高 ∴.∠BCA=90°， ∴.∠DCA=40°. 【例2】如图，⊙O的直径AB=12,将劣弧BC沿弦BC折叠后恰好经过圆心O,则图中月牙 (阴影部分)的面积为_18√3十12π B (例2) 牵手重高 【例3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O,劣弧BC恰好经过圆心O,且与AB相 交于点D.若∠ABC=45,BC-后，则BD的长为V3-1,⊙0的半径为√2 A D C (例3) 牵手重高 【例4】如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将劣弧AB沿直线AB折叠，得到AmB,连结 OA交AmB于点C,则OC的长为 (A) A号 B.3 C.√/10 D./11 A B m (例4) 牵手重高 【例5】如图，△ABC内接于⊙O,沿弦AB折叠⊙O,折叠后的AB与弦AC相交于点D.若 AD=3,CD=6,BC=-5,则弦AB的长为2√13，⊙0的半径为513 4 D 0 B (例5) 牵手重高 【例6】如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将BC沿弦BC折叠后经过AB的中点D.若⊙O 的半径为5，AB=4,则BC的长是3√2 A D B (例6) 牵手重高 【例7】如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,BC=6,将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC 的中点D,则弦AB的长为8，⊙0的半径为12√7 7 D 0 A、 B (例7) 牵手重高 【例8】如图，已知AB为半圆⊙O的直径，以弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB相交 于点D.若AD=4,BD=6,则弦CB的长为4√5 D B (例8) 牵手重高 【例9】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H,将劣弧AD沿弦AD折叠，折叠后的弧 刚好经过弦AC的中点E,则sin∠CAB的值为 (B) C E H B 0 D (例9)】 A. B. C. 牵手重高 【例10】如图，在扇形AOB中，C是AB上一点，将扇形AOB沿AC对折，使得折叠后的圆弧 相切于OB的中点D,与OA相交于点E.若OE=1,则折痕AC的长为2√11 D O E (例10) 牵手重高 【例11】如图，在扇形AOB中，C是AB上一点，将扇形AOB沿AC对折，使得折叠后的圆弧 与OB相切于点D,与OA相交于点E.若OD=2BD,OE=4,则折痕AC的长为 3√23 ○ E (例11) 牵手重高