第8讲 相似三角形判定（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第八讲相似三角形判定 牵手重高 知识梳理 今要点诠释》 一、相似三角形的基本判定定理(AA) 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形.相似用 符号“”来表示，读作“相似于”. 1.相似三角形的传递性， 若△A1B1C1p△A2B2C2,△A2B2C2△A3B,C3,则△A1B1C1∽△AB3C3. 2.预备定理. 平行于三角形的一边，并且和其他两边（及延长线）相交的直线，所截得的三角形三边 与原来三角形三边对应成比例.主要有A形（如图1）和X形（如图2）. E 牵手重高 B B 图1 图2 3.判定定理(AA). 两角分别对应相等的两个三角形相似， 4.推论. (1)顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似： (2)有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 注：①证明两个三角形相似时，应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如果是 文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没 有写在对应的位置上；而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”,那么就说明这两个 三角形的对应顶点写在了对应的位置上. ②相似三角形的对应角相等，对应边成比例，两个相似三角形的对应边的比叫作相 似比.全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1. 牵手重高 【例1】如图，在△ABC中，BD,CE是高，交于点O,请指出图中有哪几对相似三角形. A △ABD∽△ACE∽△OBE∽△OCD,共6对 E D B C (例1) 牵手重高 【变式训练1】如图，在□ABCD中，点E在BA的延长线上，CE分别与AD,BD交于点F, G,试指出图中有哪几对相似三角形. 【变式训练1】解：6对，分别是△EAF∽△EBC,△EAFp△CDF, △EBC∽△CDF,△EBG∽△CDG,△DFG∽△BCG,△ABD A D p△CDB. G B (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相 交于点M,BF⊥AM于点F,图中哪些三角形与△ABF相似？如果连结BD,与AE相 交于点O,那么图中会增加哪几对相似三角形？ 【变式训练2】解：如图所示， D .'△ABF∽△AMB,△ABF∽△BMF, E △ABF∽△EMC,△ABF∽△AED, 连结BD, D B C .∴.△ADO∽△MBO, (变式训练2) .∴.△ABO∽△EDO. B M 牵手重高 【变式训练3】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC,D是BC上一点，AD的延长线 交⊙O于点E. (1)△ABE与△CDE相似吗？为什么？ (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【变式训练3】解：(1)解：.AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, ∴.∠AEB=∠AEC,∠BAE=∠ECD, O。 △ABE∽△CDE. D B (2)解：△ABD△AEB,△ABD△CED, E △ACD∽△BED,△ACD∽△AEC,△AECp△BDE. (变式训练3) 牵手重高 【例2】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点E,F分别在CB的延长线和反向延 长线上，∠EAF=135°，求证：△ABEp△FCA. 【例2】解：(1)AB=AC,∠BAC=90°，则： ∠ABC=∠ACB=45°， ∠ABE=∠ACF=135°， B C F (例2) ∠EAF=135°，则： ∠EAB+∠CAF=45°， 又∠EAB十∠E=∠ABC=45°， 则∠E=∠CAF, 故△ABEp△FCA. 牵手重高 【变式训练4】如图，在△ABC中，AB=AC,点E,F分别在CB的延长线和反向延长线上. 当∠EAF和∠BAC满足什么数量关系时△ABE∽△FCA? ∠EAF=90+号∠BAC. B C (变式训练4) 牵手重高 【变式训练5】如图，已知等腰△ABC中，AB=AC=2,点D在边BC的反向延长线上，且 DB=3,点E在边BC的延长线上，且∠EAC=∠D,设AD=x,BC=y. (1)求线段CE的长. (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. (3)当AC平分∠BAE时，求线段AD的长. 【变式训练5】解：(1)如图所示，.AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, .'AB=AC=2, ∴.∠ABD=∠ACE. ∴.DB=3, B E ∴.∠EAC=∠D, 3 2 (变式训练5) ,∴.△DBA△ACE, 2 CE' DB AB 4 …AC CE ∴CE= 3 牵手重高 (2)△DBA∽△ACE, .ED=DB+BC+CE=13 .AD AB …AE CE' 2 ·2 :AD=,AB=2,CE=专， 13 3 十 ·AE=2 x, 3x2、13 ··y= 3 .'∠EAC=∠D,∠E=∠E, 根据三角形的三边关系可以得出：0<y<4, .∴.△EAC△EDA, ·ACEA 0<2- ∠4 13 3 …AD ED' ,./13<x5. .BC=y, 牵手重高 B E (3).AC平分∠BAE, .∠EAC=∠CAB, .∠EAC=∠D, ∴.∠CAB=∠D, .∠ACB=∠ACD, ∴.△CAB∽△CDA, .CAAB D B C E ·CD DA - 2=2,即3+ …3十yx L-I, 解得x1=4,x2=一1（舍去），即AD=4. 牵手重高 【例3】如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠ACD=∠B,求证：△ACDp△ABC. A 【例3】解：证明：，∠A=∠A,∠ACD=∠B, ∴.△ADCp△ACB. D B C (例3) 牵手重高 【变式训练6】如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别在BC,AC上，且BD=CE,AD与 BE相交于点F. (1)求证：△ABD≌△BCE. (2)△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由. 【变式训练6】解：(1)证明：.△ABC是等边三角形， A .∴.AB=BC,∠ABD=∠BCE=∠BAC, 又BD=CE, (2)答：相似，理由如下： ,∴.△ABD≌△BCE. E ,'△ABD≌△BCE, F ∴.∠BAD=∠CBE, B D .∴.∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE, (变式训练6) ∴.∠EAF=∠EBA, 又.'∠AEF=∠BEA, 牵手重高 .∴.△EAF△EBA. 【变式训练7】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在BC,AC上，且 ∠ADE=45°. (1)求证：△ABD△DCE. (2)若AB=2,BD=1,求CE的长. 【变式训练7】解：(1).∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45°， 又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°十∠CAD(三角形的外 角等于不相邻的两个内角之和)， 同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD, D .∠DEC=∠ADB, (2).AE=2, (变式训练7) 又.∠ABD=∠DCE=45°， .BC=22, ∴.△ABD∽△DCE. .'△ABDp△DCE, AB 牵手重高 …BD( 0即品-0÷-.c--÷ 二、相似三角形的基本判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似： 求 AD_3 【例4】如图，D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=3,AC-4,BC=6,且AB DE的长. 【例4】解：.'AE=3,AC=4, ·AE3 从而 DE 3 AC4 4 E BC D AE AD ,且∠A=∠A, 代入BC=6, C ·ACAB (例4) 9 ,∴.△ADEp△ABC 得DE= 2 牵手重高 【变式训练8】如图，D,E分别是△ABC的边BA,CA延长线上的点，AC=2,AD=号，BC= 4且是台求DE的长. E DE=5 B (变式训练8) 牵手重高 【变式训练9】如图，已知△ABC中，AB=6cm,AC=4cm.动点D,E同时从A,B两点出 发，分别沿A→C,B→A方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s.当点E到 达点A时，D,E两点停止运动.设运动时间为t(s),当t为何值时，△ADE与△ABC相 似？ 【变式训练9】解：根据题意得BE=2t,AD=t, .AE=6-2t,∠A=∠A, ÷分两种情况：①当铝祀时，即。2=令解得1=号 D 6 7 @当光0时，即2=台解得1号 B C 综上所述，当1=号或号时，△ADE与△ABC相似. (变式训练9) 牵手重高 【例5】如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是 (A) (例5) A. B. C D. 牵手重高 【变式训练10】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 (C) ① ② ③ ④ (变式训练10) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ 牵手重高 【变式训练11】如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC; ②△ADE;③△AEF;④△AFH;⑤△AHG.在②至⑤中，与①相似的是 (A) A.②④ E F H ③ ④ B.②⑤ D C.③④ ⑤ G A D.④⑤ ① B C (变式训练11) 牵手重高 【变式训练12】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D为格点（即小正 方形的顶点)，AB与CD相交于点O,则A0的长为。7 B A D (变式训练12) 牵手重高 【例6】如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：①∠ACP=∠B;②∠APC= ∠ACB;③AC=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.其中能满足△APC与△ACB相似 的条件是①②③.（写序号） P B (例6) 牵手重高 【变式训练13】如图，D,E是以AB为直径的半圆O上任意两点，连结AD,AE,DE,AE与BD 相交于点C,要使△ADC与△ABD相似，可以添加的一个条件是①②③.（写序号） ①∠ACD=∠DAB;②AD=DE;③AD2=BD·CD;④CD·AB=AC·BD. E C B 0 (变式训练13) 牵手重高 【变式训练14】如图，点D,E在△ABC的边BC的延长线上，且AB=BC=CD=DE,∠B= 90°，则∠1+∠2+∠3=90° 3 B D E (变式训练14) 牵手重高 【变式训练15】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=CD=√2，E,D为CB的三等分点. (1)证明：△ADE∽△BDA. (2)证明：∠ADC=∠AEC+∠B. (3)若P为线段AB上一动点，连结PE,则使得线段PE的长度为整数的点P有几个？ 请说明理由. 解：(1)证明：，AC=CD=DE=EB=√2， 又.∠C=90°， ..AD=2, D E B (变式训练15) .DE_√2 DA =2=2 …AD 2’BD 22 2 (2)证明：△ADE△BDA, DE DA ∴.∠DAE=∠B, AD BD' 又.∠ADC=∠AEC+∠DAE, 又'∠ADE=∠BDA, .∠ADC=∠AEC+∠B. 牵手重高 .△ADEp△BDA. (3)解：，点P为线段AB上一动点， 根据勾股定理得：AE=√AC十CE2=I0,BE=√2， .PE的最大值为I0, 作EFLAB,则EF=,则PE的最小值为 L≤EP≤√O, .EP为整数，即EP=1,2,3, F 结合图形可知PE=1时有两个点，C D E B 所以PE的长为整数的点P有4个 牵手重高 三、相似三角形的基本判定定理 1.判定定理. 三边成比例的两个三角形相似. 2.推论. (1)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 (2)腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似 牵手重高 【例7】在△ABC中，AB:BC:CA=2：3：4,在△A1B1C1中，AB1=1,C1A1=2,当 3 C2时，△ABC∽△A1BG 牵手重高 【变式训练16】在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=8,在△DEF中，DE=6,DF=12,当 EF=15 时，△ABC∽△DEF. 2 牵手重高 【变式训练17】有一个三边长分别为20cm,50cm,60cm的三角形钢筋框架，要做一个与它 相似的三角形框架.现有长30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另 一 根上截下两段（允许有余料）作另外两边，你认为有几种不同的截法？说出你的理由. (1)如图1所示，以30cm长的钢筋为最长边，设中边为x,短边 长为y, 25cm 则有① 30 60 ，解得x=25, 10cm 50 30 cm 30 ② 60 ,解得y=10, 图1 所以从50cm长的钢筋上分别截取10cm,25cm的两段. 牵手重高 (2)如图2所示，以30cm长的钢筋为中边， 设长边为x,短边长为y, 12cm 30 cm 3 则有① I- 60 0,解得x=36, 30 36 cm ② 50 =义，解得y=12, 20 图2 所以从50cm长的钢筋上分别截取12cm,36cm的两段. (3)若以30cm长的钢筋为短边， 设长边为x,中边长为y, 则有品一职解得=90（不合题意，合去. 30 牵手重高 【变式训练18】在方格纸中，每个格子的顶点叫作格点，以格点连线为边的三角形叫作格点 三角形.如图所示，在大小为4×4的正方形方格中，存在格点△ABC,请根据三边的比 对应相等的三角形是相似三角形的原理，在图中画一个与△ABC相似但不全等的格点 △A1B1C,并说明理由. C A B Al Bi A (变式训练18) B 牵手重高 【例8】如图，AD,A1D,分别是△ABC和△AB,C的中线，且AB AB AC AD AC AD ,判断 △ABC与△A1B1C是否相似，并说明理由. 【例8】解：相似；证明如下： .AD,A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的中线， G.BD-DC-7BC. B D:=D:C=BCi. 2 B D C (例8) BD:BD=DC:DC1=BC:B1C1, .AB:AB=BC:BC1=AD:A1D1, .∠B=∠B1, AB:A1B=BD:BD1=AD:A1D1, 又AB:A1B1=BC:B1C1, ∴.△ABD与△A1B1D1相似(SSS), ∴.△ABC∽△A1B1C1(SAS). 牵手重高 _AD' 变式训练19】如图，在△ABC和△ABC'中，D,D分别是AB,AB上一点，A常=R 当品-名一骨时，判断△A5C与△ABC是否相似并说明理由， 【变式训练19】解：相似；理由如下： ..AD A'D' ·AB AB ·AD AB …ADAB D B A D' B (变式训练19) AC AB AC AB· ∴.∠A=∠A', 0-瓷-品 又品福 AB ∴.△ADC∽△A'D'C', .△ABC∽△A'B'C'. 牵手重高 【变式训练20】四边形ABCD中，AB∥DC,AD=10,∠A=90°，点P在AD边上，PA=x. 请画示意图解答下列问题， (1)若AB=3,CD= 2 3,x=5,请判断△ABP与△DPC是否相似. (2)若AB=CD,△ABP∽△DPC,且这样的P点只有一个，求x的值. (3)若AB<CD,且存在点P,使得△ABP,△DPC与△PBC均相似，求x的值. 解：(1)如图所示，PA=PD=5,AB=3,CD= 25 3 CD PD 5 ·PAAB 3 .AB∥CD,∠A=90°， ∴.∠D=180°-∠A=90°， ∴.∠D=∠A, 牵手重高 ∴.△CDP∽△PAB. B (2)如图所示，.AB=CD,AB∥CD, D C ∴.四边形ABCD是平行四边形， ,∠A=90°，.四边形ABCD是矩形， 当以BC为直径的圆与AD相切于P时，△ABP∽△DPC,且 P 这样的P点只有一个. 此时△PBC是等腰直角三角形，PC=PB,易证△PCD∽△PBA, A B PA=PD=5, ∴.x=5. 牵手重高 (3)①如图所示，当∠CPB=90°时， .△ABP,△DPC与△PBC均相似，AB≠CD, ∴.只有∠DCP=∠PCB,∠CBP=∠PBA,延长BP交CD的延 长线于点K, .∠K=∠ABP=∠CBP,∠KCP=∠BCP,CP=CP, ..△CPB≌△CPK, D Ka---- C ∴.PB=PK, .∠KPD=∠APB,∠K=∠ABP, .△PDK≌△PAB, P ∴.AP=DP, .AD=10, ,∴.x=PA=5; D 牵手重高 ②如图所示，当∠PBC=90°时， ,'△ABP,△DPC与△PBC均相似，AB≠CD, ∴.只有∠CPD=∠CPB=∠APB=60°， .CP=CP,∠D=∠CBP=90°， D ∴.△CPD≌△CPB, ..PD=PD, 在Rt△PAB中， .∠ABP=30°， P ∴.PB=2PA, ∴.10-x=2x, = 10 A B 3 10 牵手重高 综上所述，x=5或3时，△ABP,△DPC与△PBC均相似. 【例9】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F是BC上一点，BF=BC,连结DF, EF,则与△AED相似的三角形是△BEF和△EDF D E B F C (例9) 牵手重高 【变式训练21】下列选项中的四个三角形，与图中的三角形相似的是 (C) (变式训练21) 牵手重高 【变式训练22】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E在BC上，连结AD,AE.记CD=a, DE=EB=b,图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则号= 4 Db E b B (变式训练22) 牵手重高