第9讲 相似三角形的性质和应用（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第九讲相似三角形的性质和应用 牵手重高 知识梳理 》 要点诠释》 一、相似三角形的性质一 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 牵手重高 【例I已知△ABC∽△A'BC,BD和BD'是它们的对应中线，S-=号，BD'=4,则BD 的长为 6 牵手重高 【变式训练1】如图1、图2，已知△ABC∽△A'B'C',相似比为k. I)若∠BAD=号∠BAC,∠B'A'D'=∠BA'C,则0=飞 (2)若BE=BC,BE'=BC,则5=飞 B DE E'D' B' 图1 图2 (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】定义：三角形角的顶点到该角的外角平分线与该角对边交点之间的距离叫作 三角形的外角平分线.下图中的AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C的外角平分线. 我们知道两个相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线之比都等于相似比，那 么两个相似三角形对应角的外角平分线之比是否等于相似比呢？例如：已知△ABC刀 △A'B'C',且△ABC与△AB'C'的相似比为k,AD,AD'分别是△ABC,△A'B'C'的外角 平分线，那么品-人是香成立？如果结论成立，请证明；如果结论不成立，请说明理由。 B D (变式训练2) 牵手重高 【变式训练2】解：结论：品=k成立。 AD 理由：，△ABC∽△A'BC',且△ABC与△A'BC‘的相似比 为k, ∴.∠BAC=∠B'A'C',∠C=∠C,AB:A'B'=k, A ∠EAB=∠EA'B', B :∠ABD=∠BAC+∠C,∠A'B'D'=∠BA'C'+∠C, ∴∠ABD=∠A'B'D', :AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C的外角平分线， ÷∠BAD=∠BAE,∠BAD'=合∠AE, ∴.∠BAD=∠BA'D', B' ∴.△BAD∽△BA'D', ∴.AD:A'D'=AB:A'B=k, 牵手重高 即AD D' AD =k. 【变式训练3】要求：(1)根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为 一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法，保留作 图痕迹， (2)在已有的图形上画出一组对应高，并求证相似三角形对应边上的高之比等于相似比. 【变式训练3】解：(1)如图所示，△AB'C即为所求 B' 牵手重高 (2)已知，如图所示，△ABC∽△A'B'C',AB _B'C'A'C AB BC AC k,CD是△ABC的高，CD'是△A'B'C'的高，求证：CD CD =k. 证明：△ABC∽△AB'C', ∴∠B=∠B, .CD是△ABC的高，CD'是△A'BC的高， ∴.∠BDC=∠BD'C=90°， ∴.△BCD∽△B'C'D', B'C' CD ·BC CD ..A'B' B'C' A'C' ·AB BC AC =k, B' B'C' CD' 牵手重高 BC CD 【例2】如图，要在高AD=80mm,底边BC=120mm的三角形余料中截出一个正方形板材 EFGH,求正方形板材的边长. 解：48mm. E H B F D G (例2) 牵手重高 【变式训练4】如图，在锐角△ABC中，边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成一个 矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上 (1)设PN=x,矩形PQMN的面积为S,求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围. (2)当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？ 【变式训练4】解：(1).PN∥BC, A ∴.△APN∽△ABC, .PN AE ·BCAD' E .QM=PN=x,MN=ED=y,AE=80-y, 80-y B O D M …120 80 (变式训练4) 2 .y=80- 32, (2)设矩形的面积为S, .S=xy=- +80：80-号>0， 2 则S=一 是x2+80x=-号(z60)2+2400 3 牵手重高 解得x<120,则0<x<120. 故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2. 【变式训练5】有一道作业题：如图1，有一块三角形ABC,它的边BC=120mm,高AD= 80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB, AC上. (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这个矩形的最大面积是多少？若 边BC=a,高AD=h,则矩形PQMN面积的最大值为 _，（用含a,h的代数式表示） ah (3)现有一块四边形的木板余料ABCD(如图3)，经测量AB=60cm,BC=100cm, CD=70cm,且∠B=∠C=60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M,N在边BC上 且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积. D B O DM C B D MC B 图1 图2 图3 牵手重高 (变式训练5) 【变式训练5】解：(1)如图所示，设正方形的边长为xmm,则PN= PQ=ED-x, ..AE=AD-ED=80-x, .PN∥BC, P E W ∴.△APN∽△ABC, PN AE 80-x ·BCAD 即 120 80 解得x=48, B DM C .加工成的正方形零件的边长是48(mm); 牵手重高 (2)设PN=x,矩形PQMN的面积为S, 由条件可得△APN∽△ABC, 院恶即子-P解得PQA女 h 则S=PN·PQ=xh-合r)=-2+h, 故S的最大值为华 牵手重高 (3)如图所示，延长BA,CD交于点E,过点E作EH⊥BC于 点H, .∠B=∠C, E ∴.EB=EC, .'BC=100cm,且EH⊥BC, A .BH=CH=- BC-50 cm EH .'tanB- BH =√3， B M H W ∴.EH=√3BH=√3X50=50W3cm, .CD=70 cm, 在Rt△BHE中，BE=/EH2+BH2=100cm, ∴.ED=30cm, .'AB=60cm, .CE的中点P在线段CD上， ∴.AE=40cm, .中位线PQ的两端点在线段AB,CD上， .BE的中点Q在线段AB上， 由(2)知，矩形PQMN的最大面积为： 牵手重高 BC·EH=1250v月cm2. 【变式训练6】△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,如下图，将 它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率更高（得到的正方形的面积较大）. A 【变式训练6】解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如题 图1，设正方形CDEF边长为x, E DE=x cm,BD=BC-CD=(6-x)cm, .DE∥AC, ∴.△BDEp△BCA, D B C M B 图1 图2 肥即专-6。解得 BD 24(cm), (变式训练6) 24 即正方形边长为 cm; 牵手重高 当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如题图2，作CH⊥ AB于H,交MQ于点J,则MN∥CH, A AB=/AC2十BC2=/82+62=10, :2CH·AB=2AC·BC ..CH=8X6_ 24 H 105 (cm) N 设正方形MNPQ边长为x, M B 24 则QM=x,CJ= 图2 .QM∥AB, 即正方形MNPQ边长为37 120 cm; ∴.△CMQ∽△CBA, 24 ·24=120、120 器品即品 CJ 5 120 73537 ,解得x= 24 37 (cm), ∴.图1利用率高. 牵手重高 5 【变式训练7】如图，将一块锐角三角形的余料加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在 三角形边上.若三角形的三边长分别为a,b,c,且a>b>c,正方形的2个顶点放在哪条 边上可使加工出来的正方形零件面积最大？ A 【变式训练7】解：设a,b,c三边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC的 面积为S, 三边上正方形的边长分别为 S= 2a·ha, 6 F G Ta Ib,xc 2S 当2个顶点在BC上时， ∴.xa= atha, EF∥BC, 2S C 同理：6 2S a D B .∴.△AEF∽△ACB, b十hx= c+hc EF AG 作差比较可得xa<x<xc, ·BC AD' 即当正方形的2个顶点放在最短边上可使正方形零件面积 九一，解得x。 a·ha 最大 ha atha 牵手重高 二、相似三角形的性质二 1.定理 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 2.推论. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 牵手重高 【例3】如图，已知DE∥FG∥BC,且AD:DF：FB=1：2:3,求S△ABC:S四边形DFGE： S四边形FBCG· 【例3】解：.DE∥FG∥BC, D ,∴.△ADE∽△AFG∽△ABC, 又，AD:DF:FB=1:2:3, F G AD:AF:AB=1:3:6, ∴.面积比是1：9：36， B C 设△ADE的面积是a, (例3) .△AFG和△ABC的面积分别是9a,36a, ∴.S四边形DFGE和S四边形FBCG分别是8a,27a, ∴.S△ABC:S四边形DFGE:S四边形FBCG=1:8:27. 牵手重高 【变式训练8】如图，P是△ABC内一点，过点P分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的 三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是4,9和49，则△ABC的面积是21 B (变式训练8) 牵手重高 【变式训练9】两个相似多边形面积之比为1：2，其周长之差为6，则这两个多边形的周长分 别是6√2+6,12+6√2 牵手重高 【变式训练10】如图，在△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,动点E(与点A,C不重合)在AC 边上，EF∥AB交BC于点F. (1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长. (2)当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长. 【变式训练10】解：(1).△ECF的面积与四边形EABF的面积 相等， E F .S△CF:S△ACB=1:2, 又.EF∥AB, A B .∴.△ECF∽△ACB, (变式训练10) ,S△ECF ·S△ACB =且AC=4, ∴.CE=2√2. 牵手重高 (2)设CE的长为x, .'△ECF∽△ACB, CE CF …CA CB' ∴CF= 3 4 -T, 由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得： 寸EF十8x=（4x)十5+B 于x)+EF,解得x=2生， 24 4 CE的长为7 牵手重高 【变式训练11】如图，某施工队在道路拓宽施工时，遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面 积为100m,周长为90m的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被占去了一部分（即 △ADE),变成了四边形BCED且DE∥BC.原绿化地一边AB的长由原来的30m缩短 成BD,为18m.被占去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 【变式训练11】解：由题意可得：DE∥BC, A 则△ADE∽△ABC, DE AE C△ADE E BC AC C△ABC ,'AB的长由原来的30米缩短成BD长18米， ∴.AD=12m, B 即12 C△ADE (变式训练11) 30 C△ABC C△ADE,解得C△ADE=36(m), 90 S△ADE = 4 00,解得S△4DE=16(m2 牵手重高 S△ABC 25 【变式训练12】如图，在四边形ABCD中，AC,BD是四边形ABCD的两条对角线，点E,F, G,H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但点E,F,G,H不与点A,B,C,D重合， 且EF∥BD∥HG,GF∥AC∥HE. (1)若对角线AC=BD=a,a为定值，求证：四边形EFGH的周长是定值 (2)若AC=m,BD=n,m,n为定值，但m≠n,则四边形EFGH的周长是定值吗？请说 明理由 G A H F B E (变式训练12) 牵手重高 【变式训练12】解：(1).EF∥BD∥HG,GF∥AC∥HE, ∴.四边形EFGH是平行四边形， 设GH为x,GF为y,AH=p,BH=q, .'HG∥BD,BD=a, .AH HG ·AB 卫十q a, .HE∥AC,AC=a, BH HE ·AB p+q x十y= a(p十q) p+q 故四边形EFGH的周长=2(x十y)=2a. 牵手重高 (2):AC=m,BD=n,则有义=p,X=9 m p+q'np十q ∴x+y=pm+g 卫m十n = 力十q 卫+1 m,n为确定的值，H是AB上的动点，卫是变量， 而x十y随的变化而变化， ∴.x十y不能确定，即四边形EFGH的周长不是定值. 牵手重高 【变式训练13】如果直线1把△ABC分割为面积相等，且周长也相等的两个部分，那么就把 直线1称作△ABC的“完美分割线”.已知在△ABC中，AB=AC,△ABC的一条“完美 分割线”为直线1，且直线1平行于BC.若AB=2,则BC的长等于4√2一4 牵手重高 【例4】如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2,则△A1B1C1与△A2B2C2的周长比为 2：1,面积比为4：1 B2 C2 A A2 C (例4) 牵手重高 【变式训练14】如图，在5×5的正方形网格中已有1个格点三角形，请在下列3个正方形网 格中分别画1个格点三角形，使所画的三角形与已有的三角形： (1)周长比为2：1； (2)面积比为2：1； (3)相似比最大 ② ③ (变式训练14) 牵手重高 【变式训练15】如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2：3,连结AE, BE,BD,且AE,BD交于点F,则SADEF:S△EF:S△BAF-4：10：25 (变式训练15) 牵手重高 三、三角形的重心 如图1，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，三角形的重心分每一条中线为1：2 的两条线段，即 OD OE OF 1 'OA OB OC-2· F E E H B D B D 图1 图2 如图2，过点E作EH∥BC交AD于点H,根据三角形的中位线平行于第三边并且等 于第三边的一半可得CD=2EH,从而得到BD=2EH,再根据△BDO和△EHO相似，利 用相似三角形对应边成比例的定理列出比例式计算，即可得需-S-号，同理也可以得 牵手重高 到其他比例. 【例5】如图，点G为△ABC重心（即AD,BE,CF分别为各边的中线）.若已知S△FG=1,则 S△ABC为 (D) A.2 B.4 C.8 D.12 A E G B D (例5) 牵手重高 【变式训练16】如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC,分别交AB, AC于点E,F.若AC=18,则AF=12 E G B D (变式训练16) 牵手重高 【变式训练17】在Rt△ABC中，斜边AB=12,其重心与外心之间的距离为 (A) A.2 B.3 C.4 D.6 牵手重高 【变式训练18】如图，在△ABC中，AB=AC=25,BC=14,中线AD,CE相交于点F,则AF 的长为16 A E D C (变式训练18) 牵手重高 【变式训练19】如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F, 且EF+BC=7.2cm,求BC的长. 【变式训练19】解：如图所示，连结AG并延长，交BC于点P, ,G为△ABC的重心， ∴.AG=2GP, A ∴.AG:AP=2：3, EA G F ,EF过点G且EF∥BC, B ∴.△AGF∽△APC, E G (变式训练19) ∴.AF：AC=AG:AP=2：3. 又.'EF∥BC, B .∴.△AEF∽△ABC, .EFAF 2 又EF+BC=7.2cm, …BCAC3 牵手重 ,∴.BC=4.32cm. 四、相似多边形 1.相似多边形的性质. 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 相似多边形的周长比等于相似比. 相似多边形的面积比等于相似比的平方. 2.用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： 对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形， 对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形. 边数相同的正多边形都相似，如：正方形、正五边形 牵手重高 【例6】如图，已知矩形ABCD中，AB=2,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠，使 点B落在AD上的点F处.若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= (B) A.5 F D B.5+1 C.4 D.2√3 B E C (例6) 牵手重高 【变式训练20】两个相似的五边形，一个各边长分别为1,2,3,4,5，另一个最大边长为10，则 后一个五边形的最短边的长为 2 牵手重高 【变式训练21】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,P是AB上一点，PE∥BC交CD于点E. 若AD=2,BC=号则点P在何处时，PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形？ 【变式训练21】解：.PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形，4 ∴.梯形ADEPO∽梯形PECB, AD PE P E …PE BC' AD-2,BC-9 , B C (变式训练21) ∴.PE=3, 2 六相似比为名， 牵手重高 ∴AP= 2-AB. 【变式训练22】如图，矩形AB'CD'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B',AD∥A'D',且AD= 12,AB=6,设AB与A'B',BC与B'C',CD与C'D',DA与D'A'之间的距离分别为a, b,c,d, (1)若a=b=c=d=2,矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗？为什么？ (2)若矩形A'B'C'D'矩形ABCD,a,b,c,d应满足什么等量关系？请说明理由. 【变式训练22】解：(1)不相似；理由如下： .AD12 3 AB 6 ·AD 2AB72 =3, 8 .不相似： B B (2)要使矩形A'B'CD'∽矩形ABCD, a (变式训练22) 就要使品-常，即2名。9 AB 12 6 牵手重高 可得2d+2b=a+c. 【变式训练23】如图，已知矩形ABCD中，在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠，使 点B落在AD上的点F处，且四边形EFDC与矩形ABCD相似. (1)求证：四边形ABEF是正方形 (2)求证：点F是AD的黄金分割点. 【变式训练23】解：证明：(1).∠B=∠BAF=∠AFE=90°， .四边形ABEF是矩形， 由折叠的性质可知AB=AF, .四边形ABEF是正方形. (2),四边形EFDC与矩形ABCD相似， B E FD (变式训练23) AB AD,又AB=CD ∴.AB2=FD·AB,又AB=AF, .AF2=FD·AB, 牵手重高 ∴.点F是AD的黄金分割点. 【例7】如图，矩形ABCDO∽矩形FAHG,能求出图中阴影部分面积的条件是 (A) A.矩形ABCD和矩形HDEG的面积之差 B.矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 C.矩形ABCD和矩形HDEG的面积之和 F G E D.矩形ABCD和矩形AHGF的面积之和 A H D B C (例7) 牵手重高 【变式训练24】如图，矩形ABCD∽矩形FAHG,连结BD,延长GH分别交BD,BC于点I, J,延长CD,FG交于点E,一定能求出△BIJ(阴影部分)面积的条件是 (B) A.矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差 B.矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差 C.矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 G D.矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差 E A H D B C (变式训练24) 牵手重高