专题四 圆幂定理-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 专题四圆幂定理 牵手重高 知识梳理 ⊙要点诠释》细 圆幂定理 圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切线长定理、弦切角定理及割线定 理（切割线定理推论）的统一 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理 推论)以及它们推论的统一与归纳.根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下 定理： (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图1，AB,CD为圆中两条相交的弦，交点为点P,则PA·PB=PC·PD (2)弦切角定理：从圆外一点P引一条切线与圆相交于点A,过点A作圆的一条弦AB 交圆于点B,此时∠PAB等于弦AB与切线PA所夹弧所对的圆周角，等于弦AB所对的 圆心角的一半， 牵手重高 如图2，PA,PC分别为圆的一条切线和割线，点A为切点，则∠PAB=∠C. (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条 线段长的比例中项 如图2，PA,PC分别为圆的一条切线和割线，点A为切点，则PA=PB·PC (4)割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A,B,C,D,则有PA·PB= PC·PD 如图3，PB,PD为圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD D A D ◇ 0 B 0 C 夕 B A 图1 图2 图3 牵手重高 【例1】如图，圆中两条弦AC,BD相交于点P.D是AC的中点，连结AB,BC,CD.若BP =√3，AP=1,PC=3,则线段CD的长为 (A) D B C (例1) A.√6 B.2 C.3 D./5 牵手重高 【例2】如图，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为 C,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F.若AC=3,BC=4,则EF的长为 C E D A 0 B (例2) 牵手重高 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，⊙O过点C与AB边相切于点D.若AD=3,AC= 4,则⊙O的半径长为 25 8 A D B C 0 (例3) 牵手重高 【例4】如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点D,过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若AB=7,DE=12,则CD的长为12√/12 5 A B E (例4) 牵手重高 【例5】如图，在□ABCD中，过A,B,C三点的圆交AD于点E,且与CD相切.若AB=4, BE=5,则DE的长为16 5 D C E B (例5) 牵手重高 【例6】如图，在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N.若 AC=2AB,求证：BN=2AM, B M 解：证明：因C1是∠C的角平分线，放瓷 N 又由割线定理得BM·BA=BN·BC,于是六 AB i BC BM ②， (例6) 由①，②知品、.而AC=之AB,所以BN=2AM, 牵手重高 【例7】如图，PA切⊙O于点A,点B在⊙O内，BP交⊙O于点C.若PA=6,PC=4,CB= 2,OB=1,求⊙O的半径. A C B 解：延长PC交⊙O于点D,双向延长OB交⊙O于点E,F,(例7) 则PA2=PC·PD,BC·BD=BE·BF, 又设⊙O的半径为r, 则62=4(6+BD),2BD=(r一1)(r+1), 解得BD=3,从而得r=√7. 牵手重高