第14讲 切线长定理与三角形的内切圆（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第十四讲切线长定理与三角形的内切圆 牵手重高 知识梳理 要点诠释》翻 一、切线长和切线长定理 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长，叫作这一点到 圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角. 牵手重高 【例1】如图，⊙O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F.如果AB=4,AC=5, AD=1,那么BC的长为7· E D 0 B C (例1) 牵手重高 【变式训练1】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10,CD=15,则四边形 ABCD的周长为 50 D A B (变式训练1)》 牵手重高 【变式训练2】如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B.若PA= 8cm,C是AB上的一个动点（点C与A,B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交 PA,PB于点D,E,则△PED的周长是16cm. D 0 E B (变式训练2) 牵手重高 【变式训练3】如图，⊙O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A, ∠ABC,∠ACB所对的边长依次为3,4,5，则⊙O的半径是2 B ·0 A C (变式训练3) 牵手重高 【变式训练4】如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点 F,交AD边于点E.若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为14 A E B (变式训练4) 牵手重高 二、三角形的内切圆 1.三角形的内切圆. 如图1，和三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内 心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.三角形内切圆的半径与三边的关系. A E B B 图1 图2 图3 如图2，设a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，面积为S,则内切圆半径r= 各，其中p=号a+6十c0.如图3，若∠C=90,则=多a十6-6. 牵手重高 画 【例2】如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为 π 3 C (例2)】 牵手重高 【变式训练5】如图，△ABC的内心为点I,连结AI并延长交△ABC的外接圆于点D,则线 段DI与DB的关系是 (A) A.DI-DB B.DI>DB C.DI<DB D.不确定 A B D (变式训练5) 牵手重高 【变式训练6】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A,B,C在平面直 角坐标系中的坐标分别为(3,6)，（一3,3），(7，一2)，则△ABC内心的坐标为(2，一 3) B (变式训练6) 牵手重高 【变式训练7】如图，在扇形CAB中，CD⊥AB,垂足为点D,⊙E是△ACD的内切圆，连结 AE,BE,则∠AEB的度数为135° E A B D (变式训练7) 牵手重高 【例3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=1 B (例3) 牵手重高 巴 【变式训练8】如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=16,点O为△ABC的内 心，点M为斜边AB的中点，则OM的长为2√5- C A M B (变式训练8) 牵手重高 【变式训练9】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是(A) A.点O是△ABC的内心 B.点O是△ABC的外心 C.△ABC是正三角形 D.△ABC是等腰三角形 0 B C (变式训练9) 牵手重高 【变式训练10】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点I是△ABC的内 心，则∠BIA的度数是135 B (变式训练10) 牵手重高 【例4】如图，已知边长为a的正三角形ABC内有一边长为b的内接正三角形DEF,则 △AEF的内切圆半径为√3 (a-b 6 A E B D C (例4) 牵手重高 【变式训练1】如图，在△ABC中，AB=3,AC-是，D是BC边上的一点，AD=BD=2DC 设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为，那么号 (C) B D (变式训练11) A.2 B. 43 32 D. 23 牵手重高 【变式训练12】如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连结AI并延长交BC和 ⊙O于D,E两点. (1)求证：EB=E. (2)若AB=4,AC=3,BE=2,求AI的长. 解：(1)证明：，点I是△ABC的内心， ∴.AE平分∠CAB,BI平分∠ABC, .∴.∠BAE=∠CAE,∠ABI=∠CBI, .'∠BIE=∠BAE+∠ABI,∠IBE=∠IBD+∠EBD, B ,∠CBE=∠CAE, E ∴.∠BIE=∠EBI, (变式训练12) ∴.EB=EI. 牵手重高 (2)如图所示，连结EC, A ,∠BAE=∠CAE, ∴.BE=EC, ∴.BE=EC=2, ,∠ADB=∠CDE,∠BAD=∠DCE, ∴.△ADB∽△CDE, B D C BD ·DE -AD=A2=4=2,设DE=m,CD=n,则BD=2m, DCEC2 E AD=2n, .EC2=ED·EA, 同法可证：△ADC∽△BDE, .4=m·(m+2n), .AD AC .∴.4=2k(2k+6k), ·BD BE' .2n_3 =或-合（含弃）， …2m 2 ,.DE=1,AD=3, .n:m=3:2,设n=3k,m=2k, ,.AE=4, .'∠CED=∠AEC,∠ECD=∠BAE=∠CAE, .'EI=BE=2, 牵手重高 ∴.△ECD∽△EAC, ..AI=AE-EI=2. 【变式训练13】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半 径为√3，则△BC的外接圆半径为 (D) A.7 B.73 C.72 D.23 3 C (变式训练13) 牵手重高 【变式训练14】如图，在△ABC中，∠BOC=140°，点I是内心，点O是外心，则∠BIC等于 (B) A.130° B.125° C.120° D.115 A B (变式训练14) 牵手重高 【变式训练15】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,⊙O是△ABC的内切 圆，连结AO,BO,则图中阴影部分的面积之和为 (B) A.10- B.14- 5 C.12 D.14 B (变式训练15) 牵手重高