第15讲 反比例函数（培优教程） -【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第十五讲反比例函数 童手重高 知识梳理 ⊙要点诠释》翻 形如y= (k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，反比例函数的基本性质有： 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐 标轴有交点； k的正负性决定双曲线大致位置及y随x的变化情况； 双曲线上的点是关于原点成中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 及y=一x. 牵手重高 【例1)如图，已知双曲线y=(x>O)经过矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且四 边形OEBF的面积为6，求k的值 解：点F是AB的中点， ∴.设点F的坐标为(a,b),则点B的坐标是(a,2b), E B 1 .S△A0F=S△OE= k F 2 S矩形ABC0=aX2b=2ab=2k, A (（例1) ,'.四边形OEBF的面积=S矩形ABC0一S△AOF一S△COE =2-6-合6 =k 牵手重高 =6. 【变式训练1】如图，双曲线y=2(x>O)与矩形OABC的边CB,BA分别交于点E,F,且 AF=BF,连结EF,则△OEF的面积为 3 V 2 B C E A x (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】如图，反比例函数y=的图象经过平行四边形ABCD对角线的交点P,已知 点A,C,D在坐标轴上，BD⊥DC,平行四边形ABCD的面积为10，则k=一 5 B A D (变式训练2) 牵手重高 【例2】如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=一4和 y=2的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连结AC,BC,则△ABC的面 2 积为3 y= A x B y= C (例2) 牵手重高 【变式训练3】如图，点A与点B分别在函数y=(k1>0)与y=(k,<0)的图象上，线段 AB的中点M在y轴上.若△AOB的面积为2，则k1一k2的值是 (C) B M A >x O (变式训练3) A.2 B.3 C.4 D.5 牵手重高 【变式训练4】如图，直线分别与反比例函数y= 2和y=三的图象交于点A和点B,与y 轴交于点P,且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,则四边形 ABCD的面积是 5 B 0 D (变式训练4) 牵手重高 【例3】如图，在反比例函数y=5(x>0)的图象上有点P1,P2,P,…,P,(m为常数，n≥2)， 它们的横坐标依次为1,2,3，…，，分别过点P1,P2,P3,…,Pm作x轴，y轴的垂线，图 中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,Sm-1,则S,十S2十S3十…十 Sm-1=6n一6.（用含n的代数式表示） n y个 P3PAP5 Pn 12345 n (例3) 牵手重高 【变式训练5】如图，点A1,A2,A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3,过点A1,A2,A3作y轴 的平行线，与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点B1,B2,B,再过点B,B2,B 作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1,C2,C3,连结OB1,OB2,OB3,若图中三个阴影部 分的面积之和为想，则=」 8 个 =是(>0) C Bi B2 C; B3 A1 A2 A3 牵手重高 (变式训练5) 【变式训练6】如图，在y轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=Am-1An=1(n为正 数)，过点A,A,A,…,A,分别作y轴的垂线，与反比例函数y三兰（x>0)交于P P2,P3,…,Pm,连结P1P2,P2P3,P3P4,…,Pm-1Pm,过点P2,P3,…,Pm分别向P1A1 P2A2,…,Pm-1A,-1作垂线段，构成一系列三角形（见图中阴影部分），记这一系列三角形 的面积分别为S,S,S…,S,则S十S,+S十十S。-1=1一1 n y An An- Pn- A4 P4S3 A3 C3 A2 P2 S C2 P Ci 牵手重高 (变式训练6) 【例4】如图，已知△OP1A1,△A1P2A2,△A2P3A3,…均为等腰直角三角形，直角顶点P1, P2,P,…在函数y=4(x>0)的图象上，点A1,A2,A3,…在x轴的正半轴上，则点P01 的横坐标为2（√2010+√2011） P P2 P3 0 A1 A2 A3 (例4) 牵手重高 【变式训练7】如图，已知△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,·,△PnAm-1Am都是等腰直角三 角形，点P1,P2,P,,P.都在函数y=4(x>0)的图象上，斜边OA1,A1A2,A2A,…, Am-1Am都在x轴上.则点A2o1s的坐标为(4√2018,0)》 P2 P3 P4 0 A A2 A3 A4 (变式训练7) 牵手重高 【变式训练8】如图，B,(),B,(,2),…,B,()在函数y=(x>0)的图象上， △OB1A1,△B2A1A2,△B3A2A3,…,△BnAm-1Am都是等边三角形，边OA1,A1A2,…, An1An都在x轴上，则y十y十…+ym=√3n-· y个 B1 B2 B3 A1 A2 A3 x (变式训练8) 牵手重高 【例5】如图，点A为直线y=一x上一点，过A作OA的垂线交双曲线)=之(<0)于点B, 若OA2一AB2=12,则k的值为一 6 个y B (例5) 牵手重高 【变式训练9】如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例 函数y=在第一象限的图象经过点B,若OA?一AB=16,则k的值为 8 B >x C (变式训练9) 牵手重高 【例6】如图，反比例函数y=一 的图象与直线y=号x十6(6>0)交于A,B两点（点A在点 B右侧)，过点A作x轴的垂线，垂足为点C,连结AO,BO,图中阴影部分的面积为12， 则b的值为_3√3_： C (例6) 牵手重高 【变式训练10】如图A,B是反比例函数y=(k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于 点C,且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D,点E为线段OD的三等分 点，且OE<DE.连结AE,BE.若S△ABE=7,则k的值为 (A) B A (变式训练10) A.-12 B.-10 C.-9 D.-6 牵手重高 【变式训练11】如图，在平面直角坐标系xOy中位于第二象限的点A在反比例函数y1= (x<0)的图象上，点B与点A关于原点O对称，直线y2=m,x十n经过点B,且与反比例 函数y1= 的图象交于点C. (1)当点A的横坐标是一2，点C坐标是（一8,2）时，分别求出y1,y2的函数表达式. (2)若点C的横坐标是点A的横坐标的4倍，且△ABC的面积是16，求k的值， B (变式训练11) 牵手重高 解：(1)把点C(-8,2)代人y1=得：k=-16, 个V y1=- 16 A 当x=-2时，代入y1=- 16 xy=8, →X 0 ∴.A(-2,8), B 点B与点A关于原点O对称， .B(2,-8), 2m+n=-8 把B(2,-8),C(-8,2)代入y2=m.x十n得 -8m十n=2 解得m=一1，n=一6， .y2=-x-6, 16 答：1的函数表达式分别为=-2=一x一6。 牵手重高 (2)过A、C分别作y轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于 M、N, 设A(a,合)则c(4a,会）B(-a,-)） 此时，AN=+-2坠，BN=-a-a=-2a,BM=-4a-a =-5a,CM=k+=5k,MN=-4a+a=-3a, a Aa 4a :S△ABC=S梯形CMNA十S△ABN一S△BCM=16, :号(CM+AN)·MN+号AN·BN-号CM·BM=16, 即(CM+AN)·MN+AN·BN-CM·BM=32, (+告)×(-3a)+华×(-2a)-张×(-5a)=32. 解得=一 64 15 牵手重高 答：k的值为一 64 15 【例7】实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5h内其血液中酒精含量y(mg 100mL)与时间x(h)成正比例；1.5h后（包括1.5h)y与x成反比例.根据图中提供的 信息，解答下列问题： (1)求一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量x的 取值范围. (2)依据人的生理数据显示，当y≥80时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后， 肝部被严重损伤持续多少小时？ 解：(1)由题意，得： ①当0≤x≤1.5时，设函数关系式为y=kx, y(mg/100mL) 150 则150=1.5k,解得k=100,故y=100x. ②当x≥1.5时，设函数关系式为y=“ 则a=150×1.5=225,解得a=25,故y=25 1.5 (h) (例7) 100.x(0≤x≤1.5) 牵手重高 综上所述：y= 225 x≥1.5) 2 (2)当y=80时，80=100x,解得x=0.8(或x= 4) 当y=80时，80=225，解得x=2.8125(或 = 16 由图象可知，肝部被严重损伤持续时间 -2.8125-0.8-2.0125(或-日-÷-g). 牵手重高 【变式训练12】为了预防甲型H11流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.如图所 示，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药 物燃烧后，y与x成反比例.现测得药物8in燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为 6mg,请根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式.自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x的函数关系式呢？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6g时，学生方可进教室，那么从消 毒开始，至少需要过几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才 能彻底消毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 'y (mg) 6 牵手重高 8 x (min) (变式训练12) 解：(1)设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y= k1x(k1>0)代入(8,6)为6=8k1, 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=丝(k2>0)代人 (8,6)为6=2 8 .k2=48, 六药物燃烧时y关于x的函数关系式为y= 4x(0≤x≤8)药 48 物燃烧后y关于x的函数关系式为y=48(.>8). 牵手重高 (2)结合实际，令y=48中y≤1.6得x≥30， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室. (3)把y=3代入y=是，得=4， 把y=3代入y=丝得r=16, ,16-4=12,12>10, 所以这次消毒是有效的. 牵手重高 【变式训练13】某小学为每个班级配备了一台可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是放 满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自 动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降 至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温为20℃，接通电源后， 水温和时间的关系如图所示. (1)分别求出当0≤x≤8和8<x≤a时，y和x之间的关系式. (2)求出图中a的值. (3)下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过 40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间 段接通饮水机电源.（不可以用上课时间接通饮水机电源） 时间 节次 4y(C)》 100十-8 7:20 到校 7:45-8:20 第一节 上午 8:30—9:05 第二节 20 牵手重高 0 8 0 x(min (变式训练13) 解：(1)当0≤x≤8时，设y=k1x+b, 将(0,20)，(8,100)代入y=k1x+b,得k1=10,b=20, .当0≤x≤8时，y=10x+20: 当8<x≤a时，设y=, 将(8,100)代入y=三，得k2=800, 六当8<x≤a时，y= 800 .当0≤x≤8时，y=10x+20; 当8<.≤a时，y=800 (2)将y=20代入y=80,解得a=40. 800 牵手重高 (3)要想喝到不超过40℃的热水，则： .10x+20≤40， ∴.0<x≤2， 00≤40， ..8 .∴.20≤x<40, 因为40分钟为一个循环， 所以8：20喝到不超过40℃的开水， 则需要在8：20一(40十20)分钟=7：20， 或在(8：20一40分钟)一2分钟=7：38一7：45打开饮水机， 故在7：20或7：38一7：45时打开饮水机. 牵手重高 【例8】如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A,B分别在y轴，x轴的正半轴上.△AOB的 两条外角平分线交于点P,且点P在反比例函数y=9的图象上，PA的延长线交x轴 于点C,PB的延长线交y轴于点D,连结CD. (1)求∠P的度数及点P的坐标 (2)求△OCD的面积. (3)△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由. A A B 0 B D 备用图 (例8) 牵手重高 解：(1)如图，作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,PH⊥AB于H. .∠PMA=∠PHA=90°， .∠PAM=∠PAH,PA=PA, '.△PAM≌△PAH(AAS), ∴.PM=PH,∠APM=∠APH, 同理可证：△BPN≌△BPH, ∴.PH=PN,∠BPN=∠BPH, ..PM=PN. .'∠PMO=∠MON=∠PNO=90°， .四边形PMON是矩形， :P(m,m)在y=9上， ∴.∠MPN=90°， ∴.∠APB=∠APH+∠BPH=(∠MPH+∠NPHD=45, ∴.m2=9, m>0, .PM=PN, ∴.m=3, 牵手重高 ∴.可以假设P(m,m), .P(3,3). (2)解法一：设OA=a,OB=b,则AM=AH=3-a,BN=BH= 3-b, ∴.AB=6-a-b, ,AB2=OA2十OB2, .a2+b2=(6-a-b)2, 可得ab=6a+6b-18, ∴.S△0oD= 1.OC.DO .3a+36-9= 2ab, 1 9ab .PM∥OC, 2(3-a)(3-b) .CO OA 1 9ab ·PM AM' 2 9-3a-3b+ab a 1 9ab 3-a 2 2 ab+ab 牵手重高 ..OC= 3,同法可得OD= 3b 3-a 3-b' =9. 解法二：连结OP, .∠POA=∠POB=∠CPD=45°， ∴.∠AOP=∠POD=135°， .'∠POB=∠PCO+∠OPC=45°，∠APO+∠OPD=45°， ∴.∠PCO=∠OPD, .△COPp△POD, '.OC·OD=OP2=18,可求△COD的面积等于9. 牵手重高 (3)设OA=a,OB=b,则AM=AH=3-a,BN=BH=3-b, ..AB=6-a-b, ,∴.OA+OB+AB=6, ∴.a+b+√/a2+b2=6, M ∴.2√ab+2ab≤6， ∴.(2+√2)ab≤6， ∴.ab≤3(2-√2)， B 7 ∴.ab≤54-36√2， 1 ∴.S△AOB=- abs27-18V2, ∴.△AOB的面积的最大值为：27一18√2. 牵手重高 【变式训练14】如图，已知一次函数y1=kx十b的图象与x轴相交于点A,与反比例函数y2 -二的图象相交于B(-1,5),C(号，d)两点.点P(m,m)是一次函数=kx十b的图象 上的动点 (1)求k,b的值. (2)设-1<m< 多，过点P作x轴的平行线与函数归=二的图象相交于点D.试问 △PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在， 请说明理由. (3)设m=1一a,如果在两个实数m与n之间（不包括m和n)有且只有一个整数，求实 数a的取值范围. 解：(1)将B点的坐标代入y2=C,得c=-5, 则y2=一 5 把x=号代入得y=-2.则C(号，-2）： 牵手重高 k=-2 将B、C代入直线y1=kx十b得 b=3 (变式训练14) (2)存在. 令y1=0,x= 多，则A的坐标是：（号，0）： 由题意，点P在线段AB上运动（不含A,B), 设点P(2小 .DP平行于x轴， ∴.D、P的纵坐标都是n, D的坐标是：（一号m) s…PD-(②+克）×m=十(-2)》+0 而-2m+3=n,得0<n<5; 所以由S关于的函数解析式，所对应的抛物线开口方向决 定当n=三，即P(子，2） 49 牵手重高 S的最大值是：6 (3)由已知P(1一a,2a十1)，易知，m≠n,1-a≠2a十1，a≠0； 若a>0,m<1<n,由题设m≥0，n≤2， 则 1-a< 2·解不等式组的解集是：0<a≤之： 2a+1≤ 若a<0,n<1<m,由题设n≥0，m≤2， 1-a>1 则 2a+10解得-号<a<0, 综上：a的取值范围是：-之<a<00<a≤子. 牵手重高 【变式训练15如图，M为双曲线y=区上的一点，过点M作工轴，y轴的垂线，分别交直线 y=一x十m于D,C两点，若直线y=一x十m与y轴交于点A,与x轴相交于点B. (1)求AD·BC的值. (2)若直线y=一x十m平移后与双曲线y=尽交于P,Q两点，且PQ=3V2,求平移后 2 m的值， (3)若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明△MPQ的面积是否存在最大值.如果 存在，请求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由. B 牵手重高 (变式训练15) 解：(1)过C作CE⊥x轴于E,过D作DF⊥y轴于 当x=0时，y=m, ,∴.A(0,m); 当y=0时，x=m, ∴.B(m,0). M .△ABO为等腰直角三角形， ∴.∠OAB=∠OBA=45°， ∴.△ADF和△BCE也是等腰直角三角形， 设M(a,b),则ab=√3，CE=b,DF=a, ∴.AD=√2DF=√2a,BC=√2CE=√2b, .AD·BC=√2a·√2b=2ab=2√3. 牵手重高 (2)将y=一x十m代人双曲线y-中，整理得：C一mx+5=0, 设x1、x2是方程x2一m.x十√3=0的两个根(x1<x2), ∴.x1十x2=m,x1·x2=√3， ,PQ=3√2，直线的解析式为y=一x十m, ∴.x2-x1=3=√(x1+x2)2-4x1·x2=√/m2-45, 解得：m=士√9+43. 牵手重高 (3)由上述结论知x1=y2,x2=y1,且AO=BO=y1十y2=x1十 x2=m①， .x1x2=√3②， ∴.P,Q两点的坐标可表示为P(x1,x2),Q(x2,x1), .PQ=√2(x2-x1), ,(x2-x1)2=(x1十x2)2-4x1x2=m2-4√5， ∴.PQ=√2/m2-45, SAMPQ= Q.h. 2 PQ为定值， ∴.PQ边上的高有最大值时，即存在面积的最大值， 当m无限向x轴右侧运动时，（或向y轴的上方运动时）h的值 无限增大， 牵手重高 ∴.不存在最大的h,即△MPQ的面积不存在最大值. 【例9】如图，直线y=mx与反比例函数y=(x>O)的图象交于点Q,点A,B都在反比例函 数y=的图象上，点P在OQ延长线上，PA∥y轴，PB∥x轴，连结AQ,BQ,已知B (3,4). (1)若点A的纵坐标为？，求反比例函数y=及直线OP的表达式。 (2)连结OB,在(1)的条件下，求sin∠BOP的值. (3)请猜想 △巴的值是否会随m的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说 S△BPQ 明理由. B 牵手重高 (例9) 解：(1)：B(3,4)在y=的图象上， ∴.4= 3 B .k=12, iy= 2 >x 当y= 时，x= 16 4 3 代人y=m,得号m=4, a(9,号) 3 ∴.m= ,PA∥y轴，PB∥x轴， 4 3 P(94） ·y= 4 牵手重高 (2):B(3,4,P(94） OB=V+p,0P-√（号）+P-9,BP=9 321 7 3 :San=2BP·p=2OB·OP·sin∠BOP, ÷.sin∠BOP=OB·O BP·yp_7 25 牵手重高 (3)由题意，得B(3,4),P(年4）A(元，3m） y 12 解 m得Q y=mx .S△PQ 合4-3mw(告3 五m S△BPQ 2(A-3)水4-2Vm 1(4-3m)(4-2√m) m (4-3m)(4-2√m) m =1, 牵手重高 ,S△Pe的值不变，为1. ·S△BPQ 【变式训练16】如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P(2,3),D是正 比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q, DC,DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A,过点A作x轴的垂线，垂足为点B, AB交正比例函数的图象于点E. (1)当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标 (2)当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想， (3)在(2)题的条件下，连结AP,PF,试判断S△的值是否随点D的变化而变化.如果 △FDP 不变，求出SAmP △P的值；如果变化，请说明理由. y个 E 牵手重高 B C (变式训练16) 解：(1)设正比例函数与反比例函数的解析式分别为 y=1y=丝，把P(2,3)分别代入得=子，=6 D 心正比例函数与反比例函数的解析式分别为y= 2xy=6 P 又点D的纵坐标为9， F 六对于y=号，令y=9,得9=之，解得x=6, 3 E .D点坐标为(6,9)， B C ,DC⊥x轴，DQ⊥y轴， ∴.A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6， :点A与点F在反比例y=6的图象上， “把y=9代入y=得r=号把x=6代人y=2得y=1, ∴A点坐标为（号，9）F点坐标为(6,1）， ∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为子， 又AB⊥x轴， 而点E在直线y=子：上，把=号代入y=之：得y=1, 牵手重高 ∴E点坐标为 () (2)结论：AE与DF相等.理由如下： “E点坐标为（合，8） 设D点坐标为(a,二a) 36 .AE=立a- a 则A点的纵坐标为？a,点F的横坐标为a, .'.AE=DF. 把y=子a代人y=得x=4 把x=a代人y=6得y=6 ∴A点坐标为（任，子a)F点坐标为(a,吾） ..DF=3 6 又“点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为4， 牵手重高 面点E在直线y=子：上把=告代人y=是：得y=日 3 3 SAADP (3)结论：SADP S△ADP=1, 的值不变，SAFDP 理由：连结EF,AF,设AF交DE于点O. .DQ⊥y轴，DC⊥x轴， .AE∥DF, .AE=DF, .四边形ADFE是平行四边形， E ..OA=OF, .S△PA0=S△POF,S△AD0=S△DOF, B 0 .S△ADP=S△PDF, .S△ADP ·S△FDP 1. 牵手重高 【变式训练17】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(a,3)(其中a>4),射线 OA与反比例函数y=1的图象交于点P,点B,C分别在函数y=二的图象上，且AB∥x 轴，AC∥y轴. (1)当点P横坐标为6时，求直线AO的表达式. (2)连结BO,当AB=BO时，求点A坐标. (③港结B印，CP,试箭想：的值是香随a的变化面变化：若不变，求出。 S△ABP的值； 若变化，请说明理由. 解：(1)当x=6时，y=2, .P(6,2), B 设直线A0的解析式为y=x,代入P(6,2)得=司 ·直线AO的解析式为y=3x, 备用图 牵手重高 (变式训练17) (2)由AB∥x轴，得B点横坐标为4. y个 当y=3时，x=4, B ∴.B(4,3),OB=/32+42=5, .AB=OB, ,∴.5=a-4,即a=9, .A(9,3) 牵手重高 7 D心z十z1-”y9-g aovs.. :(元-e)吵2-)2=dws 里重生国 D 2z+Y9-21-”g avvs :(-）-)是-ws: 9-8=Wdi-”=Va-”=Nd'7-8=Ov (8‘)8怕=x‘细￡=（泉 :(元”力咖元=心粗”=r京 ‘OVTNd'avTwd (g)y D =C -=K ."9 散拇· 散 ”f=x C 元=C不淮r日=（产蜂捣朗OV渐耳(） D 【例10如图，点B(4,4)在双曲线y=(r>0)上，点C在双曲线y=-(x<0)上，A是x 轴上一动点，连结BC,AC,AB. (1)求k的值. (2)如图1，当BC∥x轴时，求△ABC的面积. (3)如图2，当点A运动到x轴正半轴时，如果△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， 求点A的坐标. 解：1)：B(4,4)在双曲线y=(x>0)上， B B .∴.k=4×4=16. (2).BC∥x轴， .B与C纵坐标相同， 图1 图2 把y=4代入y=-5中，得：x=一是，即C(-2,4 (例10) 2 牵手重高 BC=4+是=号，则SAc= 2 之·BC·y坐标=11， (3)过点B、C作x轴的垂线，垂足为M、N, :△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠CAB=90°，AC=BC, ∴.∠ACN+∠CAN=90°， ∠BAM+∠CAN=90°， ∴.∠ACN=∠BAM, 在△ABM和△CAN中， ∠BAM=∠ACN ,∠AMB=∠CNA, AB=CA ..△ABM≌△CAN(AAS), ∴.AN=MB=4,CN=AM, 设OA=a,则有ON=AN-OA=4-a,CN=AM=OM-OA= 4-a, .C(a-4,4-a)(a<4), 解得a=4-√6. 牵手重高 把C坐标代入y=一6中，得一(4一)2=一6， 则点A的坐标为：(4一√6,0). 【变式训练18】如图，一次函数y=a.x十b的图象与反比例函数y=- 的图象交于A 2 (一2，m),B(6,n)两点，与x轴交于点D,且C,D两点关于y轴对称. (1)求一次函数的解析式并求出点C的坐标. (2)在x轴上是否存在点卫，使得PA+PD的值最小？若存在，求出点P的坐标，并求 出这个最小值；若不存在，请说明理由. (3)将∠ADC沿x轴左右平移到∠ADC',在平移过程中，将该角绕点D'旋转，使它的 一边始终经过点A,另一边与直线AC交于点C'.若△AD'C'为等腰直角三角形，求出点 C的坐标. 牵手重高 (变式训练18) 解：1)：A(-2,m)B(6,m)两点在y=-是上， .∴.m=6,n=-2, ∴.A(-2,6),B(6,-2), 把A(-2,6),B(6,-2)代入y=ax+b, -2a+b= 则有 a=-1 解得 6a+b=-2 b=4 .一次函数的解析式为y=一x十4， 令y=0,得到x=4, .D(4,0), .C,D关于y轴对称， .C(-4,0). 牵手重高 (2)如图①，在y轴上取一点E(0,一3)，作PH⊥DE于H. 在Rt△ODE中，，OD=4,OE=3, .DE=5, 'sin∠ODE= OE PH 3 DE PD5 2.PH-PD. PA+号PD=PA+PH, 根据垂线段最短可知，当A,P,H共线且垂直DE时，PA十3 PD的值最小. 直线DE的解析式为y=是x-3,设AH1DE于H, 3 x3 76 ∴直线A1的解析式为y=一子+号。 y= I= 25 由 ,解得 5 y=- 4110 18 令y=0,得到x= 3T3 y=- 25 2 牵手重高 P(号0） AH=√(-2-罗)+(6+器)-号 ∴点P的坐标为（停，0）时，PA+号PD的最小值为号 (3)当边AD经过点A时有两种情形： ①如图②，将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连结 AF交x轴于点D',则F(2,一2). .∠AD'C=45°， ∴.当DC⊥AC时， △ACD'是等腰直角三角形， .A(-2,6),C(-4,0), .直线AC的解析式为y=3x+12, 直线AF的解析式为y=一2x+2, D .D(1,0), ② 1 .直线D'C'的解析式为y=一 1 3+ y=3x+12 x=- 2 由 1 ,解得 y=-3x十3 3 y= 牵手重高 c(-子) ②如图③，当D'A⊥AC时，△ADC 是等腰三角形. A .直线AC的解析式为y=3x+12, ·直线AD的獬析式为y=31十， D' .D(16,0), 设C(m,3m+12), C .AC=AD, ∴.(m+2)2+(3m+12-6)2=(16+2)2+62, 解得m=一8或一4（舍弃）， .C(-8,-12), 牵手重高 当边AC经过点A时，有两种情形： ③如图④，当△AD'C‘是等腰直角三角形时， E 作AF⊥x轴于F,CE⊥AF交FA的延长线于E. D(16,0), ∴.OD=18,0A=6, A .'△AFD'≌CEA(AAS), 0 ,∴.EC=6,AE=FD=18, .C(4,24). 牵手重高 ④如图⑤，当AC=CD'时，作CF⊥x 轴于F,CE∥x轴，AE⊥A'E, 则△CFD'≌△CEA. 设C(m,3m+12), .CF=CE, ∴.-3m-12=-2-m, .∴.m=-5, ⑤ .C(-5,-3). 综上所述，满足条件的点C坐标为(-子，号)或(-8，-12) 或(4,24)或(-5，-3). 牵手重高 【变式训练19】如图，边长为3的正方形OACD的顶点O与原点重合，点D,A分别在x轴， y轴上.反比例函数y=(.x≠0)的图象交AC,CD于点B,E,连结OB,OE,BE,SAE=4. (1)求反比例函数的解析式. (2)过点B作y轴的平行线m,点P在直线m上运动，点Q在x轴上运动. ①若△CPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求△CPQ的面积. ②将①中的“以P为直角顶点的”去掉，将问题改为“若△CPQ是等腰直角三角形”，则 △CPQ的面积除了①中求得的结果，还可以是5或.（直接写答案，不用写步骤） 17 B B A A A D D D 备用图1 备用图2 牵手重高 (变式训练19) 解：(1)，四边形OACD是正方形，边长为3， .点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3， :反比例函数y=(x≠0)的图象交AC,CD于点B,E, .可以假设B(冬3），E(3,冬) .S△OBE=4, “9-令-冬-之(3-台）=4，解得=3或-3（舍弃） 反比例函数的解析式为y三。与 牵手重高 (2)①如图①中，设直线m交OD于M. 由(1)可知B(1,3),AB=1,BC=2, y 当PC=PQ,∠CPQ=90时， B A 、B .'∠CBP=∠PMQ=∠CPQ=90°， .∠CPB+∠BCP=90°， ∠CPB+∠PQM=90°， ∴.∠PCB=∠MPQ, M D .PC=PQ, ① ② .∴.△CBP≌△PMQ(AAS), 如图②中，当PQ=PC,∠CPQ=90°， .BC=PM=2,PB=MQ=1, ∴.PC=PQ=√12+22=√5， 同法可得△CBP≌△PMQ(AAS), ∴.PM=BC=2,OM=PB=5, ∴.S△PCQ= 2 .PC=PQ=√/22+52=√/29， 牵手重高 29 ∴.S△PQ= 2.