专题三 阿氏圆-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 专题三阿氏圆 牵手重高 知识梳理 要点诠释》翻 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念：在平面内，到两个 定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫作圆. 已知A,B两点，点P满足PA：PB=k(k>0且k≠1)，则满足条件的所有的点P构成 的图形为圆. 下方给出证明： 方法一：首先了解两个定理， ①角平分线定理：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则把肥 证明：SAKm S△ABD BDS△ABD=： CD'S△ACD :能即能咒 牵手重高 E 0 - B D B 0 A M BO 图1 图2 图3 ②外角平分线定理：如图2，在△ABC中，外角∠CAE的平分线AD交BC的延长线于 点D,则是-肥 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连结BD,则△ACD≌△AED(SAS), CD=ED且AD平分∠BDE,则BE-AE.即A把-PD咒 接下来开始证明步骤： 如图3，PA:PB=k,作∠APB的平分线PM交AB于点M,根据角平分线定理， MA-A=,故点M为定点，即∠APB的平分线交AB于定点； MB PB NA_PA=k, 牵手重高 作∠APB的外角平分线PN交直线AB于点N,根据外角平分线定理，NB一PB 故点N为定点，即∠APB的外角平分线交直线AB于定点； 如图4，∠MPN=90°，定边对定角，故点P的运动轨迹是以MN为直径的圆. 图4 方法二：建系. 不妨将点A,B置于x轴上且关于原点对称，设A(一m,0),则B(m,0),P(x,y),PA= kPB,即 √(x+m)2+y2=k√(x-m)2+y2, (x十m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2, (k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0, x+y-2m+2mx+m2=0, k2-1 2- ++=[德m 牵手重高 解析式满足圆的一般方程，故点P所构成的图形是圆，且圆心与AB共线. 【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以点B为圆心，BE为半径作⊙B, P是⊙B上一动点，连结PD,PC,则PD+号PC的最小值为5 A D ◇ B E C (例1) 牵手重高 【例2】如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6,C是OA的中点，D是OB上一点，OD=5, P是AB上一动点，则PC+PD的最小值为 13 2 A D B (例2) 牵手重高 【例3】如图，△ABC中，BC=6,AB=2AC,则△ABC面积的最大值是 12 A B C (例3) 牵手重高 【例4】已知在平面直角坐标系中有两点A(3,0),B(6,0),平面上有一点P,满足PB=2PA. (1)请证明点P在以x轴上一个定点为圆心，定长为半径的圆上运动，并求出定点坐标 和定长的值 (2)求PA长度的取值范围. 解：(1)设点P(x,y),由PB=2PA得√(x-6)2+y2= 个y 2√(x-3)2十y2,整理可得：(x一2)2+y2=4,故点P在以 (2,0)为圆心，半径长为2的圆上运动 B (2)根据点圆最值可得1≤PA≤3. (例4) 牵手重高 【例5】如图，抛物线y=一 C与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B, 函数表达式为y= 816 9x+ 3 (1)求抛物线的函数表达式. (2)M(m,0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线交直线AB于点D,交抛物 线于点E.当△BDE是以DE为底边的等腰三角形时，求m的值 (3)在(2)的条件下，将线段OM绕点O顺时针旋转得到ON. ①探究：线段OB上是香存在定点P(点P不与点O,B重合)，无论ON如何旋转，NE始 终保持不变？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由. ②求NA+3NB的最小值， B 牵手重高 A M (例5) 解：1)在y子十 8 3 中，令y=0,得x=-6,令x=0,得y 16 3 A(-6,0.B0,9. :抛物线y=-音2+bx+c过A,B两点， 8 b=- 40 -31-6b+c=0, 9 16 解得 3’ 16 c= 3 ·抛物线的函数表达式为y=一心 9x2、40 16 x+ 31 牵手重高 (2)如图①所示，作BH⊥DE于点H, ,△BDE是以DE为底边的等腰三角形， .'DH=EH, .M(m,0), D(m,号m+9,Bm,-号m2-9n 8. 8 9m+6 3 ÷DH=-(gm+9)）=-8m,5H=- 9m2、 9n+ H--- B 1616 =- 8 40 33 92、 9n, D -8 9m2、 8 40 9n, M ∴.m+5=1, ① 牵手重高 .∴.m=-4. (3)如图②所示， ①.∠NOP=∠BON, ∴.∠ONP=∠OBN时，△ONP△OBN, 此时说织器=子始终保特不变， OP ON 3 ∴.OP= 0N=×4=3. .存在点P(0,3). 3 4 ② :.NP-3NB, ,AD=√OA+OP2=3√5， ∴NA+NB=NA+NP≥AP, :NA+NB235, 牵手重高 即NM+NB的最小值为35. 【例6】提出问题： 如图1，在等边△ABC中，AB=9,⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP,BP,求AP +号BP的最小值， 尝试解决： 为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为 某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整） CD_CP_1 如图2，连结CP,在CB上取点D,使CD=1,则有C=CB=3, 又，∠PCD=∠ △ ∽△ 部 PD-BP. AP+号BP=AP+PD, 牵手重高 ∴.当A,P,D三点共线时，AP十PD取最小值. 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+号BP的最小值为 自主探索： 如图3，矩形ABCD中，BC=6,AB=8,P为矩形内部一点，且PB=4,则与AP+PC的 最小值为 (请在图3中添加相应的辅助线) 拓展延伸： 如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4,OA=2,OB=3,P是CD上一 点，求2PA十PB的最小值，画出示意图并写出求解过程. D B B D B D B 图1 图2 图3 图4 牵手重高 (例6) 解：(1)如图①所示，连结AD,过点A作AF⊥CB于点F, :AP+号BP=AP+PD,要使AP+子BP最小， 3 .AP+AD最小，当点A,P,D在同一条直线时，AP+AD 最小， 即AP+子BP的最小值为AD, A .AC=9,AF⊥BC,∠ACB=60°， ,AF=93 ..CF=9 2 DF=CF-CD=9 17 ,∴.AD=√AF2+DF2=73, 六AP+子BP的最小值为V店. 牵手重高 故答案为√73 (2)如图②所示， 在AB上截取BF=2,连结PF,PC, ,AB=8,PB=4,BF=2, BP1BF AB?BP,且∠ABP=∠ABP ∴.△ABP∽△PBF, 品器名PF=合Ap B ∴AP+PC=PF+PC, ② ∴.当F,P,C三点共线时，AP十PC的值最小， .∴.CF=√BF2+BC2=√/62十22=2/10， “宁AP+PC的值最小值为2V而， 牵手重高 故答案为2/10. (3)如图③所示， 延长OC,使CF=4,连结BF,OP,PF,过点F作FM⊥OD于点 M, F .OC=4,FC=4, .∴.FO=8,且OP=4,OA=2, ÷-8器.且∠A0P=∠op, .△AOP∽△POF, ·AP_OA_1 …PFOF2 D ∴.PF=2AP, ③ .∴.2PA+PB=PF+PB, ∴.OM=4,FM=45, ∴.当F,P,B三点共线时，2PA十PB的值最小， ∴.MB=OM+OB=4+3=7, .∠COD=120°， ∴.FB=FM+MB2=√⑨7， 牵手重高 ∴.∠FOM=60°，且FO=8,FM⊥OM, .2PA+PB的最小值为√⑨7.