第13讲 直线与圆的位置关系（培优教程） -【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第十三讲直线与圆的位置关系 童手重高 知识梳理 要点诠释》群 一、直线与圆的位置关系的确定 设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 d>r台直线1与⊙O相离 d 直线与圆有唯一公共点， 相切 直线叫作圆的切线， d=r台直线1与⊙O相切 唯一公共点叫作切点 直线与圆有两个公共点， 相交 d<r台直线1与⊙O相交 牵手重高 直线叫作圆的割线 【例1】⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d.R,d是方程x2一4x十m=0的两根，当直 线l与⊙O相切时，m的值为4 牵手重高 【变式训练1】如图，直线1：y=一 2x十1与坐标轴交于A,B两点，点M(m,0)是x轴上一动 点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M与直线l相切时，m的值为 2-2√5或2+25 y M B (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】已知直线y=kx(k≠0)经过点(12，一5)，将直线向上平移m(m>0)个单位，若 平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则的取值范围为 0<m< 13 牵手重高 【变式训练3】在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点O在对角线AC上，圆O的半径为2.如 果©0与矩形ABCD的各边都设有公共点，那么线段A0长的取值花图是号<A0<号 牵手重高 【变式训练4】如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm,BO=6cm.点C从A点出发，在边AO 上以2cm/s的速度向O点运动；与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速 度向O点运动.过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了 17 s时，以点 C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切 8 B D E (变式训练4) 牵手重高 【例2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,点D在边BC上，CD=5,BD=13.P是线段 AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为6,5或3√13 D B (例2) 牵手重高 【变式训练5】如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结 PM,以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长 为3或4√3 A M B C (变式训练5) 牵手重高 【变式训练6】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是对角线AC上一动点，以点P为 PC长为半径作OP,当OP与箱形ABCD的边相切时，CP的长为.上5 B (变式训练6) 牵手重高 二、切线的性质及判定 1.切线的性质。 (1)定理：圆的切线垂直于过切点的半径， (2)推论： ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. MB (3)注意：这个定理共有三个条件，即一条直线1满足以下三个条件： ①过圆心，过切点→垂直于切线.AB过圆心，AB过切点M,则AB⊥L: ②过圆心，垂直于切线→过切点.AB过圆心，AB⊥1，则AB过切点M; ③过切点，垂直于切线→过圆心.AB⊥l,AB过切点M,则AB过圆心 牵手重高 2.切线的判定. (1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (2)距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. (3)定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (4)注意：定理的题设包括①经过半径外端；②垂直于半径.两个条件缺一不可、定理的 结论是“直线是圆的切线”.因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连结半径，证明 直线与此半径垂直；②作垂直，证明垂直在圆上 A 牵手重高 【例3】如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连结 DE.若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为 55° A ↑0 公 B C D (例3) 牵手重高 【变式训练7】如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B,连结AC,OC.若sin∠BAC- 行则tan∠BOC=_ 2 A B (变式训练7) 牵手重高 【变式训练8】如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD相切于点 C,交AD于点E.若CE的长为2π，则⊙A的半径为 8 E D B (变式训练8) 牵手重高 【变式训练9】如图，⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O 的切线BC,BC=OA,连结OC,AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为2√3或2√2 B A (变式训练9) 牵手重高 【例4】如图，已知AB是⊙0的直径，PC切⊙0于点C,∠PCB=35°，则∠B等于55° A B (例4) 牵手重高 【变式训练10】如图，已知半径为1的⊙M经过平面直角坐标系的原点O,且与x轴，y轴分别 交于点A,B,点A的坐标为（√3,0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C,则∠ACO= 30° B M (变式训练10) 牵手重高 【变式训练11】如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于 点C,∠CAB=90°，若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为2V6 D C 0 A B (变式训练11) 牵手重高 【例5】如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是直径，AB=BC,连结BD,过点D的直线与CA 的延长线相交于点E,且∠EDA=∠ACD, (1)求证：直线DE是⊙O的切线， (2)若AD=6,CD=8,求BD的长 【例5】解：(1)证明：连结OD, E .OC=OD, D ∴.∠OCD=∠ODC, ,AC是直径， ∴.∠ADC=90°， ,∠EDA=∠ACD, B ∴.∠ADO+∠ODC=∠EDA+∠ADO=90°， .∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°， (例5) ..OD DE, ,OD是半径， 牵手重高 .直线DE是⊙O的切线 (2)解法一：过点A作AF⊥BD于点F,则∠AFB=∠AFD =90°， ,AC是直径， ∴.∠ABC=∠ADC=90°， .在Rt△ACD中，AD=6,CD=8, .在Rt△ADF中，AD=6, ,∴.AC2=AD2+CD2=62+82=100, ,'sin∠ADF= AF ∴.AC=10, B AD' .在Rt△ABC中，AB=BC, ∴.AF=sin45°·AD=3W2, H ∴.∠BAC=∠ACB=45°， ∴.DF=AF=3√2， ,sin∠ACB= AB AC' 在Rt△ABF中，BF2=AB2-AF2=(5√2)2-(3√2)2=32， ∴.BF=42, .AB=sin45°·AC=5√2， .∠ADB=∠ACB=45°， ∴.BD=BF+DF=7√2. 牵手重高 解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H,,BD=DH2一BH,BD=BH,则BD=98, ∴.∠DBH=90°， .BD=7√2. ,AC是直径， ∴.∠ABC=90°， E ,∠ABD=90°-∠DBC,∠CBH=90°-∠DBC, ∴.∠ABD=∠CBH, ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠BAD+∠BCD=180°， :∠BCD+∠BCH=180°， B ∴.∠BAD=∠BCH, .AB=CB, H ∴.△ABD≌△CBH(ASA), ∴.AD=CH,BD=BH, .AD=6,CD=8, DH=CD+CH=14, 【变式训练12】如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且AD=BD,⊙O是△ACD 的外接圆，AE是⊙O的直径 (1)求证：AB是⊙O的切线. (2)若AB=2√6，AD=3,求直径AE的长. 【变式训练12】解：(1)证明：如图所示，连结DE, A .'AB=AC,AD=BD, ∴.∠B=∠BAD,∠B=∠C ∴.∠C=∠E, ∴.∠E=∠BAD, B ,AE是⊙O的直径， E (变式训练12) .∠ADE=90°， .∠E+∠DAE=90°， .∠BAD+∠DAE=90°，即∠BAE=90°， .AE⊥AB, 牵手重高 .直线AB是⊙O的切线： (2)解：如图所示，作AH⊥BC,垂足为点H,.△AED∽△ABH, .AB=AC, ·AE AD ,∴.BH=CH, ·AB AH' ,∠B=∠C=∠BAD, ..AE-AB-AD-2V6X3-3V3. ∴.△ABC∽△DBA, AH 2√2 AB BC ,即AB2=BD·BC, A ·BD AB 又AB=2√6，BD=AD=3, ∴.BC=8, H 在Rt△ABH中，BH=CH=4, B E .AH=AB2-BHP=√(2√6)2-42=2√2， .'∠E=∠B,∠ADE=∠AHB, 牵手重高 【变式训练13】如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F,交 AC边于点E,F是弧EB的中点，∠C=90°，连结AF. (1)求证：直线CD是⊙O的切线 (2)若BD=2,OB=4,求tan∠AFC的值. 解：(1)证明：如图所示，连结OF,BE, C ,AB是⊙O的直径， E ∴.∠AEB=90°， :∠C=90°， D ∴.∠AEB=∠ACD, B ∴.BE∥CD, A ,点F是弧BE的中点， B (变式训练13) ∴.OF⊥BE, ∴.OF⊥CD, .OF为半径， 牵手重高 .直线CD是⊙O的切线 (2)解：，∠C=∠OFD=90°， CD=VAD-AC=V02-(9-105 ∴.AC∥OF, .AC∥OF,OA=4, ..△OFD∽△ACD, OF OD 10W5 ·ACAD’ CF 3 …OA AD 即4 ,解得C℉=4 10 3 .BD=2,OF=OB=4, 20 .∴.OD=6,AD=10, ∴.tan∠AFC- CE =√5. 4cOF·AD4X10-20 4√5 OD 6 3 3 牵手重高