专题— 圆中的定理-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 专题一圆中的定理 牵手重高 知识梳理 今要点诠释》曲 一、阿基米德折弦定理 一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影， 就是折弦的中点.如图1，AB和BC组成圆O的折弦，AB>BC,弦所对的两段弧的中点在较长 弦上的射影，就是折弦的中点.M是ABC的中点，MF⊥AB,垂足为F,则AF=BF十BC 推论：如图2，在⊙O中，M为ABC的中点，B为AM上任意一点，且MD⊥BC于点D. 连结MB,MC,则MC2一MB=AB·BC. M D C 牵手重高 图1 图2 二、婆罗摩笈多定理 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对 边.如图3，圆的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为M,过点M作EF⊥BC于点 E,交AD于点F,那么F是AD的中点. 推论：如图4，圆的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,OM⊥AD,圆的半径为R,则 有如下结论： AB+CD=AD+BC=180°； OM-BC: AB2+CD2=AD2+BC2=(2R)2. B B M C M 牵手重高 D D 图3 图4 【例1】请阅读下列材料，并完成相应的任务. 阿基米德(Archimedes,公元前287年一公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数 学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子 阿拉伯A-Binmi(973一1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964 年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理， 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）， BC>AB,M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 CD=AB十BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程. 证明：如图2，在CB上截取CG=AB,连结MA,MB,MC和MG. .M是ABC的中点， .∴.MA=MC. 牵手重高 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分， (2)如图3，已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2,D为AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥ BD于点E,则△BDC的周长是2十2√2 M M D E B B D C B D力 G C A A 图1 图2 图3 (例1)】 牵手重高 解：(1)证明：如图①所示，在CB上截取CG=AB,连结MA, MB,MC和MG, ,M是ABC的中点， ∴.MA=MC, M 在△MBA和△MGC中， BA=GC, ∠A=∠C, MA=MC, B ∴.△MBA≌△MGC(SAS), ∴.MB=MG, 又.MD⊥BC, ① .'BD=GD, 牵手重高 ,∴.DC=GC+GD=AB+BD. 【例2】如图，△ABC内接于圆O,AC>BC,D为弧ACB的中点，求证：AD=AC·BC+CD. 解：证明：如图所示，过点D作DE⊥AC,垂足为点E, AD2-CD2=(AE2+DE2)-(DE2+EC2) =AE2一EC9 =(AE+EC)(AE-EC) =AC(AE-CE)①， 过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,连结BD, .点D为弧AB的中点， B .'.AD=BD, .∠DAC=∠DBC,∠DEA=∠DFB=90°， .Rt△AED≌Rt△BFD, .AE=BF②， ∴.CE=CF③， DE=DF, 综合式①②③， 牵手重高 ,'∠DEC=∠DFC=90°，DC=DC, 得AD2-CD2=AC(BF-CF)=AC·BC, ,∴.Rt△CED≌Rt△CFD, 即AD2=AC·BC+CD2. 【例3】如图，在⊙O中，弦AB垂直弦CD于点E. (1)如图1，若AE=DE,求证：CE=BE. (2)如图2，若∠AOD=140°，求∠BOC的度数. (3)如图3，若M为AC的中点，求证：ME⊥BD. ()④如图4，若ON LBD于点N,求证：ON=AC C M A E B A B B B D D D D 图1 图2 图3 图4 (例3) 牵手重高 C 解：证明：(1)连结AD,BC,如图①所示， .'AE=DE, A E B .∠A=∠D, .∠A=∠C,∠B=∠D, ∴.∠C=∠B, ∴.CE=BE D ① (2)连结BC,如图②所示， C ,AB⊥CD, A E B .∠EBC+∠ECB=90°， .'∠AOC=2∠ABC,∠BOD=2∠BCD, 0 ∴.∠AOC+∠BOD=2(∠ABC+∠BCD)=2×90°=180°， .∠AOD+∠BOC=360°-180°=180°， 牵手重高 .∴.∠B0C=180°-140°=40°. D ② (3)延长ME交BD于点H,如图③所示， .AB⊥CD, C ∴.∠AEC=90°， M .点M是AC的中点， A E B ∴.AM=ME=MC, ∴.∠A=∠MEA, 0 而∠MEA=∠BEH, ∴.∠A=∠BEH, .∠C=∠B,∠A+∠C=90°， D ③ .∠BEH+∠B=90°， .∴.EH⊥BD,即ME⊥BD 牵手重高 (4)作OP⊥AC于点P,连结OA,OC,OB,OD,如图④所示， .OP⊥AC,ON⊥BD, ÷∠A0P-z∠A0C,AP=CP,∠DON=号∠BOD. 由(2)得∠AOC+∠BOD=180°， ò ·∠AOP+∠DON=号（∠A0C+∠BOD)=90, B 而∠AOP+∠OAP=90°， ∴.∠OAP=∠DON, ∠OPA=∠DNO, 在△OAP和△DON中，〈 ∠OAP=∠DON, 、OA=DO, D ∴.△OAP≌△DON(AAS), ④ ∴.AP=ON, ∴.AP=PC=ON, 牵手重高 ON-AC. 【例4】如图，四边形ABCD内接于⊙O,且AC⊥BD,圆心O到边AB,BC, D CD的距离分别为3,1W2,则四边形ABCD的面积为_4+2√6 Q B Q (例4) 牵手重高