第12讲 解直角三角形（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第十二讲解直角三角形 牵手重高 知识梳理 ⊙要点诠释》翻 一、两锐角的正切和差公式 an(a十B)=a-tan otan tana十tanB an(a-B)=干tan atan tan a-tan B 二、常用的结论 若tama-号tang3,则tan(a十D=1,即a+g=45, 若a十B=45°，tana= 2则amg= 若a十B=45,amg=3则ane=2 若tana= ，则am2a= 1 若tana= 则1am2a=子 若tana= 2,则tan(a+45)=3. 牵手重高 3,则tan(a+45)=2. 若tana= 【例1】如图，已知正方形ABCD的边长为3，E,F分别是AB,BC边上的点，且∠EDF=45°， 将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE=1,则EF的长为 5 2 E B F C M (例1) 牵手重高 【变式训练1】如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在BC,CD上.若BE=2, ∠EAF=45°，则DF的长是 8 3 D F B E (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】如图，正方形ABCD中，BC=2,M是AB边的中点，连结DM,DM与AC交 -_.CE 于点P,点E在DC上点F在DP上，若∠DPE=5,PF=答，则DP=25_ 7 6- D E C M B (变式训练2) 牵手重高 【变式训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D是AC的中点，点E在BC 上，分别连结BD,AE交于点F.若∠BFE=45°，则CE= 30 11 D F E B (变式训练3) 牵手重高 【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE平分∠ACB,∠AEC=45°.若AC=2, tan∠ACB=是，则AB的长为_6V5 A E B D C (例2) 牵手重高 【变式训练4】如图，在△ABC中，∠C=90,D为AC边上一点，∠ABD=45°，anA=.若 BC=21,则DC的长为 3 D B (变式训练4) 牵手重高 【变式训练5】在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都是格点，则 tan∠BAC的值为 (C) B (变式训练5) A. 5 25 10 B C. 1-2 牵手重高 【变式训练6】问题背景： 两角和（差）的正切公式是数学公式中的重要公式： tan(a1tan atan tana十tan 5,tan(a-B)= tana一tan(a,g的取值应使公式有意义). 1+tan atan B (1)直接运用：tan75°=tan(30°+45)=2十√3：tan15°=tan(45°-30)=2一√3 (2)灵活运用：已知tana,tan3是方程2x2一3x十1=0的两个根，求tan(a十β)的值. (3)拓展运用： ①如图1，三个相同的正方形相接，求证：a十3=45°. ②如图2，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建 筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD. 45°0 A a D B 牵手重高 图1 图2 (变式训练6) (2),tana,tan3是方程2x2-3x+1=0的根， 3 1 tana+tan B=-之，tana·tanB=之， 3 anla十》= 2 =3. 1 1 2 牵手重高 (3)①证明：，'tana= 2,tan B=I 1 1 5 3 ..tan(a+B)= tana+tanβ 2 6 1-tan atan B 1 5 =1,∴.a+B=45°. 1- 6 ②解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E,则ABDE是矩形， DE=AB=9,CE=CD-DE=15-9=6, 设BD=AE=xm,∠CAE=a,∠DAE=B,a十B=∠CAD=45°， E 45 CE 6 在Rt△CAE中，tana一AE x DE 9 在Rt△DAE中，tanB=AE D B .tan(a+3)=tan45°=1， 整理得x2-15x-54=0, 6 9 解得x1=18,x2=一3（不合题意舍去）， 经检验，x=18是原方程的根，也符合题意： 6 9 牵手重高 1- 答：建筑物AB和CD的底部之间的距离BD为18米. C 【变式训练7】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上， 则tan∠BAC= 3 (变式训练7) 牵手重高