第10讲 相似三角形的基本模型和应用（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第十讲相似三角形的基本模型和应用 牵手重高 知识梳理 要点诠释》翻 如下图，相似三角形的基本模型有A形、反A形（斜A形），8字形、反8字形、旋转型、 母子型、共享型、一线三等角型等. >F B C B B B A形 反A形 8字形 反8字形 旋转型 母子型 牵手重高 6 B E B E 共享型 共享型 A A A D B B B B 一线三等角型 旋转型是两个相似的三角形共顶点（对应），且对应边的夹角相等，由一组相似三角形 推出另一组新的相似三角形（△ABCp△ADE). 母子型是共边共角型，两个三角形有一等角，另一角为公共角，且有一条公共边，这条 牵手重高 公共边恰好是另两边的比例中项.直角三角形的射影模型是母子型中的经典模型. 一、A形、反A形 【例1】如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cm,D是AB上一点且AD=2cm,点E在边 AC上.当AE=S或1.5cm时，△ADE与△ABC相似. D B O (例1) 牵手重高 【变式训练1】如图，在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上，且AM=3,过 点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MN= 4或6」 A M B C (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点，过点P作直线截 △ABC,使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有3条. B A C (变式训练2) 牵手重高 【变式训练3】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm.点D由点A出发沿 AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速 度均为1cm/s.连结DE,设运动时间为t(s)(0<t<10). (1)当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm? (2)在点D,E的运动过程中，是否存在时间t,使得△BDE与△ABC相似？若存在，请 求出对应的时间t;若不存在，请说明理由. B C (变式训练3) 牵手重高 【变式训练3】解：(1)如图所示，分别过点D,A作DF⊥BC,AG⊥ BC,垂足为F,G, DF BD ∴.DE∥AG,AG-AB' .'AB=AC=10, D BC=16, ∴.BG=8, C ∴.AG=6, E F G .AD=BE=t, ∴.BD=10-t, ,S△BDE= BE·DF=7.5, 2 ÷5=190,解得DF=号(10-0，÷号（10-)=15，解得1=5 .610 答：当t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2. 牵手重高 (2)存在，理由如下： ①当BE=DE时，△BDEp△BCA, ，即= BE BD 06,解得1= 50 ·AB 10 16 13 ②当BD=DE时，△BDE∽△BAC, 能即-90解得1= ·BE-BD 80 1610 13 答：存在时间：为碧或智秒时，使得△BDE与△ABC相似. 牵手重高 【变式训练4】如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，∠AED=∠ABC,∠BAC的 平分线AF交DE于点G,交BC于点F. (1)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由. (2若架-多求的值。 【变式训练4】解：(1)，∠AED=∠ABC,∠EAD=∠BAC, A ∴.△ABCp△AED, ..AG 3 (2) ∴.∠ADE=∠ACB, GF 2, D ·AG 3 G E :'∠AED=∠ABC,∠EAG=∠BAF, “AF 5 ∴.△AEG∽△ABF, ,'△ABC∽△AED, B C .'∠ADG=∠ACF,∠DAG=∠CAF, F DE AD .△ADG∽△ACF. …BCAC (变式训练4) .△ADG∽△ACF, 牵手重高 能-把怨子 =5 【变式训练5】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，点E,F分别在AC,BC边上，连结 AF,BE相交于点P,∠APE=60°. (1)求证：△APE∽△ACF. (2)若AE=1,求AP·AF的值. (3)当点P处于线段BE的什么位置时，△APE的面积等于四边形CFPE的面积？ 【变式训练5】解：(1)，'△ABC是等边三角形， ∴.∠C=60°， (2).△APE∽△ACF, E .∠APE=60°， AE AP ∴.∠C=∠APE, …AFAC .∠PAE=∠CAF, ,∴.AC=3,AE=1, B F ,∴.△APE∽△ACF. ∴.AP·AF=3. (变式训练5) 牵手重高 (3).∠APE=∠ABP+∠BAP=60°，∠BAP+EAP=60°， ∴.∠ABP=∠EAP, ,△ABC是等边三角形， ∴.∠C=∠BAC=60°，AB=AC, ∠ABE=∠CAF, 在△AFC与△BEA中，AB=AC, (∠BAE=∠C, △AFC≌△BEA, ∴.S△AFC=S△BEA, ∴.S△ABP=S四边形CFPE, 若S△APE=S四边形CFPE,则S△ABP=S△APE, 牵手重高 ∴.BP=EP,即点P是BE的中点. 二、8字形、反8字形（四点共圆模型之一） 【例2】如图，D为△ABC外一点，AD与BC的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4,要使 △BDE△ACE,且点B,D的对应点为A,C,那么线段CE的长应等于_15 4 B C E D (例2) 牵手重高 【变式训练6】如图，在口A5CD中，0是对角线BD上的一点，且咒7，连结C0并延长交 AD于点E.若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是 (C) D E B (变式训练6) A.3 B.4 C.5 D.6 牵手重高 【变式训练7】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=3:1,连结AE交 BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 (B) E B (变式训练7) A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1 牵手重高 【变式训练8】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，BR 分别交AC,CD于点P,Q. (1)求证：△PCQ∽△RDQ. R (2)求BP:PQ:QR的值. 解：(1)证明：，四边形ACED是平行四边形， ∴.AC∥DE, B C E (变式训练8) .∴.△PCQ△RDQ: (2),四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， ∴.BC=AD=CE,AC∥DE, ,∴.△PBC∽△RBE, PQ PCPC 1 PB BC PC BC 1 QR DR RE2 ·PFCE'REBE2 ∴.QR=2PQ, .'.RB=2PB, .BP=PR=PQ+QR=3PQ, 牵手重高 .'点R为DE的中点，△PCQp△RDQ, ∴.BP：PQ:QR=3：1:2. 【变式训练9】如图，在△ABC中，D,E是BC边上的点，BD:DE：EC=3：2：1,点M在 AC边上，CM:MA=1:2,BM交AD,AE于点H,G,则BH:HG:GM等于(D) A.3:2:1 B.5:3:1 C.25:12:5 D.51:24:10 M H G B C D (变式训练9) 牵手重高 【变式训练10】如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF,EF⊥FC,并且AE=6, EF=8,FC=10,则正方形的边长为410 A D 6 8 E 10 B (变式训练10) 牵手重高 【变式训练11】如图，已知正方形ABCD中，AB=4,E为CD边中点，F为AD边中点，AE 交BD于点G,交BF于点H,连结DH. (1)求证：BG=2DG. F (2)求AH:HG:GE的值. H (3求器的值， G E 【变式训练11】解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，如图所示，B .'AB//CD.AB=CD. A F (变式训练11) .DE=CE, H ·DE DG 1 …AB BG 2 E ∴.BG=2DG. 牵手重高 B C (2)解：，AB//CD,AB=CD, .∠DAE+∠BAH=90°， .DE=CE, ∴.∠ABF+∠BAH=90°， ·DE_DG_EG_1 ∴.∠AHB=90°， ·AB-BG-AG=2 ∴.AE⊥BF, 在Rt△ADE中，.AD=4,DE=2, .AE=2√5， ∴AH=AB·AF-4X245 BF 2W5 5 ·EG= 2v5 3 ·HG=25-45_2585 5315 同法可得BF=2√5， AB-AD.ZBAF-ZADE.AF-DE.AH:HG:GE=5:85:25-6:4:5. 5153 .∴.△BAF≌△ADE, ∴.∠ABF=∠DAE, 牵手重高 (3)作DM⊥AE于点M, 由(2)可知，DM=AH=4 D 5 EM-DE-DMF2/5 H 5 GM E HM=EH-EM-45 5 C .DH=4 V10 B 5 8√5 BH 5 …HD =√2. 4√/10 牵手重高 5 三、旋转型 【例3】操作发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD= 45°，连结AC,BD交于点M. (1)AC与BD之间的数量关系为AC=BD (2)∠AMB的度数为∠AMB=45° 类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD= 30°，连结AC,交BD的延长线于点M,请计算S的值及∠AMB的度数. 实际应用：图3是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角尺ABC,DCE组 成的图形，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠D=30°且D,E,B三点在同一直线上， CE=1,BC=√21，求点A,D之间的距离. D M M D B B A 牵手重高 图1 图2 图3 (例3) 类比探究：如图所示， 在△OAB和△OCD中， ,∠AOB=∠COD=90°， ∠OAB=∠OCD=30°， ∴.∠COA=∠DOB, M D OC=√3OD,OA=√3OB, K OC OA …ODOB' B .△COA∽△DOB, AC CO …BDOD =3,∠MAK=∠OBK, .∠AKM=∠BKO, ”P ∴.∠AMB=∠BOK=90°. 牵手重高 实际应用：如图所示，作CH⊥BD于点H,连结AD, 在Rt△DCE中，∠DCE=90°，∠CDE=30°，EC=1, .∠CEH=60°， D. :∠CHE=90, ∴.∠HCE=30°， HE EH=号EC=。 B ·CH= 2, 在Rt△BCH中，BI=VBC-CF=√21-(9)-号 2 .BE=BH-EH=4, .△DCA∽△ECB, ∴.AD:BE=CD:EC=√5， 牵手重高 ∴.AD=4√3， 如图所示，连结AD,作CH⊥DE于点H, 同法可得BH=号，E1=令， 1 E BE=号+=5 H .'△DCA∽△ECB, ∴.AD:BE=CD:EC=√3， A B ∴.AD=5√3. 牵手重高 【变式训练12】如图，△ABC)△ADE,∠BAC=∠DAE=90°，AB=8,AC=6,F是DE的 中点.若点E是直线BC上的动点，连结BF,则BF的最小值是A B E (变式训练12) 牵手重高 【变式训练13】如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A的坐标为(2,0)，动点B在⊙O 上，连结AB,作等边△ABC(A,B,C为顺时针顺序)，求OC长的最大值与最小值 解：OC的最大值是3，最小值是1. BA A (变式训练13) 牵手重高 【变式训练14】如图，四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD=90°，∠BAD=45°，S△AcD=9,求 AD的长. 解：AD=6 D B C (变式训练14) 牵手重高 【变式训练15】如图，在△ABC中，AB=AC=4,AF⊥BC于点F,BH⊥AC于点H,交AF 于点G,点D在直线AF上运动，BD=DE,∠BDE=135°，∠ABH=45°.当AE取最小 值时，BE的长为2√6_· D G B (变式训练15) 牵手重高 四、母子型 【例4】如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为 5 B D C (例4) 牵手重高 【变式训练16】如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D是BC上一点，且AD=BD (1)试说明：△ABC∽△DBA. (2)若BD=3√2，AB=2√6，求BC的长. 【变式训练16】解：(1)，AB=AC,AD=BD, .∠B=∠C,∠B=∠DAB, ∴.∠B=∠C=∠DAB, ∴.△ABC∽△DBA. B D C (变式训练16) (2).△ABC∽△DBA, BC AB ·ABDB 即BC-26 263√2 ∴.BC=4√2. 牵手重高 【变式训练17】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.如果AD=5,BD= 20,求CD,AC的长 【变式训练17】解：，∠ACB=90°，CD⊥AB, ,∴.△ACD∽△CBD, ADCD B cDBD,即CD D 020 ,解得CD=10, (变式训练17) 由勾股定理得AC=/AD2+CD2=5√5. 牵手重高 【变式训练18】如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AB上，且∠ADE=∠B. 如果DE:AD=2:5,BD=3,那么AC= 15 2- E B D C (变式训练18) 牵手重高 【例5】如图，A,B,C,D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD,AC交BD于点E,CE=4,CD =6,则AE的长为 (B) A .0 B E D (例5) A.4 B.5 C.6 D.7 牵手重高 【变式训练19】如图，在△ABC中，P为AB上一点，M为CP的中点，AC=2,且满足∠PBM= ∠ACP.若AB=3,求BP的长. 【变式训练19】解：取AP的中点G,连结MG,设AG=x,则PG= x,BG=3-x, 0 .M是PC的中点， ∴.MG∥AC, G M ∴.∠BGM=∠A, 0 C .∠ACP=∠PBM, B M (变式训练19) ∴.△APC∽△GMB, AP AC 2 ·GM 1 3-x B x= 3±√5 2 .AP=3-√5， 牵手重高 .AB=3, ∴.BP=√5. 五、共享型 【例6】如图，△ABC是等边三角形，点E,F分别在CB的延长线和反向延长线上，∠EAF= 120°.若CE=5,BF=7.5,求BC的长. 【例6】解：，△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， .∠ABE=∠FCA=120°，∠E+∠BAE=60°， E .'∠EAF=120°， (例6) ∴.∠BAE+∠CAF=∠EAF-∠BAC=60°， .∠E=∠CAF, ,∴.△ABEp△FCA, ..BC2=(BF-BC)(CE-BC)=(7.5-BC)(5-BC), AB BE …FC CA' 解得BC=3, BC 经检验，BC=3是方程的解， CE-BC 牵手重高 ·BF-BC BC .BC的长为3. 【变式训练20】如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，求证： (1)△ACP∽△PDB. D (2)CD=AC·BD. 【变式训练20】解：(1)'△PCD是等边三角形， ∴.∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°， D B ∴.∠ACP=∠PDB=120°， (变式训练20) .∠APB=120°， (2)由(1)得△ACPp△PDB, ∴.∠APC+∠BPD=60°， :∠CAP+∠APC=60°， AC PC PDBD' .∠BPD=∠CAP, .'△PCD是等边三角形， ∴.△ACP∽△PDB. ,∴.PC=PD=CD, ·AC_CD …CDBD' ∴.CD2=AC·BD. 牵手重高 【变式训练21】如图，P为反比例函数y=(x>0)在第一象限内图象上的一点，过点P分 别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=一x一2的图象于点A,B.若∠AOB=135°，则k 的值为 2 B A (变式训练21) 牵手重高 六、一线三等角型 【例7】如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，且AD：DB=1：2,现将△ABC折叠，使 点C与点D重合，折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上，则CE：CF= (B) C 八 D B (例7) A. 34 B 4-5 C 56 D 67 牵手重高 【变式训练22】如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上移动（点E不与点B,C重合）， 满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上. (1)求证：△BDEp△CEF. (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC D 【变式训练22】解：(1)证明：.AB=AC, (2).·△BDEo△CEF, ∴.∠B=∠C, BE DE .'∠BDE=180°-∠B-∠DEB, …CF EF’ ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB, ,点E是BC的中点， B E ,∠DEF=∠B, .'BE=CE, ∴.∠BDE=∠CEF, ·CEDE CF EF' ∴.△BDEo△CEF. .∠DEF=∠B=∠C, ∴.△DEF∽△ECF,∠DFE=∠CFE, 牵手重高 ∴.FE平分∠DFC. 【变式训练23】如图，在△ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF.将△DEF 与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的 方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于点M. (1)求证：△ABEp△ECM. (2)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长； 若不能，请说明理由 (3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积. 【变式训练23】解：(1)证明：，AB=AC, D .∠B=∠C, A .'△ABC≌△DEF, ∴.∠AEF=∠B, M 又.'∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE, B ∴.∠CEM=∠BAE, (变式训练23) 牵手重高 .∴.△ABE∽△ECM (2)能. 解：.∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C, CE AC …AC CB .∠AME>∠AEF, ∴.CE= AC2 25 ∴.AE≠AM CB 6 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM, ∴.BE=6- 25 11 .∴.CE=AB=5, 6 6, .BE=BC-EC=6-5=1. .BE=1或 1 当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA, 61 .∴.∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM, 即∠CAB=∠CEA. 又.∠C=∠C, .△CAE∽△CBA, 牵手重高 (3)解：设BE=x, ∴.AE=/AB2-BE2=4, 又.'△ABE∽△ECM, 此时，EF⊥AC, ·CM CE …BE AB' ∴EM=VCE-CM= 51 即Cu 6-x saaw=×9×号-器 2=96 5 .CM=- 22 6 5十 51 AM=5-CM=吉(x-3)2+9, 5, 当x=3时，AM最短为5， 16 M 又：当BE=x=3=号BC时， B E ∴.点E为BC的中点， 牵手重高 .AE⊥BC, 【变式训练24】如图，正方形ABCD的边长为4，M,N分别是BC,CD上的两个动点.当点 M在BC上运动时，保持AM和MN垂直，设BM=x. (1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN. (2)当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN?求此时x的值. 【变式训练24】解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD= D 4,∠B=∠C=90°， .AM⊥MN, ∴.∠AMN=90°， ∴.∠CMN+∠AMB=90°， B M 在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°， (变式训练24) .∠CMN=∠MAB, ,∴.Rt△ABM∽Rt△MCN. 牵手重高 (2)解：∠B=∠AMN=90°， :要使Rt△ABM∽Rt△AMN,必须有MN AM AB BM' AM AB 由(1)知：MN MC' ∴.BM=MC, '.当点M运动到BC的中点时，Rt△ABMORt△AMN,此 时x=2. 牵手重高 【变式训练25】如图，AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点，使得AE⊥DE. (1)求证：△ABE∽△ECD. (2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长. (3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD,AB,CD之间的数量关系，并说明理由. 【变式训练25】解：(1)证明：.AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°， .AE⊥DE, ∴.∠AED=90°， ∴.∠AEB+∠DEC=90°， B .∴.∠DEC=∠BAE, (变式训练25) ∴.△ABE△ECD. 牵手重高 (2)解：Rt△ABE中，AB=4,AE=5, .BE=3, .BC=5, ∴.EC=5-3=2, 由(1)得：△ABE∽△ECD, AB EC ·BE CD ·4 2 3 CD' ∴.CD= 3 2 牵手重高 (3)解：线段AD,AB,CD之间的数量关系：AD=AB+CD: 理由如下：过点E作EF⊥AD于点F, .'△AED∽△ECD, ∴.∠EAD=∠DEC, ∴.∠AED=∠C, ∴.∠ADE=∠EDC, .DC⊥BC, ∴.EF=EC, .DE=DE, B E ∴.Rt△DFE≌Rt△DCE(HL), ∴.DF=DC, 同理可得：△ABE≌△AFE, ∴.AF=AB, 牵手重高 .∴.AD=AF+DF=AB+CD.