第11讲 锐角三角函数（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第十一讲锐角三角函数 牵手重高 知识梳理 今要点诠释》翻 一、锐角三角函数的概念 如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边BC记为a,叫作∠A的对边，也叫作 ∠B的邻边.∠B所对的边AC记为b,叫作∠B的对边，也叫作∠A的邻边.直角∠C所对 的边AB记为c,叫作斜边. B a b 锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sinA,即sinA=∠A的对边=a 斜边 锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cosA,即cosA=∠A的邻边=b 斜边 牵手重高 锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tanA,即tanA=A的对边 _a ∠A的邻边 同理sinB=∠B的对边_b,osB=∠B的邻边 a;tanB=∠B的对边 b 斜边 斜边 ∠B的邻边a 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形中边与角的关系， 是两条线段的比值.角的度数确定时，其比值不变；角的度数变化时，比值也随之变化 sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成sin·A,cos·A, tan·A,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A中角 的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF),其正切应写成tn∠AEF,不能写 成tan AEF;另外，(sinA)2,(cosA)2,(tanA)2常分别写成sinA,cos2A,tan2A. 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在. 由锐角三角函数的定义知：当0°<∠A<90°时，0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0. 牵手重高 【例1】如图，A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比 表示的cosa值，错误的是 (C) A.BC B BC AB c把 a B (例1) 牵手重高 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么cosα的值是(D) A是 B. 43 c 4-5 D A(4,3) (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=7∠BAC,则tan∠BPC= 4 3 P B (变式训练2) 牵手重高 【变式训练3】在锐角△ABC中，AB=15,BC=14,S△Ac=84,求： (1)tanC的值. 解：(1)如图所示，过点A作AD⊥BC于点D, (2)sinA的值. :SAAe=名BC·AD=84, 2 .1×14×AD=84, .2 ∴.AD=12, E 又AB=15, ∴.BD=/AB-AD2=9, B .∴.CD=14-9=5, 在Rt△ADC中，AC=AD+DC=13, AD 12 牵手重高 .'tanC= DC 5 (2)如图所示，过点B作BE⊥AC于点E, :S△ABC= AC·EB=84, 1 A .BE= 168 13 E 168 ∴.sin∠BAC= BE 13 56 AB 15 65 B D 牵手重高 【变式训练4】已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2十mx十4=0的两个正整 数根之一，且另两边长为BC=4,AB=6,求cosA. 【变式训练4】解：如图所示，根据与系数的关系可知：x1·x2=4, 又，x1,x2为正整数解， ∴.x1,x2可为1,4或2,2， 又.BC=4,AB=6, .∴.2<AC<10, ∴.AC=4, ∴.AC=BC=4,△ABC为等腰三角形，A D B 过点C作CD⊥AB, .AD=3, AD 3 牵手重高 cos A- 4 二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°，45°，60°角的各三角函数值，归纳如下： sin a cos a tan a 30° 2 3 45° 1 2 2 60 2 2 5 通过该表可以方便地知道30°，45°，60°角的各三角函数值.它的另一个应用就是如果知道 一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若s咖？二 ,则锐角0=45°. 仔细研究表中数值的规律会发现，sin30°，sin45°，sin60°的值依次为号，3，而 cos30°，cos45°，cos60°的值的顺序正好相反，tan30°，tan45°，tan60°的值依次增大，其变化 规律可以总结如下： 正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）； 牵手重高 余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）. 【例2】计算sin30°+cos260°的结果为 (A) A号 B. 3-2 C.1 牵手重高 【例3】在△ABC中，如果∠A,∠B满足tanA-1+(cosB-2)=0,那么∠C=_75°. 牵手重高 【变式训练5】计算：(sin30°)-1×(sin60°-cos45°)-√1-tan60)z. 解：1-√2 牵手重高 【变式训练6】在Rt△ABC中，2sin(a十20°)=√3，则锐角a的度数为40°， 牵手重高 2=0. 变式训练7已知△ABC中的∠A与∠B满足①-tan A)+sinB-Y (1)试判断△ABC的形状. (2)求(1+sinA)2-2√/cos B-(3+tanC)°的值. 【变式训练7】解：D一tanA)2+sinB-号/=0， tan A=1,sin B=3 ∴.∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°， ∴.△ABC是锐角三角形. 2)原式=(1+号)-2√行-1=名-1=安 牵手重高 【变式训练8】对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sina=sin(180°-a),cosa=-cos(180°-a). (1)求sin120°，cos120°，sin150°的值. (2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A,B是这个三角形的两个顶点，siA, cosB是方程4x2一m,x一1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小. 【变式训练8】解：(1)根据题意得： sin120°=sin(180°-120°)=sin60°= 2 c0s120°=-cos(180°-120)=-c0s60°=-号， 2 sin150°=sin(180°-150°)=sin30°= 2 牵手重高 (2),一个三角形的三个内角的比是1：1：4，三角形的内角和 为180°， ∴.三个内角的度数分别为30°，30°，120°， .sinA,cosB是方程4x2一m,x一1=0的两个不相等的实 数根， sinA十osB=,sin Axcos B=--子， ,A,B是这个三角形的两个顶点， ∴.sinA>0,cosB<0, .∠A=30°，∠B=120°， “2+(-）月 解得m=0. 牵手重高 综上所述，m的值为0，∠A=30°，∠B=120°. 三、锐角三角函数之间的关系 如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则存在以下关系 互余关系：sinA=cos(90°-A)=cosB,cosA=sin(90°-∠A)=sinB. 平方关系：sinA+cos2A=1. 倒数关系：tanA·tanB=l或tanA=,1 tan B' 商数关系：tanA=sinA B cos A' 牵手重高 AABC中，C=90,tanA=分则simA+eosA=一5 牵手重高 【变式训练9】已知tana=3,则ima-cos&= 1 sin atcos a2 牵手重高 【变式训练10】同角三角函数的基本关系为sin'a十cos'a=1,ng=tama.利用同角三角函 cos a 5 数的基本关系求解下题：已知tana=2,则3 sin acos一 6- 牵手重高 【变式训练1】尼知sna十cosa=号，则sine·cosa= 5 8 牵手重高 【变式训练12】若ana十，=3，a为锐角，则tan'a十，=7 tan a tana 牵手重高 【变式训练13】已知实常数a,b,c,d同时满足下列两个等式：①asin0十bcos0一c=0; ②acos0-bsin0+d=0(其中0为任意锐角)，则a,b,c,d之间的关系式是a2+b2=c2十d2 牵手重高 四、三角函数常用公式 sin(a+B)=sin acos B+cos asin B,sin(a-B)=sin acos B-cos asin B. cos(a+B)=cos acos B-sin asin B,cos(a-B)=cos acos B++sin asin B. tan(a十B)=tan a-tan-tan atan≠0. 1-tan atan B 合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求，如 sn90=sn(80+60)=sn30cos60+cos30rsn60-号×号+号×g=1. 牵手重高 【例5】sin15°=sin(60°-45°)=sin60'cos45°-cos60°sin45°=62. 4 类似地，可以求得 sin75°的值是 √6+√2 4 牵手重高 【变式训练14】阅读材料，解答问题 上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式： sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°，sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°.一个猜 想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能 推广到一般.其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识.你是否和小明一样也有想 法了？下面考考你，看你悟到了什么， (1)根据你的猜想填空：sin37°cos48°+cos37°sin48°= sin85°；sin acos B+ cos asin B= sin(aB) (2)请你用发现的规律巧算出sin75°的值. (2)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin459 =×+×竖 2 2 牵手重高 【变式训练15】如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4,tanB= P (1)求BC的长. (2)利用此图形求tan15°的值.（精确到0.1，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，√5≈2.2） 【变式训练15】解：(1)如图所示，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 在Rt△ADC中，AC=4, B .∠ACB=150°， .∠ACD=30°， (变式训练15) AD=2AC=2. CD=AC·cos30°=4X =23, B 2 M 在Rt△ABD中，tanB= AD 2 BD BD 8 ∴.BD=16, 牵手重高 ∴.BC=BD-CD=16-2W3. (2)如图所示，在BC边上取一点M,使得CM=AC,连结AM, .∠ACB=150°， ∴.∠AMC=∠MAC=15°， tanl5r=tan∠AMD- AD 2 MD 0 =2-J3≈0.3. 4+2√52+√5 B M 牵手重高 【变式训练16】某校数学兴趣小组在探究如何求tan15°，cos15°的值，经过自主思考、合作交 流讨论，得到以下思路 思路一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D,使BD=BA, 连结AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC=√3. tanD=tanl5°=1 2-√3 2+5(2+3)(2-√5) =2-√3. 思路二：利用相关公式： tan atan B tan(a+B)=1-tan a.tan Bi tana-tanβ tan(a-B)=1十tana·tanB cos(a±3)=cos acosβFsin asin A. 例如，a=60°，3=45°，代入差角正切公式得： tan15°=tan(60°-45)= tan60°-tan45=8-1=2-5. 1+tan60°·tan45°1+√3 牵手重高 思路三：在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 请参考上述思路解决下列问题： (1)类比：求出tan75°的值和cos15°的值. (2)应用：如图2，某县要在宽为10m的幸福大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2m, 且与灯柱BC成105°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩 的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC的高度.（精确到 0.1m,参考数据：√6≈2.449，√3≈1.732，W2≈1.414) D A B C A B 图1 图2 (变式训练16) 牵手重高 tan45°+tan30° (1)tan75°=tan(45°+30)=1-tan45°，tan3o 1+③ 3 =2+√3； 1 √3 3 2大② cos15°=cos(60°-45)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=号X 2 +E×2-6+2 2 4 牵手重高 (2)如图所示，作DE⊥AB于点E,CF⊥DE于点F, .BC⊥AB, ∴.∠ABC=∠BEF=∠FEC=90°， .OE=OB-BE=OB-CF=5-1.932=3.068米， .四边形BEFC是矩形， ∴.DE=OE·tan75°=3.068×3.732=11.450米， ∴.∠FCB=90°，BC=EF,BE=CF, DF=CF·tan75°=0.573米， DO⊥CD, .BC=EF=DE-DF=11.450-0.573≈10.9（米）. ∴.∠ODC=90°， ∴.∠DOE+∠ODE=∠ODE+∠CDF=∠CDF+∠DCF =90°， .∠ODE=∠DCF=∠DCB-∠FCB=105°-90°=15°， ∠DOE=∠CDF=90°-15°=75°， :cos16°-6+E≈0.966，tam75°=2+5≈3.732， 4 E B 在Rt△CDF中，CD=2米， .CF=DC·cos15°≈2×0.966=1.932米， 牵手.