第7讲 比例线段和平行线分线段成比例（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第七讲比例线段和平行线分线段成比例 牵手重高 知识梳理 令要点诠释》翻 一、比例线段 在四条线段a,bc,d中，如果号=台，那么这四条线段a,bc,d叫作成比例线段，简称 比例线段.如果号-合，那么ad=bc:反之，如果ad=bc(abcd≠0，那么号-分 特别地，如果号-么（或：=a0),那么b叫作ac的比例中项. 二、合（分）比性质 如果公-后那么之甘”。-后 三、等比性质 牵手重高 如果8-豆=…-叶+十0，那么号+-号 四、黄金分割 把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)且使AC是AB和BC的比例中项，叫 把线段AB黄金分割点C叫骏段AB的黄金分割点ASAC=Y5,≈0,6证 五、黄金三角形 A 36° D 72 36 人72° 36 C 顶角为36°的等腰三角形，底和腰之比为黄金比·AC BC_5-1 2 CD5-1 牵手重高 顶角为108的等腰三角形，腰和底之比为黄金比，AC 2 【例1尼知号=奇=2，则，=1：-1 牵手重高 【变武训炼尼知紧方号名则芳_立 牵手重高 或-1 【变式训练]若-。千。千。。则太的值为 牵手重高 【例2】若点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC,线段AC的长为4，则BC=2V5-2, 牵手重高 【例3】如图，已知线段AB,按照如下方法作图： q)经过点B作BDLAB,使BD=AB: (2)连结AD,在DA上截取DE=DB; (3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点. A B E (例3) C B 牵手重高 【例4】如图，在等腰三角形ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则 C √5-1 A的值等于2一· A D B C (例4) 牵手重高 √5-1 BP 【变式训练3】已知点P在线段AB上，且满足BP=AB·AP,则B的值等于2 D B C (变式训练4) 牵手重高 【变式训练4】如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D,有以 下结论：①BC=BD=AD;②S△ABD:SACD=AD:DC;③BC=CD·AC;④若AB= 2,则BC=√5一1.其中正确的结论有4个. A D B C (变式训练4) 牵手重高 【变式训练5】如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE>CE, AE与BD相交于点F,那么FD:BF的值为V5+I D F B E C (变式训练5) 牵手重高 【变式训练6】已知线段AB=10cm,P,Q是线段AB的黄金分割点，则PQ=10√5一20(cm) 牵手重高 【变式训练7】如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°， BC=2. (1)求∠B的度数. (2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比 (或者底边长与腰长的比)等于黄金比5，一1 2 ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由. ②求AD的长. ③在直线AB或BC上是否存在点P(点A,B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在， 在图中画出点P,简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，请说明理由. D B C E 牵手重高 (变式训练7) 【变式训练7】解：(1).BD=DC=AC,则∠B=∠DCB,∠CDA =∠A. 设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x. 又.∠ACE=108°， ∴.∠B+∠A=108°， ∴.x+2x=108°，x=36°， .∠B=36°. 牵手重高 (2)①有三个：△BDC,△ADC,△BAC. .DB=DC,∠B=36°， ∴.△DBC是黄金三角形 或.CD=CA,∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°， ,△CDA是黄金三角形. ②△BAC是黄金三角形， 或.∠ACE=108°， ∴.∠ACB=72°， 瓷 21 又.∠A=2x=72°， BC=2, ∴.∠A=∠ACB, .AC=√5-1， .'BA=BC, .△BAC是黄金三角形. ,BA=BC=2,BD=AC=√5-1， .AD=BA-BD=2-(W5-1)=3-√5. 牵手重高 ③存在，如图所示，有三个符合条件的点P1,P2,P3, (ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交 直线AB,BC得到点P1,P2. (ⅱ)以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧 与BC的交点为点P3. D B E 牵手重高 【变式训练8】黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较 长线段与原线段的比，其比值等于5,1.如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长 2 线上一动点，连结AG交对角线BD于点H,△ADH的面积记为S1,四边形DHCG的 国积记为s,若点C是线段G的故金分到点，则的值为3≥或一35 2 B G (变式训练8) 牵手重高 六、基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图1，直线ab∥c,分别交直线m,n于点A,AA,B,B,B,则有AA-BB AA2BiB2 AA2BB2 A2A3B2 Bs AAs BB3'AA3 BB3' 注意：①平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关； ②三条直线截两条直线，如果截得的对应线段成比例，那么这三条直线不一定平行. m n B2 b E A3 D 图1 图2 图3 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例， 如图2，在△ABC中，E,F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC,则有5-C,A5 AC,ABAC特别地，当E是AB的中点时，F是AC的中点，EF是△ABC的中位线. AF EB FC 牵手重高 常用辅助线：过三角形边上的等分点，构造平行线导比，要注意添加的辅助线一定要能 把题目中的条件结合起来（如图3，DG). 【例5】如图，山∥2∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,若= 3 多则的值为_亏一 E B (例5) 牵手重高 【变式训练9】如图，AB/CD/EF,AF与BE相交于点G.若AG=2.GD=1,DF=5,则S 3 的值为 5- F (变式训练9) 牵手重高 【变式训练10】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,直线1平行于BD,且与 AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P,求证：PM·PN=PR·PS. 【变式训练10】解：证明：直线l平行于BD, 号器 ·PN_CPPR OD …oDc OB PM AP PS OB AO OD 得器 OD OB ②， M N RS 由①@得深器即PM:PN=PR,Ps (变式训练10) 牵手重高 【例6】如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3,BE的延长线交AC于 点F,AF:FC=1:6 公 B D C (例6) 牵手重高 【变式训练11】如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2,O是BD的中点，连结 AO并延长交BC于点E,则BE:EC=1：3 D B E C (变式训练11) 牵手重高 【变式训练12】如图，在△ABC中，点D在BC上，F是AD的中点，连结CF并延长交AB 于点E.已知品=，侧能等于 (C) E B C D (变式训练12) 1-3 B. n十1 C.” n+1 D. 1-2 牵手重高 【变式训练13】如图，P为△ABC内一点，过点P作DE,FG,IH分别平行于AB,BC,CA. 求证福+肥+ 2=1. (②求证：0+肥=1 【变式训练13】解：(1).DE∥AB,IH∥AC,FG∥BC, A ,∴.可得△PIF△CAB, E IF IP AE ∵ABAC AC' 同理 DH PH GCIF⊥DH GE_AE GC GE BC AC AC'AB BCAC=AC十AC+AC 1 D H (2)仿(1)可得 AI PE GE BD PF PI AE (变式训练13) AB-AB一 AC'BC BCACAC BD GC GE AE CG 牵手重高 ·AB+BC+ACAC十AC十AC 1.