第6讲 弧长及扇形的面积（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第六讲弧长及扇形的面积 牵手重高 知识梳理 令要点诠释》甜 一、圆周长公式 C=2πR. 二、孤长公式 L=迟（弧长为1，圆心角度数为，圆的半径为R). 180 (1)在弧长的计算公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. (2)若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长. (3)题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示. (4)正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等 的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一· 牵手重高 【例1】如图，折扇的骨柄长为27cm,折扇张开的角度为120°，图中AB的长为18πcm. (结果保留π) B -27cm A (例1) 牵手重高 【变式训练1】如图，在矩形ABCD中，AB=√3，BC=2,以点A为圆心，AD长为半径画弧交 边BC于点E,连结AE,则DE的长为 (C) A D B E C (变式训练1) A. 4π B.元 C. D. π3 牵手重高 【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C,D在直径AB的两侧.若∠AOC: ∠AOD:∠DOB=2:7:11,CD=4,则CD的长为 (D) A.2π B.4π C. 2π D.√2π 2 A D B (变式训练2) 牵手重高 【变式训练3】如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O,连结OB,OD.若∠BOD= ∠BCD,则劣弧BD的长为 (C) B. A.π x C.2π D.3π A B C (变式训练3) 牵手重高 【变式训练4】如图，⊙O的半径为2，AB,CD是互相垂直的两条直径，P是⊙O上任意一点 (点P与点A,B,C,D不重合)，经过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q 是MV的中点.当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为 (A) A.于 B受 c晋 D.5 A P M C N D B (变式训练4) 牵手重高 【变式训练5】如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1CD1A2…是由一段段90度的弧 组成的.其中：DA的圆心为点A,半径为AD;AB,的圆心为点B,半径为BA1;BC的 圆心为点C,半径为CB1;C1D的圆心为点D,半径为DC1;DA1,A1B1,B1C,CD1…的 圆心依次按点A,B,C,D循环.若正方形ABCD的边长为1，则A2o20B202o的长是4039元. D C2 c BA A --A2 B B2 (变式训练5) 牵手重高 【变式训练6】如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D,点E为半 径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为6√2+π· 3 D 60o B (变式训练6) 牵手重高 【变式训练7】如图，将边长为1，中心为点O的正方形ABCD在直线1上按顺时针方向不滑 动地每秒转动90°. √2 √2 (1)第1秒点O经过的路线长为 4 ,第2秒点O经过的路线长为 4π ,第 2013秒点O经过的路线长为 (2)分别求出第1秒、第2秒、第2013秒点A经过的路线长. (2)第1秒点A经过的路线长为 90π×11 180 2, 第2秒点A经过的路线长为 90πX√2 B 180 2, (变式训练7) 第2013秒点A经过的路线长为 90π×11 180 2. 牵手重高 【例2】如图，△ABC的边长都为6cm,分别以A,B,C三点为圆心，边长的一半为半径作弧， 求阴影部分的周长 【例2】解：解法一：1= 60 180r= ,XπX3=πcm,C阴=3l=3Xπ= 180 3πcm; 解法二：C阴= n 180 180πr= 180 XπX3=3πcm; B C 答：阴影部分的周长是3πcm. (例2) 牵手重高 【变式训练8】如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半 径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是6兀·（结果保留π） E G B (变式训练8) 牵手重高 【变式训练9】如图，在直径AB为100的半圆中，分别截去直径为AC,BC的两个半圆，求图 中阴影部分的周长. 【变式训练9】解：阴影部分的周长由三个半圆周长组成， 三个半圆周长分别是： C大=πR大=50π， C=xR中=r.AC, B 21 (变式训练9) CB C小=πR小=元·2， ∴C头+C+C=50x+x(ACCB)=50x+50x=100m 2 牵手重高 【变式训练10】如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2,以点B为圆心，BC为半径画弧，交 AD于点E,则图中阴影部分的周长是 (A) A E D B C (变式训练10) A.2+ π2 B.2+艺 C.2+π D.1十π 牵手重高 【变式训练11】如图，在边长为a的正方形ABCD中，分别以点A,B为圆心，以a为半径作 弧交对角线于F,E两点，AE,BF与对角线所围成的阴影部分的周长为2a十 24 D B C (变式训练11) 牵手重高 【变式训练12】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,分别以点A,B为圆心，AD, BC为半径画弧，交AB于点E,交CD于点F,则图中阴影部分的周长为 (C) A.2+π B.4十π C.4+2π D.4十4π D C A E B (变式训练12) 牵手重高 【变式训练13】如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=2cm,则图中阴影部分的周长为 5π+2_cm. A D E B C (变式训练13) 牵手重高 【变式训练14】如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A,B,C,D为圆心，1为半径画 弧，四条弧交于点E,F,G,H,则图中阴影部分的周长为2 3 E H G B (变式训练14) 牵手重高 三、圆的面积公式 S=πr2. 四、扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫作扇形. 扇形面积计算公式： 设圆心角是m°，圆的半径为R的扇形面积为S影，则S彩= nπR 360 五、求阴影面积常用的方法 公式法；和差法；割补法. 求阴影部分面积的主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积 牵手重高 【例3】如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E.若CD=6√3，AE=9,则 阴影部分的面积为 (A) A E B 0 D (例3) A.6- B.12π-9√3 C.3π D.93 牵手重高 【变式训练15】如图，已知C,D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为÷π，则图 中阴影部分的面积为 (A) B. 1 16π C.24π D.ax D A 0 B (变式训练15) 牵手重高 【变式训练16】如图，直径AB为6的半圆绕点B顺时针旋转30°，此时点A到了点A',则图 中阴影部分的面积是 (D) B. 4 C.π D.3π 7 B (变式训练16) 牵手重高 【变式训练17】如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，E,F分别为边BC,AD 的中点.以点C为圆心，2为半径作圆弧BD,再分别以点E,F为圆心，1为半径作圆弧 B0,OD,则图中阴影部分的面积为 (B) A.π-1 B.π-2 C.π-3 D.4-π B E C (变式训练17) 牵手重高 【变式训练18】如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB=90°，∠ABC=30°，AD⊥BC 于点D,连结AC.若OA=2,则图中阴影部分的面积为1十√5一2 3π C B (变式训练18) 牵手重高 【变式训练19】如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，AB=2,D为AB的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 元1 -42 B D A E (变式训练19) 牵手重高 【变式训练20】如图，在正方形ABCD中，E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点.若 圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为1 E A B (变式训练20) 牵手重高 【变式训练21】如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA. 若0A=23,则阴影部分的面积为√3十元 D A 2 0 (变式训练21) 牵手重高 【例4】如图，在矩形ABCD中，AB=33,BC=6,以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于 点E,以点D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F,则阴影部分的面积为 (A) D B E C (例4) A. 1273 273 5 4T- B.6π- 4π-18v3 D 273_3 2 2 2 4 牵手重高 【变式训练22】如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为4cm,分别以OA,OB为直径画圆， 则图中阴影部分的面积为8cm2. B 变式训练22) 牵手重高 【变式训练23】如图，四边形ABCD和ECGF均为正方形，且点A,D,F在半圆的弧上，点 B,C,G在半圆的直径上，点D,E,C在一条直线上.若半圆的半径为√5，则阴影部分的 面积为 5 2π5 D E F B C G (变式训练23) 牵手重高 【变式训练24】如图，在矩形ABCD中，AB=√3，AD=2,以点A为圆心，AD为半径画弧， 交BC于点E,再以点B为圆心，AB为半径画弧，交BC于点F,交前弧于点G,则图中 两个阴影部分的面积之差的绝对值是3 π 12 D G B E F (变式训练24) 牵手重高 【变式训练25】如图，矩形ABCD的一边长AB=4,且BC>AB,以边AB为直径的圆O交 对角线AC于点H,AH=2,K为半圆AKB上一点. (1)求∠HKA的度数. (2)求CH的长. (3)求图中阴影部分的面积. (4)设AK=m,若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且只有三个，求实数m的值. (1)连结BH, (2),∠AHB=90°，∠ABH=30°，D ,AB为⊙O的直径， ∴.∠BAH=60°， ∴.∠AHB=90° ,四边形ABCD是矩形， .AB=4,AH=2, ∴.∠ABC=90°， sin∠ABH=AH 2=1 .AC=2AB=8, B AB 4 2 ∴.CH=AC-AH=6. ∴.∠ABH=30°， (变式训练25) .∠HKA=∠ABH=30°. 牵手重高 (3)连结OH,则△AOH是等边三角形， ∴.AO=AH=2,∠AOH=60°， 过点H作HE⊥AO于点E,则HE=√3， .AC=8,CD=AB=4, ∴.AD=4√3， ∴.图中阴影部分的面积为 ×4v5x4- 60·π×22 360 z×2x5=95-子 (4)过点O作平行于AK的直线交⊙O于点M,N,过点O作 OP⊥AK于点Q交⊙O于点P, .⊙O的半径=2，则PQ=OQ=1, .0A=2, ∴.AQ=3, ∴.AK=2AQ=23, 牵手重高 .m=23. 【变式训练26】如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=2,将扇形OAB绕边OB的中 点D顺时针旋转90°得到扇形OA'B',弧AB'交OA于点E,则图中阴影部分的面积为 1-9+ B ○ D B' E (变式训练26) 牵手重高 【变式训练27】如图，在矩形ABCD中，AB=√，BC=1,把矩形ABCD绕点A顺时针旋转 30得到矩形ABC'D',其中点C的运动路径为CC',则图中阴影部分的面积为(B) π_53 A. B. _5V 2π_5√3 33 2十2 33 +2 π_5v 3 D 3 3 B B D' C C (变式训练27) 牵手重高 【变式训练28】如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（√2，√2）， 弦AB经过点P,则图中阴影部分面积的最小值为16 -4 A B (变式训练28) 牵手重高