第4讲 圆及圆的对称性（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第四讲圆及圆的对称性 牵手重高 知识梳理 今要点诠释》进 一、圆的认识 1.圆的定义. 定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形 成的图形叫作圆.固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径.以O点为圆心的圆，记作 “⊙O”,读作“圆O”. 定义2：圆可以看作所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 2.与圆有关的概念. 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧等. 连结圆上任意两点的线段叫弦；经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧， 简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆；大于半圆的弧 叫作优弧：小于半圆的弧叫作劣弧. 3.圆的基本性质， 牵手重高 轴对称性；中心对称性. 【例1】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；线段AC、 BC是圆O的弦，其中最长的弦是 AC ABBC里劣弧； ADCABC 是半圆. A B C (例1) 牵手重高 【变式训练1】有以下几种说法：①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直 径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧.其中正确的是 ① .(写序号) 牵手重高 【变式训练2】下列说法中，不正确的是 (D) A.过圆心的弦是圆的直径 B.等弧的长度一定相等 C.周长相等的两个圆是等圆 D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧 牵手重高 【例2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB,CD的延长线交于点E,已知AB= 2DE,若△COD为直角三角形，则∠E的度数为22.5°. D A E B (例2) 牵手重高 【变式训练3】点A,B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=70°· 牵手重高 【变式训练4】若圆的半径为3，则弦长x的取值范围是0<X≤6. 牵手重高 【变式训练5】如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA, CD的延长线交⊙O于点E.若∠C=20°，则∠BOE的度数是60°. 牵手重高 【变式训练6】如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB,在OC两侧 分别作矩形OGHI和正方形ODEF,且点I,F在OC上，点H,E在半圆上，求证：IG= FD.小云发现连结图中已知点得到两条线段，便可证明IG=FD. 请回答： 小云所作的两条线段分别是 OH和 OE.证明IG=FD的依据是矩形的对角 线相等，同圆的半径相等和等量代换 C E H A 0 D B (变式训练6) 牵手重高 二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有： 点P在圆外台→d>r; 点P在圆上台→d=r; 点P在圆内台→d<r. 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系.反过来，已知点到圆心距离与半径 的关系，可以确定该点与圆的位置关系. 牵手重高 【例3】已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d,且关于x的方程x2一2x十d=0没 有实数根，则点P在圆外.（选填“圆内”“圆上”或“圆外”） 牵手重高 【变式训练7】如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以顶点A为圆心作半径为r的圆，若要 求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则r的取值范围是6<<10， A B (变式训练7) 牵手重高 【变式训练8】若点A到圆O上的点的最大距离为5cm,最小距离为3cm,则圆O的半径为 4或cm. 牵手重高 【变式训练9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D是以点A为圆心，半径 为2的圆上的一点，连结BD,M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为1.5. M B (变式训练9) 牵手重高 【变式训练10】如图，△ABC,△ABD,△ABE都是以AB为斜边的直角三角形，求证： (1)点A,D,B,C在同一个圆上； (2)点A,E,D,B在同一个圆上 解：证明：(1)如图所示，取AB的中点O,连结OD,OC E D .'∠ADB=∠ACB=90°， :.OD=OC=↓AB=OA=OB, A B 2 A,D,B,C四点共圆. (2)如图，连结OE, B C ,'∠AEB=∠ADB=90°，OA=OB, (变式训练10) ∴.OE=OD= 2AB-OA-OB, .A,E,D,B四点共圆. 牵手重高 三、确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 注意：这里的“三个点”不是任意的三个点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一 条直线上的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线 上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条 直线上的三点能且只能画一个圆 四、三角形的外接圆与外心 1.外接圆 经过三角形的三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆. 2.外心. 三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫作三角形的外心. 3.概念说明. (1)“接”说明三角形的顶点在圆上，或者圆经过三角形的三个顶点· (2)锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部. (3)找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的 牵手重高 外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个. 【例4】已知平面直角坐标系内的三个点A(1,一3)，B(0,一3)，C(2,一3)，不能确定一个 圆.（选填“能”或“不能”） 牵手重高 【变式训练11】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三 个点A(3,0),B(0,-4),C(2,-3)能 确定一个圆.（选填“能”或“不能”） 牵手重高 【变式训练12】当点A(1,2),B(3,一3)，C(m,n)三点可以确定一个圆时，m,n需要满足的条 件是5m+2n≠9. 牵手重高 【变式训练13】如图，点A,B,C均在6×6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除 经过A,B,C三点，还能经过 5个格点. B A C (变式训练13) 牵手重高 【变式训练14】如图，在平面直角坐标系xOy中有点A(5,6),B(5,2),C(3,0),△ABC的外 接圆的圆心坐标为(1,4) 个y 654321 -1- -1- 123456x (变式训练14) 牵手重高 五、垂径定理 1.垂径定理， 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧， 2.垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 3.垂径定理的应用. 垂径定理的应用很广泛，常见的有： (1)得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距 等问题 牵手重高 【例5】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为点E,连结OC.若OC=5cm,CD= 8cm,则弦心距OE的长为3 cm. A B E D (例5) 牵手重高 【变式训练15】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的 长是 (B) A.√7 B.2V7 C.6 D.8 0 A B E D (变式训练15) 牵手重高 【变式训练16】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点O是这段弧所在圆的圆心，AB= 40m,C是AB的中点，D是AB的中点，且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为 (A) A.25m B.24m C.30m D.60m C D B (变式训练16) 牵手重高 【变式训练17】如图，在半径为√13的⊙O中，弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°，AB=6, AE=1,则CD的长是 (C) A.2√6 B.2√10 C.2 11 D.4√5 D 0 E A B (变式训练17) 牵手重高 【变式训练18】如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM=2,则过点M的所有弦 中，弦长是整数的共有 (C) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 M (变式训练18) 牵手重高 【变式训练19】已知AB,CD是⊙O的两条平行弦，AB=8,CD=6,⊙O的半径为5，则弦 AB与CD的距离为 (D) A.1 B.7 C.4或3 D.7或1 牵手重高 【变式训练20】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2,以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为 2W5 C A D B (变式训练20) 牵手重高 【变式训练21】如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线 y=kx一3k+4(k≠0)与⊙O交于B,C两点，则弦BC的最小值为24 B A (变式训练21) 牵手重高 【变式训练22】如图，在⊙O中，弦AB=1,点C在AB上移动，连结OC,过点C作CD⊥OC 交⊙O于点D,则CD的最大值为 2 B (变式训练22) 牵手重高