第2讲 二次函数的应用（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第二讲二次函数的应用 牵手重高 知识梳理 一、数形结合类型 二次函数与一次函数相交类型. ①a.x2+bx十c=0,看作y=a.x2+bx+c与x轴相交， 方程的根即交点的横坐标； 数形结合解一元二次方程（观察法） ②a.x2十bx十c=k.x十m,看作y=a.x2+bx十c与2= k.x十相交，方程的根即两图象交点的横坐标 牵手重高 【例1】如图，抛物线y=ax2十c与直线y=mx十n交于A(一1，p),B(3,g)两点，则不等式 ax2十m,x十c>n的解集是x<-3或x>1 y个 B 0 x A (例1) 牵手重高 【变式训练1】如图，直线y=mx十n与抛物线y=ax2十bx+c交于A(一1，p),B(4,g)两点， 则关于x的不等式mx十n>a.x2+bx十c的解集是x<-1或x>4 B (变式训练1) 牵手重高 【变式训练2】已知二次函数y=ax2十bx+c的图象，则不等式a(x一2)2+b(x一2)+c<0 的解集为x<3或c>5. 3 -3 (变式训练2) 牵手重高 【例2】二次函数y=ax2+bx十c的大致图象如图所示，则关于x的方程ax2十bx+c=2的解 是X=-2,X2=0 2 -3 (例2)】 牵手重高 【变式训练3】如图，已知函数y=一3与y=ar2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的 纵坐标为1，则关于x的方程ar2十bx+三=0的解为x=-3 (变式训练3) 牵手重高 【变式训练4】已知抛物线y=a(x一h)2+k经过（一3，m),(1,m),(2,一4）三点，则关于x的 方程a(x-h十2)2十k十4=0的解为x=0,x,三.6 牵手重高 【例3】已知关于x的一元二次方程x2十bx一c=0无实数解，则抛物线y=一x2一bx十c经过 第三、四象限 牵手重高 【变式训练5】若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 0或 1 牵手重高 【变式训练6】已知二次函数y=kx2一6x一9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值 范围是k>-1且k≠0 牵手重高 【例4】已知函数y=|x2一4的大致图象如图所示，若方程|x2一4=m(m为实数)有4个不 相等的实数根，则m的取值范围是0<m<4. (例4) 牵手重高 【变式训练7】抛物线y=一x(x一3)十c(0≤x≤3)与直线y=x十2有唯一公共点，则c的取 值范围为2<c≤5或c=1 牵手重高 【变式训练8】若直线y=x十m与函数y=|x2一2x一3的图象只有一个交点，则交点坐标 为（③，0）；若直线y=x十m与函数y=x2一2x一3的图象有四个交点，则m的取值 范围是1<m< 13 4 牵手重高 【例5】如图，正方形OABC和正方形CDEF在平面直角坐标系中，点O,C,F在y轴上，点O 为坐标原点，点M为0C的中点，抛物线y=ar2+b经过M,B,E三点，则器的值为 1+2 E C B D M A X (例5) 牵手重高 【变式训练9】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，边长分别为m,n(m<n). 坐标原点O为AD的中点，点A,D,E在y轴上.若二次函数y=ax2的图象过C,F两 点，则”=1+V2 y个 E D C G A B (变式训练9) 牵手重高 【变式训练10】如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y=x(x≥0)与y=三（x≥0)的 图象于B,C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D,直线DE∥AC,交y2的 图象于点E.则5-35 y y1=x2 /2= x2 D E A B C (变式训练10) 牵手重高 【例6】如图.⊙0的半径为2，C是函数y=:的图象，C,是函数y=一x的图象，C是 3 函数y=x的图象，则阴影部分的面积是一π C3 (例6) 牵手重高 【变式训练11】如图，抛物线的顶点为P(一3,3)，抛物线与y轴交于点A(0,4).若平移该抛 物线，使其顶点P沿直线移动到点P(3,一3)，点A的对应点为A',则抛物线上PA段 扫过的区域（阴影部分）的面积为24 (变式训练11) 牵手重高 【变式训练12】我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”.如图，点A, B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，一3)，AB为半圆的直径， 半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2. (1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围. (2)将图中“蛋圆”整体向上平移，并使得抛物线的顶点与点(1，一2)重合，从而形成如图 2所示的图象，求图中阴影部分的面积. 解：(1)y-a(x+1)x-3)(a≠0)， 自变量x的取值范围：-1≤x3 M (2)阴影部分的面积为8 M D 图1 图2 (变式训练12) 牵手重高 【例】如图，直线)y=x+2与抛物线y=ar+br+6(a≠0)相交于点A(分，号) 和点B(4,m), 点P是线段AB上异于A,B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.当 711 △PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3,5)或 B (例7) 牵手重高 【变式训练13】已知二次函数y=a.x2(a>0)的图象上的两点A与B的横坐标分别为一1和 2,原点为O,当△OAB为直角三角形时，a的值为 a=1或a=2 2 牵手重高 【变式训练14】已知抛物线y=x2一2x一3与x轴交于A,B两点，点B在点A右侧与y轴 交于点C,点N为抛物线对称轴上一点，若以B,N,C为顶点的三角形为直角三角形，此 时点N的坐标为 或(1,2)或(1，-4) 牵手重高 【例8】如图，已知直线)=十1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线)一 c与直线交于A,E两点，与x轴交于B,C两点，且B点坐标为(1,0).在抛物线的对称 轴上找一点M,使|AM一MC的值最大，则点M的坐标是 B C (例8) 牵手重高 【变式训练15】如图，抛物线y=x2一2x一3，经过点A,B,C. (1)在抛物线的对称轴上找一点P,使PA十PC的值最小，请求出此时点P的坐标及 PA十PC的最小值. (2)在对称轴上找一点Q,使QA一QC的值最大，请求出此时点Q的坐标. 解：(1)(1，-2)，3√2；(2)(1，-6). B (变式训练15) 牵手重高 【例9】如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛 物线)=ar(a<0)的图象上，则a的值为.一√2 B (例9) 牵手重高 【变式训练16】如图，在平面直角坐标系中（如图1），将n个边长为1的正方形并排组成矩形 OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上.现将矩形OABC绕点O 顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2)，设抛物线y=ax2十bx+c(a<0), 如果抛物线同时经过点O,B,C,那么： (1)当n=3时，a=- 10 3 (2)a关于n的关系式是 n2十1 n B B 图1 图2 (变式训练16) 牵手重高 【变式训练17】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为 (0,2),(1,0),顶点C在函数y= +b:-1的图象上，将正方形ABCD沿r轴平 移后得到正方形A'BC'D',点D的对应点D'落在抛物线上，则点D与其对应点D 间的距离为 2 B (变式训练17) 牵手重高 二、实际应用类型 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习 了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.解应用题可按照以下 步骤： 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什 么，找出等量关系（即函数关系）； 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就 是二次函数； 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题： 5.检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案； 6.写出答案. 牵手重高 三、常规应用类型 【例10】如图，是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2高时，水面宽度（为 4m,则当水面下降1m时，水面宽度增加26-4m 4 (例10) 牵手重高 【例11】飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数解析式是s=60t一1.5t, 则飞机着陆后滑行到停下来的距离为 600 m. 牵手重高 【例12】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m.当矩形的 长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，则最大面积是 225 m2. 2 20m 墙 菜园 (例12) 牵手重高 【例13】某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量 y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示. (1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）. (2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y=kx十b,由图象可知， 个y(千克) 20k+b=20, 解得 k=-2, 30k+b=0, b=60, 20--- ∴.y=-2x+60. .a=-2<0, 20 (2)设销售利润为p, 30x(元/千克) p=(x-10)y p有最大值， (例13) =(x-10)(-2x+60) 当x=一 80 =20时，P最大值=200. -2×2 =-2x2+80x-600 即当销售单价为20元/千克时， 牵手重高 每天可获得最大利润200元. 【变式训练18】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成 本单价，且每件的利润率不得高于45%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)之 间的关系式符合一次函数y=一x+120. (1)若该服装获得的利润为（元），试写出利润心与销售单价x之间的关系式.销售单 价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？ (2)若该商场获得的利润不低于500元，试确定销售单价的取值范围， (1)利润w与销售单价x之间的关系式为w=一x2+180x一7200； 销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元. (2)当w=500时，则有500=-x2+180x-7200, 整理得x2一180x+7700=0,解得x1=70,x2=110, .抛物线开口向下，对称轴为直线x=90, ∴.若该商场获得利润不低于500元，则有70≤x≤110， 牵手重高 又，60≤x≤87，∴.销售单价x的取值范围为70≤x≤87. 四、面积最值和存在性问题 【例14】如图，已知点A(一1,0)，B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上. (1)求抛物线解析式 (2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC的面积为1. 1)物线的解析式为y=一子2+ 3x+1 (2)点P的坐标为1，号)或(2,1D. A B （例14) 牵手重高 【变式训练19】如图，抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)与x轴交于点A(一5,0)和点B(3,0),与 y轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式， (2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标. (3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在，求出点P的 横坐标；若不存在，请说明理由， 解：(1)把A,B两点坐标代入解析式可得 a三 25a-5b-5=0, 3 解得 9a+3b-5=0, 2 b= 3, ∴.抛物线解析式为y= 3x2+2 5. (变式训练19) 牵手重高 (②)在= 3x2+2 +31-5中，令x=0,可得y=-5,(3):∠CAE=∠BAP,∠CA0=45°， ∴.C(0,-5), ∴.∠EAH=45°， ,S△ABE=S△ABC,且点E在x轴的下方， 辅助线构造如图所示，△AFE≌△EGH, ∴.点E纵坐标和点C纵坐标相同， .H(3,-2), 当y=一5时，代人可得号x+名 9 3x-5=-5, AH:y千-联立次函数，解得 解得x=一2或x=0(舍去)， P,P关于点B对称， ∴.点E坐标为（一2，一5）， ,=5或= 9 4 当点E与点C重合时，也满足条件， 综上所述，点E的坐标为（一2，一5）或(0，一5). 牵手重高 【例15】如图，已知抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于A(一1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于 点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于点M,连结PB. (1)求该抛物线的解析式. (2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大？若存 在，求出点D的坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求 出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)由 b=2, c=3, 则抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. M 牵手重高 (例15) (2)设点D的坐标为(t,一t2+2t十3)，如图所示，过点D作DH⊥x轴， 则SaD=S#影cDH十SamH-SAc=合(-P+2z+3+3)t D +2(3-0(-+2+3)-合×3×3=-多：+号 4, 3 ∠0， M: 2 9 2 当t=一 2×(- 时，点D的坐标是（， 3,5),△BCD 面积的最大值是 牵手重高 (3)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q, ∴.使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为(2,3)或 ,点P的坐标为(1,4)，直线BC的解析式为y=一x+3, ∴.过点P与BC平行的直线为y=一x十5， +1+亚)成2，-1亚). 2 y=-x+5, 由 得点Q的坐标为(2,3)， y=-x2+2x+3 ,PM的解析式为x=1,直线BC的解析式为y=一x十3， ∴.点M的坐标为(1,2)， 设PM与x轴交于点E, PM=EM=2, ∴.过点E与BC平行的直线为y=一x十1， y=-x+1, x=3+，x=3厘， 2 2， A 由 得 或 EH B y=-x2+2x+3 y=-1+☑ 2 y=-1-7 2 :点Q的坐标为(3+亚，-1+亚)或 2 2 3-应，-1-厘. 2 2 牵手重高 【变式训练20】如图，已知抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)经过A(一3,2)，B(0,一2)两点，其 对称轴为直线x=,C0,)为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D. (1)求该抛物线的函数表达式. (2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E,使得△ADE的面积最大，并求出最大面积. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得△ADF是直角三角形？如果存在，请求 出点F的坐标；如果不存在，请说明理由. 9a-3b+c=2, a 6, (1)根据题意得 c=-2, 解得 5 b 5 6=- 6 2a 2 c=一2， B B 6x2、5 所以该抛物线的解析式为y=上x x-2. 备用图 (变式训练20) 牵手重高 (2)作EP∥y轴交AD于点P,如图所示， 设点E的坐标为(6z5 1 -6x-2)(-3<x<5),则点P的 1 +, 坐标为(x,一立x 1 1 1 3t+5 2 .S△AED=S△AEP十S△DEP, =号·(5+3)(-2+ 3x+ 5) 2 设直线AD的解析式为y=mx十n, 把A(一3,2)，C(0,)两点分别代人得： 号x-10+号， 3 -3m十n=2, 1 m=一 2 当x=1时，△ADE的面积最大，最大面积为号，此时点E的坐 1 解得 1 n=2’ 标为1，-号 所以直线AD的解析式为y=一 y=6x2- 1 6x-2, (x=-3, (x=5, 解方程组 得 或 1 y=-2x+ y=2 y=-2, 则点D的坐标为(5，一2)， 牵手重高 (3)存在.设点F的坐标为（号，0，如图所示， A(-3,2),D(5,-2), ∴AD2=(5+3)2+(-2-2)2=80,AF2=(号+3)2+(-2)2， DF2=(5-5)2+(-t-2)2, B 当AD+AFPm=DFP,△ADF是直角三角形，则80+（号+3） +(-2)2=(5-号)2+(-1-2)，解得1=13，此时点F的坐标为（受，13）： 当AD2+DF2=AF2,△ADF是直角三角形，则80+(5-5)2+(-1-2)2 2 =(号+3)2+(1-2)2，解得=-7，此时点F的坐标为（号，-7）： 5 当DF2+AF2=AD,△ADF是直角三角形，则（号+3）2+(1-2)2+(5-号) +(-t-2)2=80,解得t=±四 ，此时点F的坐标为号，)或（，一—. 2 综上所述，点F的坐标为（号，13）或（号，-）或（号，牙）或（受，-） 牵手重高 【例16】如图，已知抛物线y=ax2十bx十3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C. (1)求此抛物线的解析式. 27 (2)①若点P是直线BC下方的抛物线上一动点，则△PBC的面积最大值为8 ②若点T为对称轴直线x=2上一点，则TC-TB的最大值为√10 (3)抛物线上是否存在点Q,使得∠ACQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由， (1)设抛物线的表达式为 y=a(x-x1)(x-x2) =a(x-1)(x一3) =a(x2-4x-3) =ax2+bx+3, 解得a=1, 故该抛物线的表达式为y=x2一4x十3. 备用图 (例16) 牵手重高 (3)如图所示， ,∠ACF=45°， 辅助线构造如图所示，△AOC≌△FDA, ∴.F(4,1), .CF:y= 2x+3,联立二次函数，解得xQ=2, 75 牵手重高 【变式训练21】如图1和图2，已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的对称轴为直线x=一1，且 抛物线经过B(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点A. (1)求该抛物线的解析式. (2)如图1，在抛物线的对称轴直线x=一1上找一点M,使点M到点B的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M的坐标， (3)如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q的坐标. 解：(1)点B的坐标为(1,0)，函数的对称轴为 x=一1，故点A的坐标为（一3,0）， 则抛物线的表达式为y=a(x+3)(x一1)=a(x2+2x-3), 即-3a=3,解得a=一1， 故抛物线的表达式为y=一x2一2x+3. (2)点B关于函数对称轴的对称点为点A,则AC交函数对称轴 于点M,则点M为所求，由点A,C的坐标得，直线AC的表达 图1 图2 式为y=x十3， (变式训练21) 当x=一1时，y=2,故点M的坐标为（一1,2）. 牵手重尚 (3).∠CBQ=45°， 辅助线构造如图所示，△BOC≌△CDE, 无 ∴.E(-3,2), 2x+1 BE·y=一 5 ,联立二次函数，解得x0=一2， 牵手重高 0-2, Γ，4