第2章 锐角的正弦、余弦、正切章节复习（12大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

第2章 锐角的正弦、余弦、正切章节复习 教学目标 1. 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中准确识别对边、邻边与斜边，记住三角函数符号，会求给定锐角的三角函数值。 2. 掌握特殊角30°、45°、60°的三角函数值，能进行简单的三角函数计算，并根据三角函数值反求对应锐角。 3. 会运用锐角三角函数解决直角三角形中简单边角问题，体会数形结合思想，提升几何运算与分析问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）理解正弦、余弦、正切的概念，分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边，能根据定义求锐角三角函数值，熟记三个特殊锐角的三角函数值。 （2）利用锐角三角函数进行简单计算，能在已知直角三角形的边长或者一个锐角的条件下，求解其余边长或锐角，建立边角之间的数量关系。 2.难点 （1）准确区分同一个锐角的正弦、余弦、正切，容易混淆对边与邻边，理解三角函数本质是比值，不受直角三角形大小影响，体会比值的不变性。 （2）灵活构造直角三角形解决非标准直角图形问题，在综合问题中合理选择合适的三角函数列式，将实际问题转化为解直角三角形模型。 知识点01 锐角三角函数 在中，，则的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 知识点02 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 知识点03 直角三角形的边角关系 两锐角关系： （2）三边关系：（勾股定理） （3）边角关系：， ， 知识点04 解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角 对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 题型01 求角的正弦 【典例1】（2026·云南昆明·三模）如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在正方形网格中，点O，A，B均在格点上．若射线 经过点A，射线 经过点B，设，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】过点B作的垂线，垂足为M，令正方形网格的边长为1，由题意得：，由勾股定理得，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点B作的垂线，垂足为M， 令正方形网格的边长为1， 在中，， ∴， ∴． 【变式2】（2026·福建泉州·三模）在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．利用网格构造直角三角形，再找到对应的斜边长，最后根据三角函数的意义求解即可． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， ∴在中，，， ∴ ∴． 故答案为：． 题型02 求角的余弦 【典例1】（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行．已知，，则点A到所在直线的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交于，根据矩形的性质推出，结合求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于， 由题意知，， 由矩形的性质，，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A ． 【变式2】（2026·四川乐山·一模）如图，在中，，，，则________ 【答案】 【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理求得，再根据余弦函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、全等三角形的判定和性质及角平分线的性质．先证，得出，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图，设交于F， 是的平分线， ． ， ． 在和中 ． ． ， ． ． ， ． 故答案为： 题型03 求角的正切 【典例1】（2026九年级上·山东·专题练习）在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在的网格中，点均是网格线的交点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求角的正切值，连接，利用勾股定理可求出的长，利用勾股定理的逆定理可证明，据此根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．如果，，那么的正切值为__________． 【答案】 【分析】根据的正弦值和余弦值，分别表示出三边，根据正切的定义求出答案即可. 【详解】解：∵，， ∴设，，， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义：在三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值；一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．的正切值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识．先根据勾股定理求出和，再根据等积关系求出，再根据勾股定理求出，最后再求出角的正切值即可． 【详解】解：过点B作交于点D，如图， 由勾股定理得，，， 根据等积关系得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 题型04 利用三角函数值求线段长 【典例1】（2025·陕西西安·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的应用．根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 【变式1】（2026·福建宁德·一模）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，在中，继而得到． 【详解】解：连接交于点， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）在中，，若，，则的长是______． 【答案】80 【分析】本题考查解直角三角形．根据，代入数据求得，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 题型05 特殊三角形的三角函数 【典例1】（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）计算：___________，___________． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 【变式2】（23-24九年级上·山西临汾·阶段检测）已知是锐角，且，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：由为锐角，且，那么， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，，，求的度数． 【答案】 【分析】求出的值，进而求出的度数，根据同角的余角相等，得到即可. 【详解】解：∵于点D，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 题型06 特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】（2026·天津东丽·一模） 的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的值等于______． 【答案】 0 【分析】代入特殊锐角的三角函数值，按照实数运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】代入特殊角的三角函数值，进行混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型07 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， ∵，且是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【变式3】（24-25九年级上·河南濮阳·阶段检测）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1) 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知:，， ∴原式． 题型08 解直角三角形的相关计算 【典例1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴， ∴， ，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C正确， ，故选项D错误． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）已知在中，，，，则的值为__________． 【答案】/度 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出三角形三边长度，再根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，最后根据三角函数定义求出，即可得出的值． 【详解】解：，，， ∴， ， ∴为直角三角形，且， ， ． 【变式2】（2026·四川乐山·二模）如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，过点作于，在中解直角三角形可得，进而可得的长，在中解直角三角形即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，， 如图，过点作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，根据下列条件解直角三角形．（角度精确到） (1)，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用的正弦与边的关系求出，最后利用三角形的内角和定理求出； （2）先利用三角形的内角和定理求出，再利用的正弦与边的关系求出，最后利用∠A的正切与边的关系求出． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，，． ∴，，解得：， ∵，解得：． 题型09 仰角俯角问题 【典例1】（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，某同学为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部A处的仰角为，则教学楼的高度约是______m．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点D作于点E，解直角三角形得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 根据题意可得：，，， 在中，， 即， ∴， ∴． 【变式2】（2026·河北邢台·模拟预测）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为3m．则顶棚的处离地面的高度______m．（，，结果精确到0.1m） 【答案】 【分析】直接根据AC的坡度即可求出AB的值，然后构造直角三角形EGD，通过解直角三角形求出EG的长度，最后利用即可求解． 【详解】解：过点D作交EF于点G， ∵观众区的坡度为， ∴． ， ． ， ． ， ， ． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 【答案】两建筑物间的距离约为 【分析】过点作于点，设，则，，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则， 设， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，即 ， 解得． 答：两建筑物间的距离约为． 题型10 方位角问题 【典例1】（2026·江苏常州·一模）如图，为了测量一条河流的宽度，测量工作人员在河岸边相距100米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽(的长)可以表示为(   ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据方向角的定义确定 的度数，在Rt 中，利用正切函数的定义即可求出的长． 【详解】解：由题意可知， ，即 ∵在的北偏西方向，且平行于点的正北方向线 ∴ 在Rt 中， ∴ 即河宽为米． 【变式1】（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如果、表示两个港口，港口在港口的正东方向上．海上有一小岛在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上．测得海里，则小岛与港口之间的距离为______海里．（结果可保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，得到两个直角三角形， 用特殊角的三角函数先算出的长，再计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵小岛在北偏东， ∴； ∵在北偏西， ∴， ∴在中，海里，， ∴海里， 在中，， ∴海里． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． 【答案】 【分析】过点作交线段的延长线于点，求出，，根据得到，根据速度等于路程除以时间即可得到该车从点A到点B的平均速度． 【详解】解：过点作交线段的延长线于点， 由题意可得，，， 在中，，， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∴该车从点A到点B的平均速度为． 题型11 坡度坡比问题 【典例1】（2026·河北沧州·三模）如图，一辆卡车沿坡角为的斜坡向上行驶，当行驶1000米时，高度上升了（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义，找出竖直高度与斜坡长度、倾斜角的关系来求解． 【详解】解：令行驶1000米至点B，过点B作于O， 在中，，米，． ∴， 米， 即卡车在竖直方向上升的高度为米． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是（     ）米． A． B．20 C． D． 【答案】B 【分析】利用坡比求出米，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：迎水坡的坡比是， 米， 米， （米）． 【变式2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 【答案】米 【分析】根据坡度定义求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：由题意可知，在中，，． 斜坡的坡度， ， 在中，由勾股定理得：， 故斜坡的长度是米． 【变式4】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为了测量水库迎水坡的坡角，把一根长为的竹竿按如图所示的方式斜靠在坝旁．当的长为时，测得点D到地面的距离，，求水库迎水坡坡角的度数．（结果精确到） 【答案】 【分析】过点作的垂线，证明与相似，结合的长度可求出的长度，在中，因为已知和的长度，所以可利用正弦的定义求出的正弦值，再将其换算为精确到．的角度． 【详解】过点作，交直线于点． 已知，因此， 可得． ∴， ∵，，， ∴​ ， 解得． 在中，，， 因此： ， 通过计算器反查正弦值并精确到，可得． 因此 ． 题型12 三角函数综合 【典例1】（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到，结合已知得到，求解即可． 【详解】解：矩形，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， 故． 【变式1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【答案】①②④ 【分析】根据得到，进而逐一判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ， 故④正确． 【变式2】（2026·河南商丘·二模）某厂家新开发的一种电动汽车如图所示，它的大灯射出的光线，与水平地面的夹角分别为和（，，在同一平面内），大灯到地面的距离为，则该车大灯照亮地面的宽度约是_____．（不考虑其他因素，结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，通过在直角三角形中，利用正切函数求出相关线段的长度，即可求解． 【详解】如图：作于点，则有和； 由题可知，，，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角函数的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再求出的长，最后根据三角函数求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， ， ； ， 在中，， ． ∴在中，． 一、单选题 1．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 2．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，，在中可求出． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 【答案】D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 5．（2026·浙江温州·三模）如图，图1为《天工开物》记载舂谷工具“碓”的结构简图，图2为其平面示意图．操作时，碓杆绕支点C转动，使碓头点B抬高．已知于点A，与水平线l的夹角为．若分米，分米，，则此时点B到水平线l的距离为（     ） A．6分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】D 【分析】和 ，得到辅助线思路，通过延长 交直线 l 相交，构造出大直角三角形 ，利用的直角三角形的性质或勾股定理，结合已知边，算出斜边和另一条直角边的长度，利用线段的和差关系，得到补足的直角边长度 ，过点 B 作垂线 ，构造出小直角三角形 ，利用相似对应边成比例，即可求出目标线段 ． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴， 且， ∴在中，， 即， 解得，故， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则等于__________． 【答案】 【详解】解：，，， ， 即． 7．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，则是______三角形． 【答案】钝角 【分析】先利用绝对值、平方的非负性得到、，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形． 8．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，点在边上，，连接，且平分，则的长为______． 【答案】 【分析】过作于点，过作交于点，易得，进而证明，可设，利用勾股定理求，再利用，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作交于点， ∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 平分 ， ， ， 设， 在中，， ， 解得，， ． ， ， ， ， 即， 解得，． 9．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，为了方便行人横穿马路，打算修建一座高的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为，计算斜坡的长度__． 【答案】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， 在中， 故答案为：． 10．（第二十六章 解直角三角形 高效同步练习26.1 锐角三角函数 第1课时 正切）如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】设，则，由折叠可得，再结合矩形的性质和勾股定理计算得出，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵是的中点， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ， 解得， ， ∴． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】代入特殊锐角的三角函数值，按实数运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．解这个直角三角形．（结果精确到） 【答案】，，． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数，利用的正切与余弦即可求出、的长度． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，，，求和的长． 【答案】， 【分析】在中，根据两锐角互余知，由此求出的长，再根据特殊角的三角函数值求的长． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积． (2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 【答案】(1)加宽部分横断面的面积为平方米 (2)完成这一工程需要立方米的土 【分析】（1）过点作于，过点作于，易得， 然后在和中， 解直角三角形可求得与的长，继而求得加宽部分横断面的面积； （2）根据坝长米，即可求得完成这一工程需要多少方土． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，则． ∵，则， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在和中， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 答：加宽部分横断面的面积为平方米； （2）解：完成这一项工程需要的土方：， 答：完成这一工程需要立方米的土． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，结合，解答即可． （2）设，则，故，得，代入解答即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ，， ，，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ． （2）解：，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 设，则， 故， 解得， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 2．（2026·吉林长春·中考真题）如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 光线平行且直径与光线垂直， 的长度等于平行光线与之间的距离，即， 在中，，，， ， ． 3．（2026·广东东莞·模拟预测）如图1，四边形为学校操场观赛台的横截面，此刻阳光射入观赛区内，已知米，太阳光与地平面的夹角为，若学校计划安装一个直角形太阳棚，如图2，为太阳棚横截面，，为了能完全遮挡太阳光射入观赛区，则太阳棚的长度至少为（     ） A．3米 B．米 C．米 D．1.5米 【答案】B 【分析】根据题意结合平行线的性质可得，利用正切的定义即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵，米， ∴（米）． 4．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·上海杨浦·二模）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可得，点在边上，因此，计算出的值即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，， ∵为的角平分线， ∴， ∴点在边上 ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）的值等于__________． 【答案】 【分析】根据计算即可． 【详解】解：原式． 7．（2026·四川眉山·模拟预测）眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】米/ 【分析】过点作于点，证明四边形，四边形和四边形是矩形，则求出米，米，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，， ∵， ∴四边形，四边形和四边形是矩形， ∴米，米， ∴ ∴三点共线， 在中， ， ∴ 在中，∵，， ∴, 即，解得（米） ∵米 ∴（米） 即天下第一菹坛的高为米． 8．（22-23九年级下·江苏苏州·开学考试）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为_____尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 【答案】15.1 【分析】根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，尺， （尺）， 立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为15.1尺． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）在中，，，．______________． （2）如图，P是的边上一点，且点P的坐标为．______________． （3）如图为某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为．乘电梯从点B到点C上升的高度h为______________m． （4）______________；______________；______________；______________． （5）某海域有相距10海里的两个小岛A和B，另有一小岛C，测量得，．A，C两岛间的距离为______________海里． （6）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向、距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．海轮行驶的路程为______________海里．（结果保留根号） （7）如图，在中，，，平分．若，则______________． 【答案】 4 1 1 20 3 【分析】（1）因为三角形是直角三角形且已知斜边和一条直角边，所以先用勾股定理求出另一条直角边，再根据正切的定义计算． （2）因为已知点P的坐标，所以先求出点P到原点的距离，再根据正弦的定义计算． （3）因为，所以其补角为，过C作的垂线构造直角三角形，结合角的直角三角形性质求高度h． （4）因为是特殊角的三角函数计算，所以直接代入特殊角的三角函数值，结合同角三角函数的基本关系计算即可． （5）因为三角形是直角三角形且已知一个锐角和邻边，所以用余弦的定义求的长度． （6）因为A在P的东北方向，所以先过P作的垂线，构造两个直角三角形，分别利用等腰直角三角形性质和含角的直角三角形性质求出两段长度，相加得到． （7）因为是角平分线且，所以先求出各角的度数，得到，再在直角中用角的直角三角形性质求． 【详解】（1）∵在中，， ∴， ∴． （2）过点作轴垂线， ∴。 ∴． （3） 过点作的垂线，垂足为E，得到上升高度． ∵， ∴， ∴． （4） 代入特殊角三角函数值计算： ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴； ∴． （5）∵在中，，， ∴． ∴海里． （6）过点作的垂线，垂足为， ∵在中，，， ∴海里； ∵在中，，， ∴海里； ∴海里． （7）∵ 在中，，， ∴。 ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴． 10．（2026·浙江·中考真题）如图，，，、分别是、的中点，、分别为、上任意点，当关于对称的线段垂直时，___________． 【答案】 【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到与、的关系，再利用对称轴的性质得到角度关系，从而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，连接，， 由和关于对称可得，、、三点共线． ， ，为等腰三角形， 为的中点，， ，， 在中，， 、分别是、的中点， ∴为的中位线， ，， ， 线段垂直， ， 根据轴对称可得， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一座底面是正方形的金字塔，它的底面边长约为．经过千百年的风化侵蚀，金字塔的底部基本没有受损，但顶端已剥落，其残存的每一个面与地面均构成的角（倾斜角）．这个金字塔原来的高是多少米？（结果精确到） 【答案】这个金字塔原来的高是147米 【分析】根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴这个金字塔原来的高是147米． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为 (2)线段的长度约为 【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可． （2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可． 【详解】（1）解：如图， 过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． （2）解：如图， 过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形 ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ， 答：线段的长度约为． 14．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，，则点的对应点必在线段上． （2）在中利用勾股定理可求得，从而得到，再在中利用勾股定理即可求得的长． （3）过点作于点，设，则，，从而得到．在中利用锐角三角函数可求得的长，在和中利用勾股定理可依次求得，的长，再由锐角三角函数的定义即可求得的值，由旋转可知，，即可求得的值． 【详解】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转，得到，是点的对应点，则，． 是点的对应点， 点在线段上． （2）解：由旋转可知，，． 在中，， ． ， ， 在中，， （负值已舍去）． （3）解：如图，过点作于点． 设，则，， ． ， ． 在中，． 在中，． 在中，， ． 由旋转可知，， ． 15．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1) (2)不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章锐角的正弦、余弦、正切章节复习 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01锐角三角函数 知识点02特殊角的三角函数值 2.知识清单 知识点03直角三角形的边角关系 知识点04解直角三角形的类型和解法 题型01求角的正弦 题型02求角的余弦 题型03求角的正切 锐角的正弦、余弦、正 题型04利用三角函数值求线段长 切 题型05特殊三角形的函数值 题型06特殊角三角函数值的混合运算 3.题型精讲 题型07由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型08解直角三角形的相关计算 题型09仰角俯角问题 题型10方位角问题 题型11坡度坡比问题 题型12三角函数综合 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中准确识别对边、邻边与斜 边，记住三角函数符号，会求给定锐角的三角函数值。 教学目标 2. 掌握特殊角30°、45°、60°的三角函数值，能进行简单的三角函数计算，并根据三 角函数值反求对应锐角。 3. 会运用锐角三角函数解决直角三角形中简单边角问题，体会数形结合思想，提升 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 几何运算与分析问题的能力。 1.重点 (1)理解正弦、余弦、正切的概念，分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边， 能根据定义求锐角三角函数值，熟记三个特殊锐角的三角函数值。 (2)利用锐角三角函数进行简单计算，能在已知直角三角形的边长或者一个锐角的 条件下，求解其余边长或锐角，建立边角之间的数量关系。 教学重难点 2.难点 (1)准确区分同一个锐角的正弦、余弦、正切，容易混淆对边与邻边，理解三角函 数本质是比值，不受直角三角形大小影响，体会比值的不变性。 (2)灵活构造直角三角形解决非标准直角图形问题，在综合问题中合理选择合适的 三角函数列式，将实际问题转化为解直角三角形模型。 知识清单 知识点01 锐角三角函数 在RtA4BC中，∠C=90°，则∠A的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关系 正弦 sinA=A的对边 sinA=a 0<sinA<1 斜边 c (∠A为锐角) sinA=cos B 余弦 c0sA=∠A的邻边 b cos A= 0<cos4<1 cos A=sin B 斜边 c (∠A为锐角) sin24+cos2A=1 正切 tan A= ∠A的对边 tanA=a tanA>0 tan A=- 1 ∠A的邻边 Γb (∠A为锐角) tan B 知识点02 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin a 2 罗 cosa 2 罗 之 2/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan a 3 1 5 知识点03 直角三角形的边角关系 两锐角关系：∠A+∠B=90° (2)三边关系：a2+b2=c2(勾股定理) sin A=cosB=a cos 4=sin B=b tanA= tan B=b (3)边角关系： 61 知识点04解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边 和一个锐角 ∠B=90°-∠A,c= ,b=,a(或b=c2- a sin 4 tan A (a,LA) 已知斜边和一 个锐角 ∠B=90°-∠A,a=csin A,b=ccos 4或b=Ve2-a2 (c,∠A) 已知两直角边 斜边 对 c=Va2+b,由tanA=a求∠A,∠B=90°-∠A (a,b) b b 邻边 已知斜边和一 条直角边 b=Vc2-a2,由sinA=a求∠A,∠B=90°-∠A (c,a) 题型精讲 题型01求角的正弦 【典例1】(2026云南昆明三模)如图，在R1aABC中，∠C=90°.若AB=5,AC=4,则sinA=( 3/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ c.s 【变式1】(2026陕西榆林·模拟预测)如图，在正方形网格中，点O,A,B均在格点上.若射线OP经 过点A,射线O0经过点B,设∠PO卫=a,则sina的值为() A.1 B.2 5 D.25 5 【变式2】(2026福建泉州三模)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=L,AC=V5,那么siA的值是 【变式3】(25-26九年级上·安徽宿州期末)如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则siB 的值为 B C 题型02求角的余弦 【典例1】(25-26九年级下·云南曲靖阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=10, 则cosB的值是() 4/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A D. 【变式1】(25-26九年级上：浙江宁波·期末)如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时BD恰好与地面 EF平行.已知∠CEF=a,BC=1,则点A到BD所在直线的距离可表示为() D 1 A.cosa B.sina C.tand D. sina 【变式2】(2026四I川乐山一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5,则cosA= 【变式3】(2025·上海模拟预测)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是线段AB上一点，且满足 AD 1 DB2,连接DC,作∠ABC的平分线交线段4C于点B.若DC⊥BE,则∠ABC的余弦值为 题型03求角的正切 【典例1】(2026九年级上山东专题练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2BC,那么tanA的值 是() A. B.2 c. 2W5 5 【变式1】(25-26九年级上江苏苏州期中)在5×10的网格中，点A,B,C均是网格线的交点，则 tan∠BAC=() 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 5 B. C.2 D.5 5 【变式2】(（2526九年级上全国课后作业)在1BC中，2C=90.如果m4 4 5:Cos4= 5,那么 ∠A的正切值为」 【变式3】(25-26九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，在4×6的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的 小正方形的顶点上.∠ACB的正切值为 题型04利用三角函数值求线段长 【典例1】（2025陕西西安一模)在R△ABC中，∠C=90,4B=15,sim1 5,则BC的长为() A.12 B.10 C.9 D.8 【变式1】(2026福建宁德·一模)如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长 AB=30cm, ∠ABC=40°，则铜眼形器的长BD等于(） A D C A.30cos20° B.60cos40° C.60sin20° D.60cos20° 【变式2】24-25九年级上山东泰安期中)在4BC中，4BC=90,若4C=100:cosC= =5,则AB 的长是一 【变式3】(226九年级上山东日照期末)如图。A1BC中，mC=手 =3,D是边BC上一点，将a4CD 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿AD翻折得到△AED,使线段AE、BC相交于点F,若CF=I0,EF=4,则AC- 题型05特殊三角形的三角函数 【典例1】(26-27九年级上·重庆沙坪坝开学考试)cos60°的值等于() A. 2 B.2 C,② 2 D.2 【变式1】(26-27九年级全国暑假作业)计算：sin30°= ,tan45°= 【变式2】(23-24九年级上山西临汾阶段检测)已知∠4是能，且o4+309-号，那么amA- 【变式3】(26-27九年级上全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, AC=23,CD=3,求∠B的度数 B D 题型06 特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】(2026天津东丽·一模)2sin30°-tan45°的值等于() A.0 B.5-1 C.v3-2 2 D.1-2 【变式1】(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)V2sin30°-cos45°的值等于一 【变式2】(26-27九年级上全国课后作业)求下列各式的值： (1)2sin30°+3tan30°-tan45°； (2)sin245°+tan60°cos30°. 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26九年级上·山东威海·阶段检测)计算： ()sin245°+V3tan30°-4cos60°+（π-3.14）° (2②)cos245°+sin60°.tan30°-V1-tan60)2 题型07 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例1】(23-24九年级上山东青岛阶段检测)在△ABC中，∠A,∠C都是锐角，且 sinA=cos(90°-C)= 2,则。4BC的形状是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C,等边三角形 D.直角三角形 【变式1】(25-26九年级上山东枣庄阶段检测)在A4BC中，5anA-+(V2-2cosB=0,则 △ABC是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【变式2】(2526六年级上山东济南阶段脸)在64C中，节∠4”∠B都是板危，H血4= 2, tanB=L,则△ABC的形状是 【变式3】(2425九年级上·河南濮阳阶段检测)已知△ABC中，∠A与∠B满足 (1-tan 4)+cos B- =0 2 (1)试判断.△ABC的形状： (2)求(1+sinA)}-2-(3+tanB)°的值. 题型08解直角三角形的相关计算 【典例1】(25-26九年级上·四川南充阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为 D,则下列结论中正确的是() 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.sin B=BC AB B.cosB=AD AB C.tanC=4B AC D.tan B=4D AB 1 【变式1】(26-27九年级上~全国单元测试)己知在6MBC中，1B sin30°，BC=V2cos45°， AC=tan60°，则∠B的值为 【变式2】(2026四川乐山二模)如图，已知△ABC中∠C=90°，AC=BC=2,分别以B、C为圆心， 3为半径作弧，所作弧交于E、F,连接EF交BC于D.连接AD,则tan/BAD= D E 【变式3】(2627九年级上·全国课后作业)在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形. (角度精确到1”) (1)BC=9,AB=15: (2)∠A=60°，BC=5 题型09 仰角俯角问题 【典例1】(2026江苏镇江中考真题)如图，飞机的飞行高度BC为1500m,此时从飞机上看地面控制 点A的俯角为18°，飞机到控制点的距离AB为() 18°- 1500m 1500 A.1500sinl8°m B. sin1gom C.1500cos18°m D.1500 cos18om 【变式1】(2026辽宁铁岭~模拟预测)如图，某同学为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖 直放置在与教学楼水平距离BC为8.5m的地面上，若测角仪的高度CD是1.5m,测得教学楼的顶部A处的 仰角为53°，则教学楼AB的高度约是m.(结果精确到0.lm.参考数据：sin53°≈0.80， cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..5392 B 【变式2】(2026河北邢台模拟预测)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2， 顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角a=18°30'，竖直的立杆上C,D两点间 的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m.则顶棚的E处离地面的高度EF=m. (sinl830'≈0.32，tanl830'≈0.33，结果精确到0.1m) E 【变式3】(26-27九年级上·全国课后作业)如图，在建筑物AB上，挂着30m长的宜传条幅AE.从另一 建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A,仰角为45°；看条幅底端E,俯角为30°.求两建筑物间的距离BC. (结果精确到0.1m) B 题型10方位角问题 【典例1】(2026江苏常州·一模)如图，为了测量一条河流的宽度，测量工作人员在河岸边相距100米 的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在的北偏西70°方向，则河宽( PT的长)可以表示为() 10122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 河 100 100 A. 100tan70o米 B 、 tan70°米 C.100sin70米 D. sin70°米 【变式1】(2026江苏南通二模)如图，在某次表演中，机器人需要从A处移动到北偏东45°的C处，机 器人先向正东方向移动30m到达B处，再向北偏东30°方向移动到C处，则C处到AB的距离CD长为 () 459 30 A.30V5 B.60 C.15W5+15 D.15V3+45 【变式2】(2026黑龙江绥化模拟预测)如果B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上.海上 有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上.测得AB=40海里，则小岛A 与港口C之间的距离为， 海里.（结果可保留根号） 北 451 1609 【变式3】(26-27九年级上·全国课后作业)如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边 25m处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西60°的点A行驶到北偏西30°的点B,所用时间为1.5s,求该 车从点A到点B的平均速度. 北 B 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型11坡度坡比问题 【典例1】(2026河北沧州·三模)如图，一辆卡车沿坡角为“的斜坡向上行驶，当行驶1000米时，高度 上升了() a 1000 A. sina米 B.1000sina米 C.1000cosa米 D.1000tana米 【变式1】(25-26八年级下·浙江温州阶段检测)冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好 时机.如图是某河堤的横断面，堤高BC=10米，迎水坡AB的坡比是1：V3，则河提AB的长是()米 B C B.20 0 A.10N3 C.3 D.20W3 【变式2】(25-26九年级上·四川眉山阶段检测)如图，为方便行人过天桥，市政府在10米高的天桥两端 修建斜道，设计斜坡AC的坡度i=1:3,则斜坡AC的长度是 B E D 【变式4】(26-27九年级上·全国课后作业)如图，为了测量水库迎水坡的坡角∠CBF,把一根长为 4.5m的竹竿AC按如图所示的方式斜靠在坝旁.当AD的长为lm时，测得点D到地面的距离DE=0.6m, BC=2.8m,求水库迎水坡坡角的度数.（结果精确到1”） C D h B 12122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型12 三角函数综合 【典例1】(26-27九年级上北京西城开学考试)如图，矩形ABCD中，AB>AD,AB=a,AN平分 ∠DAB,DM⊥AW于点M,CN⊥AN于点N.则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）() 4 A.a B.5a D.2d 【变式1】(2026九年级上全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D. 给出下列四个结论：①sina=sinB;②sinB=sinC;③sin=cosC:④sina=cosB,其中正确的结论有 B D C 【变式2】(2026河南商丘·二模)某厂家新开发的一种电动汽车如图所示，它的大灯A射出的光线AB, AC与水平地面MN的夹角分别为8°和30°(A,B,C在同一平面内)，大灯A到地面的距离为0.5m, 则该车大灯照亮地面的宽度BC约是一m,(不考虑其他因素，结果保留一位小数，参考数据： sin8°≈7 tan8°≈ 0’ 7’V3≈1.732） MB 【变式3】(25-26九年级上陕西西安期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,若 cos B=25 ，4B=V5,BC=3,求∠C的度数及4C的长. 13122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(2026福建福州模拟预测)如图，在△ABC中，∠B=90°.若AB=3,AC=5,则cosA=() B 5 A.3 D.5 3 2.(26-27九年级上全国单元测试)在。4BC中，∠C=90°，AB=10, sinA= 5,则BC的长为() A.2V万 B.6 C.8 D.10 3.(26-27九年级上·全国单元测试)如图，已知点B,D,C在同一直线的水平地面上，在点C处测得 建筑物AB的顶端A的仰角为a,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为B,若CD=a,则建筑物AB 的高度为() B D C a a.tana.tanB a.tana.tanβ A. tan a-tanB B.tan邱-tana C.tana-tanB D.tanB-tana. 4.(26-27九年级上·全国单元测试)在△ABC中， ∠A, ∠B均为锐角， (tanB-3)(2sin4-3)=0, 则△ABC一定是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.有一个角是60°的三角 形 5.(2026浙江温州三模)如图，图1为《天工开物》记载春(chong)谷工具“碓dui”的结构简图，图2 为其平面示意图.操作时，碓杆AC绕支点C转动，使碓头点B抬高.已知AC⊥BD于点A,AC与水平 14122 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 线1的夹角为(a<90).若AB=6分米，AC=15分米，a=30°，则此时点B到水平线l的距离为 ( ) B 图1 图2 A.6分米 15-65 B.35分米 c.15-3V5 2分米 D, 2 分米 二、填空题 6.(26-27九年级上·全国单元测试)在△ABC中，∠A=90°，∠C=40°，AC=a,则AB等于 7.(2026九年级上全国专题练习)在AMBC中，5tamA-1+(V2-2cosB=0,则AMBC是 三 角形 8.(2026陕西一模)如图，在矩形ABCD中，AD=8,点E在AB边上，BE=3,点F在BC边上， FB=6,连接DE、EF,且EF平分∠BED,则AE的长为 D F 9.(25-26九年级上·湖南永州期末)如图，为了方便行人横穿马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已 知天桥的斜面坡度为：2，计算斜坡AB的长度一 B ■■■ 5m 10.(第二十六章解直角三角形高效同步练习26.1锐角三角函数第1课时正切)如图，将矩形ABCD 沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上，若AB=4,BC=8,则tan∠BFC'的值为 15122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D' D 三、解答题 11.(26-27九年级上·全国课后作业)求下列各式的值： (1)2cos60°+3tan30°； (2)sin60°+tan60°cos30° (3)sin30°+cos260°-√3tan30° 12.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=34°，AC=6.解这个直 角三角形.（结果精确到0.001） B 13.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D,∠A=60°， CD=5,求AB和BC的长， D B 14.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，有一段水库拦水坝，坝高6m,坝长50m,4D‖BC.沿水 库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2m,坡度由原来的l:2变成1：2.5. 125. 2m D 1:2 E B (1)求加宽部分横断面的面积， (2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 15.(26-27九年级上全国课后作业)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，D为△ABC外一点， 16122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 连接AD,BD,过点D作DH⊥AB,垂足为H,交AC于点E.已知AD=BD=2 D C (1)若△ABD是等边三角形，求DE的长. 2法mHD8-求pe的K。 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下山东济南期末)已知sina>2,那么锐角a的取值范围是（） A.30°<a<90° B.0°<<30° C.45°<u<90° D.0°<a<60° 2.(2026吉林长春·中考真题)如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度 AB=34cm.己知篮球的直径EF与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是49°，则该篮球的直径可表示为 49B A 34cm A.34sin49°cm B.34cos49°cm 34 34 C. sin496 cm D.cos49cm 3.(2026广东东莞·模拟预测)如图1，四边形ABCD为学校操场观赛台的横截面，此刻阳光BE射入观 赛区内，已知BC=3米，太阳光BE与地平面DC的夹角∠BEC为60°，若学校计划安装一个直角形太阳 棚，如图2，BF为太阳棚横截面，BF川DC,为了能完全遮挡太阳光射入观赛区，则太阳棚BF的长度至 少为() 17/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B F DE C 图1 图2 A.3米 B.V3米 C.33米 D.1.5米 4.(25-26九年级下陕西宝鸡期中)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=5,AC=12,CD1AB, 则cos∠ACD的值为() B C 5 A.12 B号 .7 C.13 D.13 5.(2026:上海杨浦二模)在R1aABC中，∠C=90°，BD为△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折 叠，点C落在点M处，若AB=5,AC=4,则sin∠ADM的值为(). B.5 12 C.13 D.13 二、填空题 6.(26-27九年级上全国单元测试)3tan30°的值等于」 7.(2026四川眉山模拟预测)眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志 性雕塑.如图，某校学生测量其高度AB(含底座)，先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为32°， 再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为45°.已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高 度CD=EF=1.5米.则天下第一菹坛的高AB为 (参考数据： sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，结果保留整数) 18122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 8.(22-23九年级下江苏苏州开学考试)西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节 气的仪器，称为圭表.如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为8尺.已 知，此地冬至时的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的 长)约为尺.（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1尺） 4日光 北甲华 牙南（午 冬至线立春春分立夏夏至线 立冬秋分立秋 9.(26-27九年级上全国课后作业)填空： (1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=5.tanA= (2)如图，P是∠a的边OA上一点，且点P的坐标为(3,4).sina= A 人0 (3)如图为某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC=l50°，BC的长为8m.乘电梯从点B到点C上升的高度h为 m. C 150° (4)sin230°+cos230°= -;sin45°+cos45°= ;tan30°tan60°= tan60°sin30°= (5)某海域有相距10海里的两个小岛A和B,另有一小岛C,测量得∠BAC=60°，∠ABC=90°.A,C 两岛间的距离为 海里。 (6)如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向、距离灯塔40W2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处.海轮行驶的路程AB为 海里。（结果保留根 号) 19122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 459 东 30 B (7)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC.若AD=6,则CD= D C D _ E ∠ABC=150° .∠CBE=180°-150°=30°， :h=CE=BC.sin30°=8×)=4m 2 10.(2026浙江中考真题)如图，∠BAC=∠ABC=30°，AB=4√6，D、E分别是AB、AC的中点， P、O分别为BC、DE上任意点，当BD关于QP对称的线段B'D'垂直BC时，QP= D D B B 三、解答题 11.(26-27九年级上全国课后作业)如图，一座底面是正方形的金字塔，它的底面边长约为230m,经 过千百年的风化侵蚀，金字塔的底部基本没有受损，但顶端已剥落，其残存的每一个面与地面均构成52° 的角（倾斜角），这个金字塔原来的高是多少米？（结果精确到1m) 20122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52 230m 12.(26-27九年级上全国课后作业)求下列各式的值： (1)2cos45°+sin30°cos60°+V3cos30°， (2)sin30°sin45°+cos30°cos45°； (3)tan260°+sin245°+cos245°： c0s60° (④an45°+sin60 13.(24-25九年级下·山东聊城阶段检测)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学 安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管 AB=24cm' BE=,AB,试管倾斜角a为10°： 高锰酸钾 蓬松的棉花团 E B F (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.lcm); (②)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM交CW的延长线于点F,且MN⊥CF(点C,D,N,F 在一条直线上)，经测得：DE=28.36cm,MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN的长度（结果精确到 1cm).(参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tanl0°≈0.18) 14.(2026江苏常州·中考真题)如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，DE=2CE,连接AC,AE 将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D,B,C分别是点A,B,C的对应点. D 21122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)点C在线段 上.（填“AC”AE”或“AD”) (2)若AD=4,求AC的长 (3)若点B'在边AD上，求tan∠BAC的值 15.(26-27九年级上·重庆沙坪坝开学考试)如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图， M,N为半径均为10cm的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆BM与地面所成的角为45°，主支架杆BC与BM 所成的角度为90°，推手支架AD的支点D恰好为BC的中点.己知BM=BC=48cm.(参考数据： √2≈1.41，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.) A D B M 77777777777777 图1 图2 (①)求主支架杆C点距地面的高度；（结果精确到0.1cm) (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在85~5cm,即握把A距地面的高度范围是85~5cm,若推手支 架AD的长为65cm，,∠ADB=80°，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由. 22122