专题2.2 锐角的正切（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦锐角正切核心知识点，系统讲解其定义（直角三角形中锐角对边与邻边的比）、30°45°60°特殊角正切值及应用，承接直角三角形边长关系，为后续正弦、余弦学习及解直角三角形搭建基础支架。 资料通过“即学即练+题型变式”分层设计，结合梯子倾斜度、平面镜光斑等情境题，培养学生几何直观的数学眼光，通过概念辨析题提升推理意识的数学思维，规范书写训练数学语言精确表达。课中助力教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺。

专题2.2 锐角的正切 教学目标 1. 1.结合直角三角形图形理解锐角正切的定义，分清锐角对边、邻边，牢记正切文字与符号表达式，能准确写出任意锐角的正切比值。 2. 2.掌握 30°、45°、60° 特殊锐角的正切值，会利用定义求解直角三角形中锐角的正切，完成简单数值计算。 3. 3.能借助正切解决基础直角三角形边角求值问题，感受边角对应关系，建立数形结合思维，提升识图与几何计算能力。 教学重难点 4. 1.重点 5. （1）掌握锐角正切概念，明确正切是锐角对边与邻边的比值，能在各类直角三角形中快速找准边角，规范书写 tanA 的关系式。 6. （2）熟记特殊角正切数值，熟练运用正切定义进行边角互算，能根据直角三角形边长求锐角正切，夯实基础计算技能。 7. 8. 2.难点 9. （1）理解正切值仅由锐角大小决定，与直角三角形边长大小无关，初步体会三角函数的函数对应关系，突破抽象比值认知。 10. （2）解题时精准区分锐角的对边和邻边，避免和正弦、余弦边角关系混淆，能在图形变换后准确选取线段计算正切。 知识点01 正切 在Rt△ABC中，∠C=90° 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 【即学即练】1．如图，在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求角的正切值，直角三角形中，一个锐角的正切值等于该锐角所对的直角边的长与另外一条直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 2．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 3．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 知识点02 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 【即学即练】4．等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，根据题意得到等腰直角三角形一个锐角的余弦值为，计算求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，两锐角相等，且等于， 等腰直角三角形一个锐角的余弦值． 故选：A． 5．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，，相交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和逆定理，等腰直角三角形的性质和判定，余弦的定义，取格点，连接、，由得到，证明是等腰直角三角形，且，根据余弦的定义即可得解． 【详解】解：取格点，连接、，如图， 由图可知：在正方形网格中，， ， 小正方形的边长为1， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且 ∴ ∴． 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 正切的概念辨析 【典例1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义对边与边的关系进行转化是解题的关键． 根据每个三角函数的定义，将选项中的等式与定义变形后的式子对比即可判断． 【详解】解：在中，，对边分别为、、， ∵， ∴，故A正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故B错误，该选项符合题意； ∵， ∴，故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故D正确，该选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 【变式3】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 题型02 求角的正切值 【典例1】（2026·广西南宁·二模）如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 是直角三角形，且， 在中，． 【变式1】（2026·广东肇庆·三模）如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形边长为，则，根据中点的定义得出，利用勾股定理求出，可得，根据正方形的性质得出，可得，进而证明，根据相似三角形的性质求出，，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】解：设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 【变式2】（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 【变式3】（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出的长，再结合的面积得出的长，进而得出的长，最后将转化为即可解决问题． 【详解】解：、分别是边，的中点， 是的中位线， ，． 又，， ，， 垂直平分， ， ． 的面积是， ， 则， ． 在中， ， ∴． 故答案为：． 题型03 已知正切值求边长 【典例1】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，点C是线段的中点，，若则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，过点D作，交的延长线于点M，根据正切和勾股定理计算即可． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点M， ∵点C是线段的中点， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选D． 【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切、余弦值，由，设，则，通过定理求得，然后利用即可求解，解题的关键在于求出三边的数量关系． 【详解】解：在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·阶段检测）在中，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角函数、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算．先根据解直角三角形求得，设，，利用勾股定理计算得，再根据三角函数的性质计算即可完成求解． 【详解】中，，即， 设，，其中， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型04 特殊三角形的三角函数 【典例1】（25-26九年级上·广西北海·期末）计算等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值直接计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·四川成都·阶段检测）在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴．                                 ∵， ∴，                        ∴． 故选B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）若α为锐角，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵α为锐角，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·重庆·开学考试）______． 【答案】/ 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整指数幂．根据特殊角的三角函数值，负整指数幂进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例1】（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， ∵，且是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【变式3】（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段检测）在中，若，则是________． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 题型06 根据特殊角的三角函数值求角的度数 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知α是锐角，，则α等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见的特殊角的三角函数值是解题的关键． 由且α是锐角，再根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ，且α是锐角，， ∴ ． 故选A． 【变式1】（2025·安徽亳州·一模）我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，新定义，根据，得到，进而得到，再根据新定义，代值计算即可． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 由题意，． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）在中，，则的大小是________． 【答案】 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数，根据，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）若，则是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握角的各种三角函数值． 直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 题型07 互余两角三角函数的关系 【典例1】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知锐角满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形． 根据构造直角三角形，进而计算即可． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·天津河东·三模）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，先求得，再根据勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 4．（2025·湖北襄阳·二模）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点． 设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长，      ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在 中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出，在上取点D，使得，得到，利用三角形外角的性质得到，证明是等腰直角三角形，设，求出，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：在上取点D，使得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 二、填空题 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）计算∶___________ 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据特殊角的三角函数值直接计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东青岛·期末）计算： ______． 【答案】/ 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 将各特殊角三角函数值代入计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 9．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）在中，为锐角， ，则的度数是_____． 【答案】/45度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）在中，若，、都是锐角，则是________三角形． 【答案】等边/正 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等边三角形， 故答案为：等边． 三、解答题 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 12．（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）由等腰三角形的判定定理得，由得，由勾股定理得，进而即可得解； （2）由勾股定理得出，再由三角函数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 又，， ， ； （2）解：，，， ， ． 13．（25-26八年级下·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，计算即可得出结果； （2）先计算特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画一个，使，且点、均在格点上． 【答案】(1)线段如图所示， (2)如图所示， 【分析】（1）结合勾股定理得出，构建一个直角边分别为1、3的直角三角形，使为斜边，据此即可画图； （2）作出，，且，则，据此即可画图． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 一、单选题 1．（2026·天津和平·三模）的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将特殊角的三角函数值，代入后按实数运算法则计算即可得到结果. 【详解】解：原式 . 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知中，，，，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，熟知锐角三角函数的定义是解答的关键．根据勾股定理求得，再根据锐角三角函数的定义逐一判断选项． 【详解】解：如图， ∵中，，，， ∴ ． 对于A：，错误，不符合题意； 对于B：，错误，不符合题意； 对于C：，错误，不符合题意； 对于D：，正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 4．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，求正切值；掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 由题意可知，，，由证即，设，则，，在中运用勾股定理解得，在中代入可求解． 【详解】解：由题意可知：，，，， ， ， ， ， 设， 则，， 在中， ， ， 解得：， 在中，； 故答案为：C． 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，取格点K，连接，，则， 观察图形可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，则下列结论正确的是（   ）\ A． B．长为 C．的面积为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ∴在中，，故D正确，符合题意； 无法证明，故A错误； 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在中，，若，则_____． 【答案】30 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活运用特殊角的三角函数值求角度是解题的关键． 由，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为30． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为锐角，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了互为余角的三角函数关系，解题的关键是熟练掌握一个锐角的正弦等于它余角的正弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦. 根据互为余角的三角函数关系，将转化为将转化为再代入已知数值求解. 【详解】解：． 又，． 故答案为： 10．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，在中，，，．求的周长和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 先根据锐角三角函数的定义求，再利用勾股定理求，最后根据周长公式和正切的定义求出答案即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 的周长为， ． 12．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值的计算； （2）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，化简计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角的正切进行了一些研究． (1)尝试：由于_____，_____，发现结论：______；（填“=”或“≠”） (2)实践探究：如下图，在中，，，，求的值； 以下是小明的想法：我应该构造包含的直角三角形：延长CA至点D，使得，连接BD，所以，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解． (3)利用上面的方法，计算． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题围绕互为倍数的锐角正切值展开，需运用特殊角三角函数值、勾股定理及几何构造法解决三小问： （1）通过特殊角和的正切值计算，比较与的关系； （2）构造含的直角三角形，利用等腰三角形性质和勾股定理求； （3）将转化为的半角，借鉴（2）的构造方法计算． 【详解】（1），． 令，则． ， ． ， 故． （2） 在中，，，， 由勾股定理得：． 延长至点，使， 则． ， 为等腰三角形，． 是的外角， 故， 即． 在中， ． ． （3） ，参考（2）的构造方法： 在中，，， 设，则， 由勾股定理得． 延长至点，使， 则． 同理，，故为等腰三角形，， 且， 即． 在中，． ． 【点睛】本题通过特殊角验证、几何构造（等腰三角形）和勾股定理，解决了互为倍数的锐角正切值问题．第（1）问通过特殊角对比否定等式；第（2）问构造半角对应的等腰三角形，转化为直角三角形正切计算；第（3）问将转化为的半角，复用（2）的方法求解．核心思想是“化归”，即将未知角的正切转化为已知直角三角形的边长比． 15．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)BM的长度为36.7米 【分析】（1）设 ，根据 与边的关系设出 ，再设 ，在 中利用勾股定理求出 关于 的表达式，最后根据正切函数的定义求出 的值． （2）利用矩形对边相等的性质得到 ，再根据 中 与边的关系求出 的长度． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线EF，连结，如图示：    ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 由题意得：，． 设，则．设， 在中，由勾股定理得：， 解得：． ∴． （2）解：∵的坡度为， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：BM的长度为36.7米． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坡度的概念以及三角函数的应用．解题的关键在于通过作辅助线构造等腰三角形，利用相关性质和定理建立边与角的关系，再结合已知条件逐步求解． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2锐角的正切 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01正切 2.知识清单 知识点02特殊角的三角函数值 题型01正切的概念辨析 题型02求角的正切值 锐角的正切 题型03已知正切值求边长 题型04特殊三角形的三角函数 3.题型精讲 题型05由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型06根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型07互余两角三角函数的关系 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.1.结合直角三角形图形理解锐角正切的定义，分清锐角对边、邻边，牢记正切文字与 符号表达式，能准确写出任意锐角的正切比值。 教学目标2. 2.掌握30°、45°、60°特殊锐角的正切值，会利用定义求解直角三角形中锐角的正 切，完成简单数值计算。 3. 3能借助正切解决基础直角三角形边角求值问题，感受边角对应关系，建立数形结合 思维，提升识图与几何计算能力。 4.1.重点 5. (1)掌握锐角正切概念，明确正切是锐角对边与邻边的比值，能在各类直角三角形 中快速找准边角，规范书写tanA的关系式。 教学重难点 (2)熟记特殊角正切数值，熟练运用正切定义进行边角互算，能根据直角三角形边 长求锐角正切，夯实基础计算技能。 7 8.2.难点 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 9 (1)理解正切值仅由锐角大小决定，与直角三角形边长大小无关，初步体会三角函 数的函数对应关系，突破抽象比值认知。 10(2)解题时精准区分锐角的对边和邻边，避免和正弦、余弦边角关系混淆，能在图 形变换后准确选取线段计算正切。 知识清单 知识点01正切 在Rt△ABC中，∠C=909 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA. amA=对边-9 邻边一b C 斜边 a对边 A 口c b邻边 【即学即练】1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，若BC=5,AB=4,则tanA的值为() A.4 B D. 2.如图，点A(2,)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为a,tana=2,则t的值为() A.1 B.2 C.4 D.V3 3.在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑.如图， 2/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠2：若an∠40D=3 ,OB=8,则BC=—· 墙 光斑 平面镜 D 桌子 知识点02特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sina 2 2 2 cosa 3 2 2 3 tan a 1 3 3 【即学即练】4.等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为() A B. 5 2 3 C. D.3 2 5.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，AB,CD相交于点E,则os∠AEC 的值为 B D 6.计算： (1)c0s45° 2tan30°sin60°+cos30°sin60, (②V1-tan60y-2sin45°+(cos45°y+,1 tan60°-V2· 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01」 正切的概念辨析 【典例1】(2425九年级下·湖北武汉阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b, AB=C,则下列选项正确的是() b A.sin A= B.tanB=b C.tanA=d a D.cosB=b a 【变式1】(25-26九年级上·上海·阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c,那么下列等式中错误的是() b A.C= sin A B.c=a-cosB C.a=- tan B D.b=a.cotA 【变式2】(2025九年级全国·专题练习)如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为∠α.关于∠ 的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是() 人0出 A.tana的值越大，梯子越缓 B.tana的值越小，梯子越陡 C.tana的值越大，梯子越陡 D.梯子的倾斜程度与∠α的正切值无关 【变式3】(23-24九年级上湖南娄底期末)在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、LB、∠C 的对边，下列各式成立的是() A.sin B=a B.cosB=b C.tanB= C 6 D.tanB=b a 题型02求角的正切值 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(2026广西南宁·二模)如图，若△ABC的三边长AB=3,BC=4,AC=5,则tanC的值为 () 4 A.3 c. 【变式1】(2026广东肇庆·三模)如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE,F是DE的中 点，连接CF,作CG⊥DE于点G,则tan∠GCF的值是() G E A B.⑤ D.6 4 es 65 【变式2】(2026上海中考真题)在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,则tanB的值为 【变式3】(2025·上海宝山一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果D、E分别是边AB,AC 的中点，BC=4,△ADE的面积是5，那么∠ACD的正切值是 B 题型03已知正切值求边长 【典例1】(23-24九年级上四川宜宾期末)如图，点C是线段AB的中点，∠A=30°，∠DCB=45°，若 AB=10,则BD的长是() D 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2V10 B.35 C.43 D.52 【变式1】(23-24九年级上·浙江宁波期末)如图，在Rt△4BC中，∠C=90, 若mA-方期cs4的 值为() B A.v10 B.310 10 10 c.3 D.0 5 【变式2】(2425九年级上重庆阶段检测)在R△MBC中，∠C=903an1=2,则5in4= 【变式3】(24-25九年级上陕西西安期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交 4C与点8，若am∠D1=号，BC-6,则Cg的长为 4 B D 题型04特殊三角形的三角函数 【典例1】(25-26九年级上：广西北海期末)计算sin30°等于() A. 3 B.1 D.2 【变式1】(22-23九年级上四川成都阶段检测)在△ABC中，∠C=90°，tanA=V5,那么cosB等于 () 3 A.5 B C. D.② 2 【变式2】(25：26九年级上江苏徐州阶段检测)若8为锐角，且0sa=5 ,则ana= 【变式3】(24-25九年级下·重庆开学考试)tan60°+ 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例1】(25-26九年级上四川遂宁·阶段检测)在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且 ∠B和∠C均为锐角，若c~cosB=b:cosC,则△ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【变式1】(25-26九年级上·山东枣庄阶段检测)在A4BC中，N3anA-1+(2-2c0sB=0,则 △ABC是三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 变式2】(25-26九年级上山东济南阶段检测)在MBC中，若'∠B都是锐角，且smAY 2 tanB=1,则△ABC的形状是 【安式】24九车级下甘时平孩诗段验0在4成C中，新m4-侣-… =0, 则AABC 是 题型06 根据特殊角的三角函数值求角的度数 【典例1】（25-26九年级上：江苏南通阶段检测)已知a是锐角，c0sa=5 ，则a等于() A.30° B.45° C.60° D.不能确定 a sina 1-cosa 【变式1】(2025安徽毫州一模)我们规定：若a是锐角，则an2= 已知 2 1+cosa sina sin28= 2，且2B为锐角，根据这个规定求amB的结果是() A.1-② 2-1 B 2 C.2+1 D.2-1 【变式2】(25-26九年级上山东东营阶段检测)在。4BC中，s血B=cosC=,则∠4的大小是 【变式3】(25-26九年级上山东聊城阶段检测)若2cosA-V+(anB-V5=0,则。4BC是 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形. 题型07互余两角三角函数的关系 【典例1】(2425九年级上：广西梧州期末)已知∠A,∠B都是锐角，且sinA=CosB,那么∠A与∠B之 间满足的关系是() A.∠A=∠BB.∠A+∠B=90° C.∠A-∠B=90° D.∠B-∠A=90° 【变式1】(25-26九年级上河南平顶山阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD1BC于点D, 则下列结论不正确的是() A.COsB=AB B.sinB=CD AD C.tanB=CD D D.cosC=CD C 【变式2】(2526九年级上湖南益阳期末)已知，如图，在R△HBC中，∠C=90,若m4 3,则 cos B= B 【变式3】(25-26九年级上·安徽宜城阶段检测)已知锐角满足sina=5 5,则cos(90°-a)= 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026天津河东三模)V3tan30°-sin30°的值等于() 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.0 B. C.1 2 D.33 2 2.(24-25九年级上陕西宝鸡期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，若 BD=4,AD=2V5,则anLCAD的值为() A ■ B D C A.3 B.2 C.3 D.4 3.(2425九年级上河南商丘期末)若a是直角三角形的一个锐角，sina=V3cosa,则 sin'a-2sina.cosa=() cos2a A.3+25 B 1-25 2 C.3-25 D.5 4.(2025湖北襄阳·二模)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB 的值等于() B 图1 图2 A.2 B. 5 2 5 D. 5 22a M D C N 0 A H 图1 图2 5.(2025九年级下·全国专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=67.5°，则anB等于() 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.√2 B.V2+1 c D.√2-1 6.(25-26八年级下山东济南期末)如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A,B,C都在格点上， 则tan∠BAC=() B A c:6 D. 25 5 5 二、填空题 7.(25-26九年级上：河南周口·期末)计算：2sin60°-tan45°= 8.(25-26九年级上山东青岛期末)计算：4cos30°+2sin30°-2tan45°= 9.25.26九年级上湖南衡阳期中)在4C中，为锐角，snAV2 2,则4的度数是 10,245无年级下广东们头阶要检)在。1BC中，云o4一引5-时=0，∠公∠B都是铁 角，则△ABC是 三角形. 三、解答题 11.(25-26八年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12,∠ABC的平分线交AC 于点D,BD=8V5,求AC 12.(24-25九年级下·浙江温州阶段检测)如图，在△ABC中，AD⊥BC,∠B=∠BAE,AE=5, CD=3,tan∠C=1. 10116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求BD的长. (2)求sin∠B的值. 13.(25-26八年级下·山东济南期末)计算： (1)tan30°cos30°-sin260°， ②6w-5-2-314-( 14.(2026吉林长春模拟预测)图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格 点，小正方形的边长均为1，点A在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图. 图① 图② (I)在图①中，画出线段AB,使AB=V10,且点B在格点上： (②)在图②中，画一个△ACD,使an∠CAD=3,且点C、D均在格点上. 能力提升 一、单选题 1.(2026天津和平·三模)√3sin60°-tan45°的值等于() A.0 B.2 c. D.3-1 2.(25-26九年级上上海期中)已知△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=4,那么下列说法正确的是 () Am4号 B.cmd c.eo8-号 D.cosB- 3 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 目(25-26年级上江苏南通阶段检测)如阁C中，ccB:2 nC4C=5,则Auac的面 5 是() B B.12 C.14 D.21 4.(2425九年级下·黑龙江绥化期中)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,沿过 点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC 的交点为E,则tan∠DEA=() B 25 7 A.24 B.24 c. D. 5.(2024九年级上山东青岛·专题练习)在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、 D都在格点上，AB与CD相交于点E,则∠AED的正切值是() B D A.2 B c D. 5 6.(25-26九年级上辽宁沈阳期末)如图，∠MN=60°，以0为圆心，2为半径画弧，分别交OM, ON于点A,B,再分别以A,B为圆心，V6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C,作射线OC, 连接AC,BC,则下列结论正确的是()1 12116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B N A,∠ACB=45 B.0C长为25 C △A0C的面积为5 D.tan∠Bco=V5 M D 由题意得： B N OA=OB=2 AC=BC=6 ∴.OC垂直平分AB, 1 :.OC⊥AB,BD=5AB, .∠MON=60°， ∴.△AOB是等边三角形， .'AB=OA=2. ∴.BD=1, .CD=BC2-BD2=5,OD=OB2-BD2=3, :OC=CD+OD=V5+5,故B错误，不符合题意； 5m=0cx40=*(5+)1=5, 2 ,故C错误，不符合题意； 六在R BCD中，an∠BC0=tan∠BCD=D-=5 CD5=5,故D正确，符合题意： 无法证明∠ACB=45°，故A错误； 故选：D, 二、填空题 7.(25-26八年级上江苏准安期中)如图，△ABC三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则 tan A=. 13116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8.(25-26九年级上山东青岛阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，若2AC=V3AB,则∠A=。. 256九年级上全国课后作业已知aA为锐角。且s加90°-Q)加2无 ,c0s(90°-B= cosa 0(25-26九年级上山东日照期末)如图，MC中，amC-4 =3,D是边BC上一点，将。ACD沿4D翻 折得到△AED,使线段AE、BC相交于点F,若CF=10,EF=4,则AC=一· A B E 三、解答题 025九年级全国专题练习)如图所示，在RtA4BC中，∠C=90°，血15’AB=15· 的周长和tanA的值. B C 12.(25-26九年级上·河北沧州阶段检测)如图.在△ABC中，AD⊥BC于点D,若 AD=4,BC=6,tan C=2 D 14116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)求CD的长： (2)求cosB的值. 13.(25-26九年级上江苏无锡期末)计算： (1)2cos245°-sin60°cos30°-tan45° (2)(3-π)°+4cos45°-V⑧ 14.(24-25九年级上·北京海淀·期中)在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角 的正切进行了一些研究. ()尝试：由于an60°=一，tan30°=一，发现结论：tan2A2tanA;(填“=”或“≠”) (②实践探究：如下图，在R△ABC中，∠C=90,AC=2:BC=1求an24的值： 2 以下是小明的想法：我应该构造包含2∠A的直角三角形：延长CA至点D,使得DM=AB,连接BD,所 以D)A,即转化为求D的正切值.请按小明的思路求解an)之A 2 (3)利用上面的方法，计算tanl5° 15.(2025·山东临沂·二模)【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出tanl5°的值. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则 BD=AD,∠ADC=30°.设AC=k,则AD=BD=2k,DC=V3k」 k 2-5 tan B=tan 15=- 2k+3k(2+5(2-5) =2-V3 D 图1 图2 【拓展应用】 如图2，矩形ABCD为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点M处用地面测角仪（忽略其高度，下 同)测得顶点C的仰角a为18.4°，由于某个原因，BM的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点N处 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 测得ND的坡度为V6:1,同时测得AW的长度为5米. (I)请模仿小明的方法，求出tan2a的值； ②求出BM的长度.（结果精确到0,1·参考数锯：sin18,4P, 25,cos18,4°≈ 25,tan18.4 3' √6≈2.449). 16116