专题01 解直角三角形应用的四类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形应用，按仰角俯角、方位角、坡度坡比、实物图四类题型系统编排，以题载知，强化实际情境中直角三角形模型构建与三角函数应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |仰角俯角问题|6题（含深圳阶段检测、武汉中考真题等）|涉及视线与水平线夹角，含双仰角/俯角测量|从实际测量抽象直角三角形，利用三角函数列方程求解高度/距离| |方位角问题|6题（含烟台期末、新疆中考真题等）|以方向角描述位置关系，含双观测点定位|通过方位角确定角度，结合直角三角形边角关系求距离| |坡度坡比问题|6题（含玉林一模、湖北中考真题等）|涉及斜坡垂直高度与水平宽度比，含适老化改造等实际场景|利用坡度定义（坡比=垂直高度/水平宽度）构建直角三角形模型| |实物图问题|6题（含吉林模拟、江西二模等）|将档案盒、折叠凳等实物抽象为几何图形|从实物结构中提取直角三角形要素，运用三角函数解决长度/高度问题|

专题01 解直角三角形应用的四类综合题型 题型一 仰角俯角问题 题型二 方位角问题 题型三 坡度坡比问题 题型四 实物图问题 题型一：仰角俯角问题 1．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）如图，某校学生开展综合实践活动，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米， ， 在中， 在中， ， ， 解得（米）． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 4．（2026·湖南长沙·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 5．（2026·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【答案】引滦入津工程纪念碑的高度约为． 【分析】分别在中，得出，在中，得出，再根据，列式求出，过点C作，垂足为H，在中，利用，求出，再利用四边形是矩形，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 6．（2026九年级·吉林·专题练习）某校数学“综合与实践”小组的同学把测量学校礼堂的高度作为一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并制作了如下不完整的测量报告． 课题 测量学校礼堂的高度 方案一 方案二 测量工具 标杆、平面镜、测角仪、皮尺 测角仪、皮尺 测量方案示意图 测量过程 在地面上水平放置一个平面镜E（点B，E，D在同一水平线上），使得在标杆的点F处通过平面镜E恰好观测到礼堂顶部A，在点F处测得礼堂顶部A的仰角为．测量及的长 数据记录 ，米，米 结果 __________ __________ (1)请你根据方案一的测量过程及数据计算礼堂的高度（结果精确到0.1米．参考数据：，，）； (2)请你根据上表中方案二的示意图补全其测量过程； (3)该小组的小方同学根据方案二计算得到礼堂的高度约为9.6米，请你写出该结果与方案一测得的结果相差多少，并为该小组提供一条能使测量结果更准确的建议． 【答案】(1)礼堂的高度约为10.2米 (2)方案二测量过程：在标杆的点F处测得礼堂顶部A的仰角为，底部B的俯角为．测量的长 (3)与方案一的结果相差0.6米．建议：使用同一种方案测量3次以上，取平均值 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握解直角三角形． （1）过点F作于点H，结合光的反射定律(入射角等于反射角)得出，利用同角的三角函数值相等，利用正切函数列方程求解； （2）考查对测量方案的理解，需根据示意图描述测量仰角、俯角及标杆高度的过程； （3）考查数据的比较分析及实验误差的处理方法(多次测量取平均值)． 【详解】（1）解：如答图，过点F作于点H， 则，四边形是矩形， 米，． 根据题意可知， ， ， ． 设米，则米， 米， 米． ， ， ， 解得， （米）． 答：礼堂的高度约为米． （2）解：方案二测量过程：在标杆的点F处测得礼堂顶部A的仰角为，底部B的俯角为．测量的长． （3）解：（米） 与方案一的结果相差米． 建议：使用同一种方案测量次以上，取平均值． 题型二：方位角问题 7．（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 8．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是__________海里．（参考数据：，，） 【答案】140 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过作于，在中解直角三角形可得、，再在中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过作于， 在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， 海里， （海里）． 9．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【答案】海里/时 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 10．（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 12．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)最短距离约为海里 (2)渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． （2）解：略． 题型三：坡度坡比问题 13．（2026·广西玉林·一模）为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行．已知每级台阶高为，深为，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，交延长线于，可得出，，根据求出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵每级台阶高为，深为， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴，即 ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）河堤横截面如图所示，堤高为4米，迎水坡的坡比为，那么的长为__________米． 【答案】 【分析】本题考查了坡比，勾股定理． 根据坡比求出的值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵堤高为4米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 15．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）元旦节期间，小红一家到某旅游风景区登山．如图，他们从山底处出发，先沿山坡步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度． ，，，在同一平面内，． (1)求小红一家沿山坡步行上升的垂直高度； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：；） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质． （1）过点作，垂足为点，根据求解即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形为矩形，得到，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， 在， ， ， 答：小红一家沿山坡步行上升的垂直高度为； （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ， 答：缆车的行驶路线的长约为． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图所示，在浙江磐安海拔米的白云山顶上，“浙江之心”摩天轮正缓缓转动．图为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角为，随后沿着坡度的斜坡行走了米到达地面点，接着沿水平方向向左行走约米，抵达摩天轮最低点的正下方点处．经测量，约为米． (1)求观景台到地面的高度． (2)求摩天轮的直径．（参考数据：，，，，结果精确到米．） 【答案】(1)观景台高度为米； (2)摩天轮直径为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题、坡度问题，矩形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （）过作于，则，由的坡比是，则，设，则，由勾股定理得，即，求出即可； （）过作于，于，则，则有四边形是矩形，所以，由，即，求得米，最后通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）解：过作于，则， ∵的坡比是， ∴， 设，则， 由勾股定理得，得， 解得， ∴（米）， 答：观景台高度为米； （2）解：过作于，于，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， 所以， 所以（米）， 答：所以摩天轮直径为米． 18．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型四：实物图问题 19．（2026·吉林四平·模拟预测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 【答案】档案盒的厚度为5 【分析】因为已知长度和的度数，所以可以利用三角函数求出直角三角形中的边长．明确的长度构成，等于的长加上10个档案盒的总厚度，所以可求出10个档案盒的厚度，进而得到单个档案盒的厚度． 【详解】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 20．（2026·吉林松原·模拟预测）实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图．立柱，且立柱垂直水平桌面，C为摄像头，可绕点B旋转，当与水平桌面平行时，投影线，摄像头的广角，求拍摄区域的宽度（参考数据：，，）． 【答案】拍摄区域的宽度约为 【分析】作于点F，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ． 答：拍摄区域的宽度约为． 21．（2026·广东东莞·模拟预测）折叠凳是一种常见的便携式坐具，其支撑结构利用几何原理保持稳定．图1展示了一种折叠凳的实物图，图2是其结构示意图．已知，，，为凳面，处连接凳子靠背，凳脚为点和点，且．请求出靠背连接处点距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得，继而得到，，进一步得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴靠背连接处点距地面的高度为． 22．（2023·江苏徐州·模拟预测）市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，骑行比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作的垂线，构造含的直角三角形，因为已知、长度和的度数，所以可利用三角函数求出到的垂直距离；因为与地面平行，且车轮半径已知，所以到地面的距离等于车轮半径，将到的距离加上到地面的距离，即可得到到地面的距离； （2）先根据腿长计算出舒适状态下到的垂直距离，再利用三角函数求出的长度，结合原有的长度作差，即可得到的长度． 【详解】（1）过点作于点， ∵，， ∴， ∵、平行于地面，且点到地面的距离等于车轮半径， ∴在中，， ∵， ∴， ∴到地面的距离为：； （2）由题意，舒适高度到的距离为： 设调整后， ∴在中，， ∴， 且， ． 23．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)背垫旋转的度数为 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【详解】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 24．（2025九年级·江西·专题练习）展示台又称实物展示台．把它连接在投影机和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来，是多媒体教室不可或缺的教学设备之一．一台普通的视频展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图（1）是一个实物展示台，图（2）、图（3）是其侧面抽象示意图．立柱 且立柱垂直水平桌面．C为摄像头，可绕点B旋转，且． (1)当与水平桌面平行时，如图（2），投影宽度，投影线，求摄像头的广角的度数； (2)在（1）的条件下，将 绕点B旋转，使得，如图（3），旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，求此时的投影宽度的长．（结果保留一位小数）（参考数据：， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过作辅助线构造矩形和等腰三角形，利用三角函数求出角度； （2）同样通过作辅助线构造矩形，利用三角函数求出线段长度，进而得到投影宽度. 【详解】（1）解：如图（1），过点C作于点F，则易知四边形是矩形， ∴． ∵， ，                                       ∴， ∴． 答：摄像头的广角 的度数约为． （2）解：如图（2），过点 C作 于点 P，过点 B作 于点 Q，则易知四边形是矩形， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ 在 中，，， ∴ ．    ∵， ∴， ∴ ， ∴在中，； 在 中，， ∴． 即此时的投影宽度的长约为． 【点睛】本题主要运用矩形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”的性质、三角函数的应用，添加辅助线构造矩形和直角三角形是关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01解直角三角形应用的四类综合题型 题型归纳 题型一仰角俯角问题 题型二方位角问题 题型三坡度坡比问题 题型四实物图问题 题型专练 题型一：仰角俯角问题 1.(25-26九年级下广东深圳阶段检测)如图，某校学生开展综合实践活动，要测量一建筑物CD的高度， 在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼 房楼顶A处测得C处的仰角为30°.(AB,CD在同一平面内，B,D在同一水平面上)，则建筑物CD的 高为()米. 430 60° B A.20 B.15 C.12 D.10+5√3 2.(2026湖北武汉·中考真题)如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一 次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度.具体过程如下：如图2，将无人机上 升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5°，底端B的俯角为45°，则龟山电视 塔的高度约是 m(结果取整数，参考数据：sin50.5°≈0.772，cos50.5°≈0.636，tan50.5°≈1.213 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4849 50.5o 100m 地面 图1 图 3.(25-26九年级下·黑龙江大庆·期末)广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界 第四高塔.如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150m,状状在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大 厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高.（结果精确到lm,参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) D C 370 田 45° A B 4.(2026湖南长沙三模)觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点 之一·登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼 底·在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔AB的高度.如图，塔前有一座高为DE的 观景台，已知CD=20m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线上.在观景台C处测得塔顶部B 的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°， B D 1270 30 45o A (I)求DE的长： (2)求塔AB的高度（结果精确到1m,参考数据：tan27°≈0.5，V3≈1.73） 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026天津中考真题)综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图 ①) 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,B,C,D,E在同一平面内，AB⊥BC, BC∥DE,AB的延长线与水平线DE相交于点O.从地面C处沿步道CD(看作斜坡)前行，至平台 DE,CD=22m:在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角（∠ODA)为42°，斜坡CD的倾斜角（∠ODC)为 12°；在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角（∠OEA)为35°，DE=9m.根据该学习小组测得的数据，求 引滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数），参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sinl2°≈0.2. B D 图① 图② 6.(2026九年级·吉林·专题练习)某校数学“综合与实践”小组的同学把测量学校礼堂的高度作为一项课 题活动，他们制定了两种测量方案，并制作了如下不完整的测量报告. 课题 测量学校礼堂的高度 方案一 方案二 测量工具 标杆、平面镜、测角仪、皮尺 测角仪、皮尺 测量方案 示意图 DE 在地面上水平放置一个平面镜 E(点B,E,D在同一水平线 测量过程 上)，使得在标杆的点F处通 过平面镜E恰好观测到礼堂项 部A,在点F处测得礼堂顶部A 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的仰角为a.测量FD及DE的 长 a=54°，FD=1.8米， 数据记录 DE=0.9米 结果 AB= AB= (1)请你根据方案一的测量过程及数据计算礼堂的高度AB(结果精确到0.1米.参考数据：sin54°≈0.8， cos54°≈0.6，tan54°≈1.4)： (2)请你根据上表中方案二的示意图补全其测量过程； (3)该小组的小方同学根据方案二计算得到礼堂的高度约为9.6米，请你写出该结果与方案一测得的结果相 差多少，并为该小组提供一条能使测量结果更准确的建议. 题型二：方位角问题 7.(24-25九年级上山东烟台·期末)定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年 组织一次定向越野拉练活动.如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C,行进路线为 A→B→C→A,点B在点A的南偏东25°方向3V2km处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC=45°， 则检查点B和C之间的距离为() 北 80° 东 459 A.(3+5千米 B.(（3+35)千米 c.(6+6)千米 D.4.5千米 8.(24-25九年级上山东泰安·阶段检测)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海 里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A 处的距离是 海里.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45 9.(2026新疆·中考真题)如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送 货物.已知港口A位于港口B北偏西18.4°的方向上，港口C位于港口A北偏东53°的方向上， AB=100W0海里，AC=500海里，甲船航行速度为10海里时，乙船的航行速度大约是多少海里时，甲、 乙两船可以同时到达港口C(结果保留根号).（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33 sinl8.4°≈V10 cosl8.4≈3V0 10 -,tan184二≈> 北 个 西 →东 南 18.4 10.(25-26八年级下·重庆江津·期末)如图，四边形ABCD是某机器狗试验场边沿，其中B位于A正东方 向100√5米处，D位于B的正北方向，D位于A的北偏东30°方向，且位于C的西北方向，B位于C的西 南方向 北 西→东 南 309 45° B (1)求AD的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力.若机器狗从B到D用时少说明 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走B→A→D、B→C→D中哪条线路说明机器狗识别路径的能 力较强？请说明理由.（机器狗走两条线路的速度相同） 11.(25-26八年级下·山东济南期末)如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里， 在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南 偏东37°的方向上. 北 B 东 37 53 76° (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里1小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76° 的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间. 4 4 C参考数据：sin53°，cos53,tan53° 3,tan76°≈4） 12.(2026河南平顶山三模)综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动. 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 北 码头 东 己目灯塔 码头A在灯塔B北偏西22°方向 位置信息 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东51.5°方向的C处 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜里，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (I)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离， (②)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：sin38.5°≈0.62， 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40). 题型三：坡度坡比问题 13.(2026广西玉林·一模)为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台 阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行.已知每级台阶高为20cm,深为30cm,设台阶的起点为A,斜 坡的起始点为C,现设计斜坡的坡度i=1:5,则AC的长度是() 30 20 C mmi不M A.200cm B.210cm C.240cm D.300cm 14.(25-26九年级上·河南洛阳期末)河堤横截面如图所示，堤高BC为4米，迎水坡AB的坡比为1：3， 那么AB的长为 米 B 15.(2026湖北：中考真题)近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用 广泛.某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡.如图，坡角为∠A的斜坡AB长10m,铅直高度BC 长4.7m,∠C=90°.该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由. (参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57) B A 16.(25-26九年级上：江苏盐城期末)元旦节期间，小红一家到某旅游风景区登山.如图，他们从山底C 处出发，先沿山坡CD步行200m到达D处，再从D处坐缆车到达山顶A处.已知山坡CD的坡角a=20°， 缆车的行驶路线AD与水平面的夹角B=35°，这座山的高度AB=368m.A,B,C,D在同一平面内， AB⊥BC 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C (1)求小红一家沿山坡CD步行200m上升的垂直高度： (②)求缆车的行驶路线AD的长（结果取整数）.（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70y 17.(25-26九年级上浙江金华·期末)如图1所示，在浙江磐安海拔750米的白云山顶上，“浙江之心” 摩天轮正缓缓转动.图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径.小丽 打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为53°，随后 沿着坡度1=1：2.5的斜坡行走了29米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点 W的正下方点C处.经测量，NC约为0米。 M C B 图1 图2 (1)求观景台到地面的高度， (2)求摩天轮的直径MW.(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，V29≈5.4，结果精确到 1米.) 18.(2026贵州中考真题)项目课题：设计无障碍坡道。 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20，如图①是小红 坡面的铅直高度 所在学校的无障碍坡道 坡度= 坡面的水平宽度 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC=4.8米，坡角∠BAC=14°，为检测该坡道是否符合国家标准， 小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计. B B D 图① 图② 图③ 任务： 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由： (2)如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20米.小红设计了一个“回转坡道”的 方案示意图：在F处安装支柱DF=0.8米，在E处留EC=2米的通道，入口为点E,经过两个坡道ED与 DB再到达点B,且EF=16米.在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请 说明理由：如果不符合，请提出修改建议.（参考数据：tan14°≈0.25，sinl4°≈0.24，cos14°≈0.97） 题型四：实物图问题 19.(2026·吉林四平模拟预测)小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案 盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹 角∠DCB=37°，DF=71cm,档案盒长CD=35cm.帮助小字同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚 度（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）. B 20.(2026·吉林松原·模拟预测)实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展 示台包括三个部分：摄像头、光源和台面.图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图.立柱 AB=35cm,且立柱AB垂直水平桌面，C为摄像头，BC可绕点B旋转，当CB与水平桌面AD平行时，投 影线CE=CD,摄像头的广角∠DCE=34°，求拍摄区域的宽度DE(参考数据：sinl7°≈0.29， cos17°≈0.96，tanl7°≈0.31). D E A 图① 图② 21.(2026广东东莞模拟预测)折叠凳是一种常见的便携式坐具，其支撑结构利用几何原理保持稳定. 图1展示了一种折叠凳的实物图，图2是其结构示意图.己知AB=AC,∠ABC=65°，BC=43cm,EF 为凳面， 子靠背，登脚为点。和点C:且AD=。AB.请求出靠背连接处点n距 度.（结果精确到1cm,参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.43，tan65°≈2.14） 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 22.(2023江苏徐州模拟预测)市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共 享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面1平行，车轮半径为32Cm, ∠BCD=64°，BC=60cm,坐垫E与点B的距离BE为l5Cm. F 图① 图② (1)求坐垫E到地面的距离： (2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，骑行比较舒适.小明的腿长约为80Cm,现 将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E',求EE的长. (结果精确到0.1cm,参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05) 23.(2025·江西吉安·二模)某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题.图①是 “躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式.已知座面AB与支撑脚CD平行，座面 AB=50cm,座面高EF=40cm,背垫BG=60cm,∠ABG=100°.（结果精确到0.1cm) IG C D C -D R 图① 图② 图③ (I)求点G到支撑脚CD的垂直距离 (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为l06.5cm,求背垫BG旋转的度数. 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (参考数据：sin80°≈0.98，cos80≈0.17，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94). 24.(2025九年级：江西·专题练习)展示台又称实物展示台.把它连接在投影机和电视机上时，就可以将 资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来，是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的视频 展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面，图(1)是一个实物展示台，图(2)、图（③）是其侧面抽 象示意图.立柱AB=35cm且立柱AB垂直水平桌面.C为摄像头，BC可绕点B旋转，且CB=20cm. E E A 图(1) 图(2) 图(3) (①)当CB与水平桌面平行时，如图(2)，投影宽度ED=22cm,投影线CE=CD,求摄像头的广角∠ECD 的度数： (②)在(1)的条件下，将BC绕点B旋转，使得∠ABC=100°，如图(3)，旋转过程中摄像头的广角 ∠ECD及∠BCD的大小始终保持不变，求此时的投影宽度ED的长.（结果保留一位小数）（参考数据： tan7°≈0.12，sinl0°≈0.17，tanl0°≈0.18，sinl7°≈0.29，tanl7°≈0.3l,sin27°≈0.45，tan27°≈0.5l) 11/11 专题01 解直角三角形应用的四类综合题型 题型一 仰角俯角问题 题型二 方位角问题 题型三 坡度坡比问题 题型四 实物图问题 题型一：仰角俯角问题 1．B 【分析】设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米， ， 在中， 在中， ， ， 解得（米）． 2． 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 3．广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 4．(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 5．引滦入津工程纪念碑的高度约为． 【分析】分别在中，得出，在中，得出，再根据，列式求出，过点C作，垂足为H，在中，利用，求出，再利用四边形是矩形，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 6．(1)礼堂的高度约为10.2米 (2)方案二测量过程：在标杆的点F处测得礼堂顶部A的仰角为，底部B的俯角为．测量的长 (3)与方案一的结果相差0.6米．建议：使用同一种方案测量3次以上，取平均值 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握解直角三角形． （1）过点F作于点H，结合光的反射定律(入射角等于反射角)得出，利用同角的三角函数值相等，利用正切函数列方程求解； （2）考查对测量方案的理解，需根据示意图描述测量仰角、俯角及标杆高度的过程； （3）考查数据的比较分析及实验误差的处理方法(多次测量取平均值)． 【详解】（1）解：如答图，过点F作于点H， 则，四边形是矩形， 米，． 根据题意可知， ， ， ． 设米，则米， 米， 米． ， ， ， 解得， （米）． 答：礼堂的高度约为米． （2）解：方案二测量过程：在标杆的点F处测得礼堂顶部A的仰角为，底部B的俯角为．测量的长． （3）解：（米） 与方案一的结果相差米． 建议：使用同一种方案测量次以上，取平均值． 题型二：方位角问题 7．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 8．140 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过作于，在中解直角三角形可得、，再在中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过作于， 在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， 海里， （海里）． 9．海里/时 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 10．(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 11．(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 12．(1)最短距离约为海里 (2)渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． （2）解：略． 题型三：坡度坡比问题 13．C 【分析】过点作，交延长线于，可得出，，根据求出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵每级台阶高为，深为， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴，即 ∴， ∴． 14． 【分析】本题考查了坡比，勾股定理． 根据坡比求出的值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵堤高为4米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 15．一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 16．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质． （1）过点作，垂足为点，根据求解即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形为矩形，得到，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， 在， ， ， 答：小红一家沿山坡步行上升的垂直高度为； （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ， 答：缆车的行驶路线的长约为． 17．(1)观景台高度为米； (2)摩天轮直径为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题、坡度问题，矩形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （）过作于，则，由的坡比是，则，设，则，由勾股定理得，即，求出即可； （）过作于，于，则，则有四边形是矩形，所以，由，即，求得米，最后通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）解：过作于，则， ∵的坡比是， ∴， 设，则， 由勾股定理得，得， 解得， ∴（米）， 答：观景台高度为米； （2）解：过作于，于，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， 所以， 所以（米）， 答：所以摩天轮直径为米． 18．(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型四：实物图问题 19．档案盒的厚度为5 【分析】因为已知长度和的度数，所以可以利用三角函数求出直角三角形中的边长．明确的长度构成，等于的长加上10个档案盒的总厚度，所以可求出10个档案盒的厚度，进而得到单个档案盒的厚度． 【详解】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 20．拍摄区域的宽度约为 【分析】作于点F，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ． 答：拍摄区域的宽度约为． 21． 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得，继而得到，，进一步得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴靠背连接处点距地面的高度为． 22．(1) (2) 【分析】（1）过点作的垂线，构造含的直角三角形，因为已知、长度和的度数，所以可利用三角函数求出到的垂直距离；因为与地面平行，且车轮半径已知，所以到地面的距离等于车轮半径，将到的距离加上到地面的距离，即可得到到地面的距离； （2）先根据腿长计算出舒适状态下到的垂直距离，再利用三角函数求出的长度，结合原有的长度作差，即可得到的长度． 【详解】（1）过点作于点， ∵，， ∴， ∵、平行于地面，且点到地面的距离等于车轮半径， ∴在中，， ∵， ∴， ∴到地面的距离为：； （2）由题意，舒适高度到的距离为： 设调整后， ∴在中，， ∴， 且， ． 23．(1) (2)背垫旋转的度数为 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【详解】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 24．(1) (2) 【分析】（1）通过作辅助线构造矩形和等腰三角形，利用三角函数求出角度； （2）同样通过作辅助线构造矩形，利用三角函数求出线段长度，进而得到投影宽度. 【详解】（1）解：如图（1），过点C作于点F，则易知四边形是矩形， ∴． ∵， ，                                       ∴， ∴． 答：摄像头的广角 的度数约为． （2）解：如图（2），过点 C作 于点 P，过点 B作 于点 Q，则易知四边形是矩形， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ 在 中，，， ∴ ．    ∵， ∴， ∴ ， ∴在中，； 在 中，， ∴． 即此时的投影宽度的长约为． 【点睛】本题主要运用矩形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”的性质、三角函数的应用，添加辅助线构造矩形和直角三角形是关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $