10.5 分式方程课时作业2026-2027学年北京版数学八年级上册

北京版 · 八年级上册 · 第十章 分式 · 10.5 分式方程 课时作业 10.5　分式方程　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：________ 学习目标 ①了解分式方程的概念，能识别分式方程． ②掌握解分式方程的基本思路和步骤，理解增根产生的原因，会检验． ③会列分式方程解决简单的实际问题，体会方程的模型思想． 一、知识点梳理 知识点1　分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 要点提示：判断的关键是看分母中是否含有未知数．例如 是整式方程， 是分式方程， 是整式方程． 知识点2　解分式方程的一般步骤 （1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； （2）解整式方程； （3）检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则它是原分式方程的解；若最简公分母为0，则它不是原分式方程的解，原分式方程无解． 基本思路：分式方程 → 整式方程，即“化分式方程为整式方程”的转化思想． 知识点3　增根 在去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为0，因此可能产生使最简公分母为0的根，这种根叫做原分式方程的增根． 易错提醒：（1）去分母时，不含分母的项也要乘最简公分母，不能漏乘；（2）分子是多项式时，去分母后要加括号；（3）解分式方程必须检验． 知识点4　列分式方程解应用题 步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→双检验（既检验是否为分式方程的解，又检验是否符合实际意义）→作答． 常见等量关系：时间 = 路程 ÷ 速度；工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率；数量 = 总价 ÷ 单价． 二、典型例题 例1　下列方程中，哪些是分式方程？ ①；②；③；④；⑤． 解：分式方程有②④．①③⑤的分母中不含未知数，是整式方程． 例2　解方程：． 解：方程两边同乘 ，得 ． 解得 ． 检验：当 时，． 所以原分式方程的解为 ． 例3　解方程：． 解：方程两边同乘 ，得 ． 整理，得 ，即 ，解得 ． 检验：当 时，，所以 是增根，原分式方程无解． 点拨：“”这一项也要乘最简公分母，不能漏乘． 例4　若关于 的分式方程 有增根，求 的值． 解：方程两边同乘 ，得 ，即 ． 因为原方程有增根，所以最简公分母 ，即增根为 ． 所以 ，解得 ． 点拨：求含参数的分式方程中参数的值，先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求参数． 例5　如图，学校到博物馆的距离为15 km，一部分同学骑自行车先走，过了50 min后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的3倍，求骑车同学的速度． 图1 解：设骑车同学的速度为 km/h，则汽车的速度为 km/h． 根据题意，得 ． 方程两边同乘 ，得 ，解得 ． 检验：当 时，，所以 是原分式方程的解，且符合题意． 答：骑车同学的速度为12 km/h． 例6　某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需要30天．如图，甲队先做5天后，甲、乙两队合做10天完成了全部工程．乙队单独完成这项工程需要多少天？ 图2 解：设乙队单独完成需要 天． 根据题意，得 ，即 ． 方程两边同乘 ，得 ，解得 ． 检验： 是原分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独完成需要20天． 三、基础巩固 （一）选择题 1．下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（　　） A． B． C． D． 3．分式方程 的解是（　　） A． B． C． D．无解 4．分式方程 的解是（　　） A． B． C． D．无解 5．若分式方程 有增根，则 的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 6．甲做90个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等，已知甲每小时比乙少做6个．设甲每小时做 个零件，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．解分式方程必须检验，其原因是（　　） A．分式方程本身可能无解 B．去分母时两边同乘的整式可能为0 C．移项时可能出错 D．计算时可能出错 （二）填空题 8．分式方程 的解是 ________． 9．分式方程 的最简公分母是 ________，方程的解是 ________． 10．当 ________ 时，分式 与 的值相等． 11．若 是分式方程 的根，则 ________． 12．一艘轮船在静水中的速度为20 km/h，它顺流航行100 km与逆流航行60 km所用的时间相等，则水流速度为 ________ km/h． 13．分式方程 的解的情况是 ________． 四、解答题 14．解方程： （1）；（2）； （3）；（4）． 15．某文具店第一次用3000元购进一批文具，很快售完；第二次购进时，每件的进价是第一次的0.8倍，用3200元购进的数量比第一次多50件．求第一次每件文具的进价． 16．为改善生态环境，某区计划绿化3600 m²的荒地，实际每天绿化的面积是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务．原计划每天绿化多少平方米？ 五、能力提升 17．若关于 的分式方程 的解为正数，求 的取值范围． 18．若关于 的分式方程 无解，求 的值． 19．某学校购买甲、乙两种足球，已知甲种足球的单价比乙种足球的单价多20元，用2000元购买甲种足球的数量与用1600元购买乙种足球的数量相同． （1）求甲、乙两种足球的单价； （2）学校计划再购买甲、乙两种足球共50个，总费用不超过4600元，最多可购买多少个甲种足球？ 六、易错专练 20．小丽解方程 的过程如下： 解：方程两边同乘 ，得 ，解得 ．所以原方程的解为 ． 她的解法有哪些错误？请写出正确的解答过程． 21．解方程：． 22．若关于 的分式方程 的解是非负数，求 的取值范围． 七、拓展探究 23．阅读材料：关于 的方程 的解是 ，； 的解是 ，； 的解是 ，． （1）请猜想：关于 的方程 （）的解是什么？并验证你的结论； （2）直接写出方程 的解； （3）利用上述规律解关于 的方程：（）． 参考答案及解析 一、基础巩固 1．C　【解析】只有C的分母中含有未知数 ．B中 是常数． 2．B　【解析】方程两边同乘 ，得 ． 3．C　【解析】去分母得 ，解得 ，检验：． 4．D　【解析】去分母得 ，解得 ．检验： 时 ，是增根，原方程无解． 5．C　【解析】原方程化为 ，去分母得 ．增根为 ，代入得 ，． 6．A　【解析】甲每小时做 个，则乙每小时做 个，由时间相等得 ． 7．B　【解析】去分母时方程两边同乘的最简公分母可能为0，可能产生增根，所以必须检验． 8． 9．；　【解析】去分母得 ，解得 ，检验：． 10．　【解析】由 ，得 ，，经检验是原方程的解． 11．6　【解析】把 代入，得 ，解得 ． 12．5　【解析】设水流速度为 km/h，，解得 ，经检验符合题意． 13．无解　【解析】去分母得 ，解得 ；检验： 时 ， 是增根，原方程无解． 二、解答题 14．解：（1）方程两边同乘 ，得 ，解得 ． 检验：当 时，，所以原方程的解为 ． （2）方程两边同乘 ，得 ，解得 ． 检验：当 时，， 是增根，所以原方程无解． （3）方程两边同乘 ，得 ，即 ，解得 ． 检验：当 时，，所以原方程的解为 ． （4）方程两边同乘 ，得 ，即 ，解得 ． 检验：当 时，，所以原方程的解为 ． 15．解：设第一次每件文具的进价为 元，则第二次每件的进价为 元． 根据题意，得 ，即 ． 解得 ．经检验， 是原方程的解，且符合题意． 答：第一次每件文具的进价为20元． 16．解：设原计划每天绿化 m²，则实际每天绿化 m²． 根据题意，得 ，即 ． 解得 ．经检验， 是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化300 m²． 三、能力提升 17．解：方程两边同乘 ，得 ，解得 ． 因为方程的解为正数，所以 ，且 （ 会使分母为0）． 所以 且 ． 【易错点】容易漏掉“”这一条件． 18．解：方程两边同乘 ，得 ，解得 ． 因为原方程无解，所以 是增根，即 ，解得 ． 19．解：（1）设甲种足球的单价为 元，则乙种足球的单价为 元． 根据题意，得 ，解得 ． 经检验， 是原方程的解，且符合题意．． 答：甲种足球的单价为100元，乙种足球的单价为80元． （2）设购买 个甲种足球，则购买 个乙种足球． 根据题意，得 ，解得 ． 答：最多可购买30个甲种足球． 四、易错专练 20．解：错误有两处：①去分母时，“”这一项漏乘了 ；②没有检验．正确解答： 方程两边同乘 ，得 ，即 ，此式不成立，所以原分式方程无解． 21．解：原方程可化为 ． 方程两边同乘 ，得 ，解得 ． 检验：当 时，，所以 是增根，原方程无解． 22．解：方程两边同乘 ，得 ，即 ． 由题意，得 ，且 ，解得 且 ． 五、拓展探究 23．解：（1）猜想：方程的解是 ，． 验证：把 代入，左边 右边；把 代入，左边 右边． （2），． （3）方程两边同时减1，得 ． 由规律得 或 ，所以 ，． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $