10.5分式方程（解分式方程）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

10.5 分式方程（解分式方程） 题型一 分式方程的辨别 1．（21-22八年级上·北京昌平·期中）下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 解分式方程 1．（23-24八年级上·北京通州·期末）分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）方程的解为 ． 3．（24-25八年级上·四川南充·期末）当 时，分式与的值互为相反数． 4．（24-25八年级下·北京·开学考试）解方程：． 5．（24-25八年级上·北京·期中）解分式方程： (1) (2) 6．（24-25八年级上·北京房山·期中）解方程：． 题型三 解分式方程的错误步骤 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）下面是小柯同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以，原方程的解为．第五步． 任务： (1)小柯同学的求解过程从第_________步开始出现错误； (2)从解分式方程的步骤方面，请你对小柯同学提出两条建议：_________；_________； (3)请你写出完整的解上述分式方程的过程． 2．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程： 解：两边同乘得：① 去括号得：② 移项得：③ 解得：④ …… (1)以上解答有错误，最先开始错误的步骤是 ．（填序号） (2)请给出正确的解答过程． 3．（2024九年级·河北·学业考试）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 经检验，是原方程的解．第四步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 题型四 已知分式方程的解求参数 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知是关于的分式方程的解，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若为方程的解，则 ． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 题型一 已知分式方程有增根求参数 1．（2024八年级上·北京·专题练习）若关于x的方程有增根，则 ． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若分式方程有增根，则m＝ ． 3．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若分式方程有增根，则 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程有增根．求的值． 题型二 已知分式方程无解求参数 1．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）关于x的方程（a为常数）无解，则 ． 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的方程无解，则a的值为 ． 4．（22-23八年级下·河南平顶山·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求m的值． 5．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 题型三 根据分式方程解的情况求参数 1．（22-23八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 2．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 3．（23-24七年级上·山东东营·期中）若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 题型四 解分式方程的新定义问题 1．（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 2（23-24八年级上·广西桂林·期中）对a，b定义一种新运算M，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果，求实数x的值． 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 题型五 解分式方程的规律问题 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）观察下列各式： ， ， ， ， …… (1)请用含字母（为正整数）的等式表述上述式子的一般规律； (2)仿照以上方法解分式方程：． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 3．（2024八年级上·全国·专题练习）观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 1．（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 2．（22-23八年级上·贵州遵义·期末）阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差，今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：，． (1)由此可推测______；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）______； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）观察表格中的分式，如分式表示，根据表格信息完成下列问题． 分式 分子 分 母 (1)当时，先计算，再求其值． (2)若，求的值． 4．（24-25八年级上·山东东营·期中）请同学们观察下列解题过程，并回答提出的问题： 关于的分式方程的解是； 的解是； 的解是； (1)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (2)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (3)请你利用（2）的猜想，解关于的方程：． 5．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5 分式方程（解分式方程） 题型一 分式方程的辨别 1．（21-22八年级上·北京昌平·期中）下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中含未知数，故是分式方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； B、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； C、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； D、，分母不含有未知数，不是分式方程，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键，根据定义逐个分析判断即可． 【详解】①分母中含有未知数，是分式方程； ②，分母中不含有未知数，不是分式方程； ③关于的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ④关于的方程，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ⑤不是等式，且分母中是常数，不是分式方程， 综上所述：是分式方程的有1个， 故选：A． 题型二 解分式方程 1．（23-24八年级上·北京通州·期末）分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程去分母，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据解分式方程的方法即可得到答案． 【详解】解：两边同时乘以， 得， 故选C． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法，先方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得， 解得：， 检验，把代入， 所以是分式方程的解， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川南充·期末）当 时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 4．（24-25八年级下·北京·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 原方程的解是． 5．（24-25八年级上·北京·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键. （1）两边同乘以)将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根即可解答； （2）两边同乘以将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根得出答案． 【详解】（1）解：两边同乘以得 解得：， 检验：当时， 是原分式方程的解， （2）解：两边同乘以得： ， 解得：， 检验：当时，为方程的增根， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 6．（24-25八年级上·北京房山·期中）解方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴ 原方程无解． 题型三 解分式方程的错误步骤 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）下面是小柯同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以，原方程的解为．第五步． 任务： (1)小柯同学的求解过程从第_________步开始出现错误； (2)从解分式方程的步骤方面，请你对小柯同学提出两条建议：_________；_________； (3)请你写出完整的解上述分式方程的过程． 【答案】(1)一 (2)去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根 (3)见解析 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验的方法是解题的关键． （）根据去分母的方法即可判定； （）提出合理化建议即可； （）运用解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：小柯同学的求解过程从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：两条建议：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根； 故答案为：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， 系数化为1，得． 经检验，是原方程的解． 2．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程： 解：两边同乘得：① 去括号得：② 移项得：③ 解得：④ …… (1)以上解答有错误，最先开始错误的步骤是 ．（填序号） (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步㵵是解题的关键，注意不要丢了检验． （1）根据等式的性质判断即可； （2）根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：以上解答有错误，错误步骤的序号是①， 故答案为：①． （2）， 两边同乘得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 3．（2024九年级·河北·学业考试）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 经检验，是原方程的解．第四步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)第1题第一步， 第2题第二步 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键． （1）根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可． （2）按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：第1题第一步和分式加法计算， 第2题第二步和分式加法计算． （2）解：习题1： ． 习题2：解：， 方程两边同乘 ，得， 解得 ：． 经检验是原分式方程的解． 题型四 已知分式方程的解求参数 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知是关于的分式方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是理解分式方程的解．将分式方程的解代入分式方程中即可得解． 【详解】解：将代入分式方程中，得， 则， 解得． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程，先解，再将把代入，即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 关于的分式方程与的解相同， ∴将代入，得： ， 解得：， 故答案为：5． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若为方程的解，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分式方程的解、等式的基本性质等知识点，掌握分式方程的解是满足分式方程成立的未知数的值成为解题的关键． 根据分式方程的解为可得，即；然后根据等式的基本性质即可解答． 【详解】解：∵为方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为0． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）先解分式方程可得，再根据分式方程无解得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， 去分母，得， 整理，得， ∵原分式方程无解， ∴分式方程产生增根，增根为， ∴， ∴． 题型一 已知分式方程有增根求参数 1．（2024八年级上·北京·专题练习）若关于x的方程有增根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，理解分式方程的增根的含义是解本题的关键．把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边都乘，得． ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，． 故答案为：3． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若分式方程有增根，则m＝ ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，检验增根的方法是：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根．根据解分式方程的步骤，可得整式方程的解，根据分式方程无解，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解： 去分母得， 解得： ∵方程有增根， ∴ 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 即增根为5， 方程两边同乘得， 化简得， 将代入， ， 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程有增根．求的值． 【答案】3 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 整理得：， 原方程有增根， 最简公分母， 解得或， 当时，； 当时，，此时原方程为，，这个整式方程无解， 的值为3. 题型二 已知分式方程无解求参数 1．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，接着根据原方程无解得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）关于x的方程（a为常数）无解，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程去分母，可得，再根据方程无解，即可得到a的值． 【详解】解：分式方程去分母，可得， 即， ∵方程（a为常数）无解， ∴，即， ∴， 解得，， 故答案为：2． 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的方程无解，则a的值为 ． 【答案】2或或-3 【分析】先将原方程化为整式方程（a+3）x=1-3a，所以当原方程无解时，去分母时乘以（x+1）（x-1）为0，即x=1，或x=-1，代入（a+3）x=1-3a，即可求解． 【详解】解：由原方程得： 整理得：（a+3）x=1-3a 当a+3=0，即a=-3时，方程无解； 当a+3≠0，时，原方程有增根x=1，或x=-1 当x=1时，（a+3）×1=1-3a， 解得a= 当x=-1时，（a+3）×（-1）=1-3a， 解得a=2 所以当a=2，或a=，或a=-3时，原方程无解 故答案为：2或或-3． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 4．（22-23八年级下·河南平顶山·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】m的值为0或4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据题意分、和情况求解即可． 【详解】解：原方程可化为，即， ∵方程无解， ∴或或， 当即时，方程无解，即原分式方程无解， 当时，m无解， 当时，， 综上，m的值为0或4． 【点睛】本题考查解分式方程，熟知分式方程无解时的等价关系是解答的关键． 5．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 题型三 根据分式方程解的情况求参数 1．（22-23八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据分式有意义的条件，以及方程的解小于，列出不等式，进而即可求解． 【详解】解： 两边同时乘以，得 解得：， ∵分式方程的解小于， ∴，且 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 2．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 3．（23-24七年级上·山东东营·期中）若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围． 【详解】解：分式方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 方程有正数解， ， ， 解得， ，， ， ∴且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 题型四 解分式方程的新定义问题 1．（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 2（23-24八年级上·广西桂林·期中）对a，b定义一种新运算M，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果，求实数x的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本题的关键．根据新定义把转化为分式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：∵， ∴可化为， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是方程的解， ∴实数x的值是． 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)a的值为 【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键． （1）运用定义运算代入计算即可； （2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】（1）解：； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 题型五 解分式方程的规律问题 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）观察下列各式： ， ， ， ， …… (1)请用含字母（为正整数）的等式表述上述式子的一般规律； (2)仿照以上方法解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减，分式方程的知识，解题的关键是掌握分式的加减，解分式方程，根据题意，找到式子的一般规律，进行解答，即可． （1）观察上述式子，找到规律，进行解答，即可； （2）方程利用得出的规律变形，计算，即可． 【详解】（1）解：由上述式子得，． （2）解：由（1）得， ∴， ∴方程变形为， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，关键是根据算式的特点，把分式拆分成两个分式的差； （1）根据规律即可完成； （2）根据规律进行拆分，最后解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：． ∴ ． （2）解：∵，，…，， ∴ ． ∴． ∴或． 经检验，当时，；当时，． ∴是的解． 1．（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，， 故答案为：，． 2．（22-23八年级上·贵州遵义·期末）阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差，今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：，． (1)由此可推测______；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）______； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给式子，对照可得结果； （2）首先把分数裂项，然后进行抵消即可算出结果； （3）首先提取，再把分数裂项，然后进行抵消即可得到最简分式方程，解之即可． 本题考查了裂项法解规律计算的问题，涉及了解分式方程，掌握裂项法是解决本类问题的前提． 【详解】（1）根据已知条件可得：， 则一般规律为：； （2） ； （3）， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）观察表格中的分式，如分式表示，根据表格信息完成下列问题． 分式 分子 分 母 (1)当时，先计算，再求其值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解分式方程，掌握分式的性质，分式的化简求值，解分式方程的方法是解题的关键． （1）先确定，再根据分式的性质化简，代入计算即可； （2）先确定，再根据分式的性质化简，最后解分式方程即可． 【详解】（1）解：， ∴ ， 当时，原式； （2）解：， ∴ ， ∴， 去分母得，， 解得，， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 4．（24-25八年级上·山东东营·期中）请同学们观察下列解题过程，并回答提出的问题： 关于的分式方程的解是； 的解是； 的解是； (1)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (2)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (3)请你利用（2）的猜想，解关于的方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式方程的计算，理解材料含义，掌握分式方程求解的方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示方法进行猜想计算即可； （3）结合材料提示方法将关于的方程：变形得，则或，由此计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的分式方程的解是， ∴关于的方程的解是， 故答案为：； （2）解：根据上述计算可得，关于的方程的解是：， 故答案为：； （3）解：根据题意，将关于的方程：变形得， ∴或， 解得，． 5．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$