周周练6 章末检测——圆锥曲线-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

周周练6　章末检测——圆锥曲线 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2026·沙坪坝期中)抛物线y＝4x2的焦点坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，2) C．(0，) D．(，0) 解析：选C.根据y＝4x2，可得x2＝y，所以焦点坐标为(0，). 2．双曲线－x2＝1的一条渐近线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝3x D．y＝x 解析：选B.双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，且a2＝3，b2＝1，则a＝，b＝1，所以双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x. 3．已知椭圆C：＋＝1(a>2)的焦距为4，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.根据题意，可知椭圆C的焦点位于x轴上，c＝2，b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2，所以椭圆C的离心率为e＝＝. 4．(2026·绵阳月考)已知双曲线－＝1(a>0)的两个焦点为F1，F2，焦距为8，M是双曲线上一点，且|MF1|＝5，则|MF2|＝(　　) A．1或9 B．9 C．1 D．10 解析：选B.设焦距为2c，由题意得2c＝8，即c＝4，又c2＝a2＋b2＝a2＋12＝16，所以a2＝4，即a＝2，由双曲线定义可得||MF1|－|MF2||＝2a＝4，即|5－|MF2||＝4，解得|MF2|＝1或9，又|MF1|＋|MF2|≥|F1F2|，即5＋|MF2|≥8，所以|MF2|≥3，所以|MF2|＝9. 5．(2026·辽宁月考)已知抛物线E：x2＝4y，圆C：x2＋(y－4)2＝1，P为抛物线E上一点，Q为圆C上一点，则|PQ|的最小值为(　　) A．2－1 B．2－1 C．3 D．4 解析：选A.设P(x0，y0)(y0≥0)， 由题意得x＝4y0，C(0，4)，则|PQ|≥|PC|－1＝－1＝－1＝－1≥2－1.当y0＝2且点Q为线段PC与圆C的交点时等号成立，所以|PQ|的最小值为2－1. 6．设O为坐标原点，从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点F，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，且AB∥OP，则tan ∠BAO＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.如图所示， 因为F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，所以F(－c，0)，A(a，0)，B(0，b)，因为P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，将x＝－c代入＋＝1得＋＝1，所以y＝±，又OP∥AB，所以P(－c，)，kOP＝kAB，即－＝，整理得b＝c，所以tan ∠BAO＝＝＝. 7．(2026·重庆期中)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝8，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选C.由题意可得图象如图所示，CD是双曲线的 一条渐近线y＝x，即bx－ay＝0，右焦点F(c，0)，AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，则四边形ACDB是梯形，F是AB的中点，|EF|＝＝4，|EF|＝＝b，所以b＝4，又双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，即＝，可得＝3，解得a＝2，则双曲线的方程为－＝1. 8． 曲线|y|＝cos x＋1(0≤x≤π)和曲线x2＋(|y|－1)2＝1(x≤0)组合围成“心形图”(如图所示)，记“心形图”为曲线C，则曲线C所围成的“心形”区域的面积等于(　　) A．π＋6 B．π＋8 C．3π D．4π 解析：选C.如图所示， 设F(π，0)，E(0，2)，线段EF的中点为G(，1)，因为曲线y＝cos x＋1(0≤x≤π)关于点G对称，所以可将曲线y＝cos x＋1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域割补为直角三角形OEF的区域，于是曲线y＝cos x＋1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域面积就是直角三角形OEF的面积，即S△OEF＝|OE|·|OF|＝×2×π＝π；根据对称性，可得曲线y＝－cos x－1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域面积为π，又曲线C所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为×π×12＋×π×12＝π，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积等于π＋π＋π＝3π. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝4，则(　　) A．x0＝3 B．y0＝3 C．|OM|＝ D．F的坐标为(0，1) 解析：选AC.由抛物线C：y2＝4x，可得F(1，0)，故D错误；由抛物线的定义可得|MF|＝x0＋1＝4，所以x0＝3，故A正确；因为点M(x0，y0)在抛物线C上，所以y＝4×3＝12，所以y0＝±2，故B错误；|OM|＝＝＝，故C正确． 10．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，双曲线E的渐近线方程为y＝±x，P是双曲线E上的动点，则(　　) A．E的离心率为 B．||PF1|－|PF2||＝2 C．E与直线y＝2x有交点 D．E与双曲线－＝1无交点 解析：选ABD.因为|F1F2|＝2c＝4，所以c＝2，又双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝1，又c2＝a2＋b2，从而可得a＝，b＝，则E的离心率为＝＝，故A正确；由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，故B正确；直线y＝2x过原点，且斜率为2，而双曲线其中一条渐近线方程为y＝x，斜率为1，所以E与直线y＝2x无交点，故C错误；双曲线－＝1为－＝1，其渐近线方程为y＝±x，且其焦点在y轴上，所以E与双曲线－＝1无交点，故D正确． 11．(2026·南通期中)已知圆锥曲线C：＋＝1的离心率为，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，P为曲线C上一点，则下列结论正确的是(　　) A．k＝17 B．△PF1F2的周长为12 C．△PF1F2面积的最大值为4 D．·的取值范围是[8，12] 解析：选ABD.对于A，由圆锥曲线C：＋＝1的离心率为，则曲线C为椭圆，可得a＝，b＝，则c＝＝2，则可得e＝＝＝，解得k＝17，故A正确；对于B，由A得椭圆C的方程为＋＝1，可得a＝4，b＝2，c＝2，又由椭圆的定义，可得△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，故B正确；对于C，由△PF1F2面积为S＝|F1F2|·|yP|，因为yP∈[－2，2]，所以当点P为短轴的端点时，△PF1F2面积取得最大值，可得△PF1F2面积的最大值为S＝|F1F2|·b＝×4×2＝4，故C错误；对于D，设点P的坐标为(m，n)，其中m∈[－4，4]，则＋＝1，所以n2＝12－，因为F1(－2，0)，F2(2，0)，可得＝(－2－m，－n)，＝(2－m，－n)，则·＝(－2－m，－n)·(2－m，－n)＝m2＋n2－4＝m2＋8，因为m∈[－4，4]，可得m2＋8∈[8，12]，即·取值范围为[8，12]，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．(2026·惠州月考)已知椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0，2)，则k＝________． 解析：因为椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0，2)，则6－(k＋1)＝4，解得k＝1. 答案：1 13．(2026·渭南期中)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点．若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|＝________． 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1＋x2＝6，＝1.|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋2＝8. 答案：8 14．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点(其中点A在第一象限)，设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是________． 解析： 如图，设△AF1F2的内切圆与边AF1，AF2，F1F2的切点分别为M，N，E，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|－|AF2|＝(|AM|＋|MF1|)－(|AN|＋|NF2|)＝2a，得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a.记点H的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a.同理，内心G的横坐标也为a，则有HG⊥x轴．设直线AB的倾斜角为θ，则∠OF2G＝，∠HF2O＝90°－，所以|HG|＝|HE|＋|EG|＝(c－a)[tan ＋tan (90°－)]＝(c－a)(＋)＝(c－a)·＝(c－a)·.由双曲线C：－＝1可得a＝3，b＝4，c＝5，所以|HG|＝，由于A，B为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则<sin θ≤1，可得|HG|的取值范围是[4，5). 答案：[4，5) 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且经过点(2，3). (1)求双曲线C的方程；(6分) (2)若双曲线C的两个焦点是F1，F2，双曲线上有一点P，∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．(7分) 解：(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2， 可得＝2，所以1＋＝4，① 又因为双曲线经过点(2，3)，则－＝1，② 联立①②解得a2＝1，b2＝3， 则双曲线C的方程为x2－＝1. (2)点P为双曲线上一点，∠F1PF2＝120°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由(1)知a＝1，c＝2，由双曲线的定义可得|m－n|＝2a＝2，则有m2＋n2－2mn＝4，③ 又由∠F1PF2＝120°， 得m2＋n2－2mn cos 120°＝4c2＝16，④ 联立③④可得mn＝4， 则△F1PF2的面积S＝mn sin 120°＝. 16．(本小题满分15分)(2026·衡阳期中)已知动点M到点(6，0)的距离比它到直线x＋8＝0的距离小2，记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；(5分) (2)直线l与曲线C交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(5，－6)，求直线l的方程．(10分) 解：(1)设M(x，y)，因为M到点(6，0)的距离比它到直线x＋8＝0的距离小2，则有x>－8，根据距离公式得＋2＝x＋8，化简得y2＝24x，即动点M的轨迹是以(6，0)为焦点，x＝－6为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝24x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则两式相减得y－y＝24(x1－x2)，整理可得＝.因为线段AB的中点坐标为(5，－6)，易知(5，－6)在抛物线内部，且y1＋y2＝－12，所以直线l的斜率k＝＝＝－2，故直线l的方程为y＋6＝－2(x－5)，即2x＋y－4＝0. 17．(本小题满分15分)(2026·扬州期中)将圆x2＋y2＝4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为C. (1)求曲线C的方程；(6分) (2)若曲线C上存在一定点M(x0，y0)和两动点P，Q(异于M)，且P，Q关于原点对称，试判断直线MP与直线MQ斜率的乘积是否为定值？(9分) 解：(1)设M(x，y)为曲线C上的任意一点， 由题意，点(x，2y)为圆x2＋y2＝4上的点， 所以x2＋(2y)2＝4⇒＋y2＝1. 即曲线C的方程为＋y2＝1. (2)如图， 设P(x，y)，则Q(－x，－y)，且＋y2＝1，＋y＝1， 所以kMP·kMQ＝×＝＝ ＝－. 所以直线MP与直线MQ斜率的乘积为定值－. 18．(本小题满分17分)(2026·长春期中) 如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB. (1)求证：直线AB恒过定点，并求此定点；(5分) (2)若OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2，1)，求p的值；(6分) (3)在第(2)问的基础上，若M是抛物线上的任一点，F为抛物线的焦点，求|MD|＋|MF|的最小值及此时点M的坐标．(6分) 解：(1)由题知直线AB斜率不为0，且不过原点， 故设直线AB方程为x＝my＋n(n≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x整理得y2－2pmy－2pn＝0， 所以Δ＝(－2pm)2－4×1×(－2pn)＝4p2m2＋8pn>0，y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2pn， 所以x1x2＝·＝＝n2， 因为OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝－2pn＋n2＝n(n－2p)＝0，解得n＝2p， 所以直线AB方程为x＝my＋2p，即直线AB恒过定点(2p，0). (2)因为OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2，1)， 所以kOD＝，kAB＝－2，直线AB方程为y－1＝－2(x－2)，即x＝－y＋， 又由(1)知直线AB方程为x＝my＋2p， 所以m＝－，2p＝，即p＝. (3)由(2)知p＝，故抛物线方程为y2＝x，焦点为F(，0)，准线方程为l：x＝－， 如图，过点M作MH⊥l，垂足为H，由抛物线的定义得|MF|＝|MH|， 所以|MD|＋|MF|＝|MD|＋|MH|≥|HD|≥2＋＝， 当且仅当H，M，D三点共线时等号成立，此时yM＝1，代入抛物线方程得xM＝， 所以|MD|＋|MF|的最小值为，此时点M的坐标为(，1). 19．(本小题满分17分)(2026·中山月考)已知在平面直角坐标系xOy中，动点A(x，y)与定点F(，0)的距离和A到定直线l：x＝2的距离的比是常数. (1)求动点A的轨迹G的方程；(5分) (2)已知直线x＝my＋3与轨迹G交于P，Q两点． ①求m的取值范围；(5分) ②已知点D(2，1)，直线DP，DQ与直线x＝3分别交于点M，N，平面内是否存在一定点H，使得四边形DMHN为平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．(7分) 解：(1)由题得＝，两边同时平方并化简得＋＝1， 所以动点A的轨迹G的方程为＋＝1. (2)①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由消去x整理得(m2＋2)y2＋6my＋3＝0， 由直线x＝my＋3与轨迹G交于两点，得Δ＝36m2－12(m2＋2)>0，即m2>1， 所以m>1或m<－1. ②存在点H(xH，yH)使得四边形DMHN为平行四边形，理由如下： 因为D(2，1)在椭圆上，所以易知x1≠2，x2≠2，设直线DM的方程为y－1＝(x－2)， 令x＝3，得yM＝＋1＝＋1＝，同理yN＝， 又由①知y1＋y2＝－，y1y2＝，所以y1y2＝－(y1＋y2)， 所以yM＋yN＝＋＝ ＝×[2(m＋1)m·(－)(y1＋y2)＋(m＋1)(y1＋y2)]＝0， 所以线段MN的中点坐标为(3，0)， 连接DH，若四边形DMHN为平行四边形，则线段DH的中点坐标也为(3，0)， 由于D(2，1)，可得得xH＝4，yH＝－1，所以点H的坐标为(4，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $