专题05 椭圆及其性质的综合应用问题九类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

专题05 椭圆及其性质的综合应用问题九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的概念及标准方程 题型二、轨迹方程--椭圆 题型三、椭圆上点到焦点距离的最值问题 题型四、椭圆中的焦点三角形问题 题型五、求椭圆的离心率的值 题型六、求椭圆的离心率的取值范围 题型七、利用椭圆的有界性求参数取值范围 题型八、椭圆中的中点弦问题 题型九、椭圆中的焦半径问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆综合应用是高中解析几何板块的重点题型，所有题型均围绕定义转化、几何翻译、坐标运算、范围约束、数形结合五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是牢记椭圆定义，优先用定义简化距离关系，二是分清a,b,c的数量关系，留意焦点在x轴或y轴的分类讨论，三是焦点三角形抓住周长、面积与顶角的对应结论，四是离心率问题要寻找a与c的齐次等式或不等式，五是中点弦、焦半径用好对应推论，求解后检验点的位置是否在椭圆内，参数范围要兼顾椭圆自身有界性 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的概念及标准方程 典例1-1 “”是“方程表示椭圆”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 典例1-2 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 典例1-3求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； （2）经过点，且离心率； （3）经过点，且与椭圆有相同的焦点． 题型模版 1.特征：已知椭圆焦点信息或者椭圆上点的坐标，求椭圆标准方程；核心是确定焦点位置，求出a平方、b平方的值. 2.方法：方法1：定义法。利用椭圆定义，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于2a，算出a，再结合c求出b平方，写出方程。方法2：待定系数法。 ①能判断焦点在x轴或者y轴，直接设对应标准方程，代入点列方程求解；②不能判断焦点位置，可设通用方程，代入两点坐标解方程组. 变式1-1“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 变式1-3根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长等于20，离心率等于； (2)焦点在y轴上，长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点P(3，0)； (3)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 变式1-4根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 类型二、轨迹方程--椭圆 典例2-1 过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 典例2-2平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线，求的方程 典例2-3（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 题型模版 1.特征：求动点的运动轨迹，最终轨迹为椭圆。分为两类思路：一类是几何定义法，利用椭圆定义判断动点满足“到两定点距离之和为定值，定值大于两定点间距”；另一类是代入转移法（相关点法），已知一个点在已知曲线上，两个点坐标存在向量或者几何关联，求目标动点轨迹 2.方法：先方法1：相关点法（代入转移法）①设目标动点坐标，找到已知曲线上的相关点；②利用向量、垂直、比例等条件，建立两点坐标之间的关系式；③把相关点坐标用目标动点坐标表示，代入已知曲线方程，化简得到轨迹方程。 方法2：定义法①分析几何条件，寻找定点、距离关系；②验证是否满足椭圆定义，判断焦点位置；③直接求出a、b、c，写出椭圆标准方程。 方法3：直译法 直接把题目文字条件翻译成坐标等式，整理化简，得到轨迹方程 变式2-1已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 变式2-3已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 变式2-4(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 题型三、椭圆上点到焦点距离的最值问题 典例3-1 已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 典例3-2已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 典例3-3椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为_______________． 典例3-4已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ 题型模版 1.特征：椭圆上有一动点P，求带焦点距离的线段和或者差的最值、取值范围；核心技巧是利用椭圆第一定义，对焦点距离进行等量替换，转化为动点到定点的距离问题，结合三角形三边关系求解 2.方法：先利用椭圆定义做转换：椭圆上任意一点满足PF1+PF2=2a，把式子中的PF₁替换成2a减去PF₂，或者反过来，消去其中一个焦点距离。 几何转化：原式转换为PA±PF₂这类形式，使用三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；当三点共线时取到最值。 如果包含圆上动点：需要结合圆上点到定点距离的最值，圆上一点到外部定点距离最大值等于圆心到定点距离加上半径，最小值等于圆心到定点距离减去半径 变式3-1已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 变式3-2已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为______． 变式3-3已知椭圆的左焦点为F，点是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 变式3-4已知点，，分别是椭圆C：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是________． 变式3-5已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为________. 题型四、椭圆中的焦点三角形问题 典例4-1 （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 典例4-2已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若、的斜率分别为、，则__________． 题型模版 1.特征：椭圆上一点P与两个焦点F₁、F₂构成△PF₁F₂，叫做焦点三角形。常考查焦点三角形周长、面积、向量数量积、两边乘积、顶角范围等，一般结合椭圆定义、余弦定理、基本不等式、向量运算求解 2.方法：周长：焦点三角形周长=2a+2c，直接套用公式。 面积：底边固定为2c，高为P点纵坐标的绝对值，当P在短轴端点时面积最大；也可使用焦点三角形面积公式，利用顶角快速计算。 边长乘积：利用PF₁+PF₂=2a，设PF₁=m，PF₂=n，则m+n=2a，对mn求范围，结合二次函数求解。 向量数量积：设点坐标或者用向量分解，转化为坐标表达式，再结合椭圆方程求取值范围。 角度问题：用余弦定理，在△PF₁F₂中表达顶角余弦值，判断角度的最值，短轴端点处顶角最大 变式4-1（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，则（   ） A．长轴长为8 B．存在点P使得 C．内切圆半径的最大值为 D．的取值范围为 变式4-2（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（    ） A．周长为4 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为 变式4-3（多选）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．当时，的面积为 D．椭圆上存在个不同的点，使得为直角三角形 .变式4-4已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 题型五、求椭圆的离心率的值 典例5-1 已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为______． 典例5-2 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 典例5-3已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给题目给出椭圆的几何条件（垂直、斜率、长度比例、垂直平分线、内外圆半径关系等），不需要求a、b、c的具体数值，只需要求出离心率e等于多少。核心目标：建立a与c的齐次等式，进而求解e 2.方法：先利用椭圆定义：PF₁+PF₂=2a，把题目中的线段条件全部转化成a,c的关系式。 结合几何性质：直角三角形、斜率、垂直平分线、外接圆内切圆性质，写出边长等式。 统一成齐次方程：全部式子只用a、c表达，两边同时除以a²，换成关于e的一元方程求解。 椭圆离心率范围0<e<1，求出解之后，舍去大于等于1的根 变式5-1已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式5-2已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式5-3已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 变式5-4已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 类型六、求椭圆的离心率的取值范围 典例6-1 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例6-2已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例6-3若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 题型模版 1.特征：已知椭圆的几何关系、角度、线段比例、向量条件等，不直接求离心率具体值，而是求离心率的范围；核心是建立关于a,b,c的不等式，结合椭圆离心率本身范围0<e<1求解. 2.方法：将利用椭圆定义、几何性质、向量、余弦定理等，把题目条件转化成a,b,c的关系式； 消去b，全部换成a与c，再两边同除以a，转化为离心率e的不等式； 结合椭圆固有范围0<e<1，联立不等式得到最终离心率区间； 抓住隐含约束：椭圆上点的横纵坐标范围、焦半径范围、角度的最值规律 变式6-1已知为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若满足的点恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是______． 变式6-3已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是______. 变式6-4加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是_________. . 类型七、利用椭圆的有界性求参数取值范围 典例7 已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________． 题型模版 1.特征：椭圆上动点坐标存在天然范围，横坐标x满足-a≤x≤a，纵坐标y满足-b≤y≤b；借助这个有界性，建立不等式求解参数范围。常结合距离最值、线段长度、周长等背景出题. 2.方法：先设椭圆上动点坐标，根据题干条件写出目标表达式； 利用椭圆方程消元，转化为单变量函数； 利用椭圆变量的取值范围（x∈[-a,a]），分析二次函数的单调性； 根据最值成立的条件，列出不等式，求解参数范围 变式7-1设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式7-2在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是_________. 变式7-3已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________． 变式7-4已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示） 类型八、椭圆中的中点弦问题 典例8-1 椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 典例8-2已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 典例8-3已知椭圆：的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程． 题型模版 1.特征：已知椭圆内一条弦的中点坐标，求弦所在直线斜率或直线方程；或者已知弦与中点连线斜率的关系，求解椭圆离心率。核心方法是点差法，适用条件：中点在椭圆内部，直线与椭圆存在两个交点。结论记忆：椭圆中点弦公式，弦AB中点M，则直线AB斜率k1与OM斜率k2满足k1×k2=- 2.方法：先设交点A、B坐标，M为AB中点，写出x1+x2，y1+y2； 将A、B两点代入椭圆方程，两式相减； 因式分解，整理出含有x1-x2、y1-y2的式子； 变形得到斜率表达式，代入中点数值，算出直线斜率； 用点斜式写出直线方程，检验判别式，确认直线和椭圆有两个交点 变式8-1已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式8-2已知椭圆的离心率为，是上一点． (1)求的方程； (2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 变式8-3已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半． (1)求的方程； (2)已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度； (3)经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程． 类型九、椭圆中的焦半径问题 典例9 过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 题型模版 1.特征：题目给出过椭圆一个焦点的弦，弦被焦点分成两段焦半径，求两段焦半径倒数和，结论是定值，和弦倾斜角度、斜率无关，属于椭圆焦点弦焦半径定值模型 2.方法：方法一：利用焦半径公式：设出弦上两个点的横坐标，套用椭圆焦半径文字关系式写出两段焦半径。把过焦点的直线和椭圆方程联立，利用根与系数关系得到两点横坐标之和、横坐标之积。将焦半径代入倒数和的式子，整体代换化简，最后算出固定数值。 方法二：圆锥曲线极坐标思路：以椭圆焦点作为极点建立极坐标系，用圆锥曲线统一极坐标形式直接写出两段焦半径的长度表达式。分别取倒数再相加，经过化简直接得到定值，计算过程更加简洁。 方法三：特殊值检验法：选取焦点弦垂直于坐标轴的特殊情况，也就是椭圆的通径，直接算出两段焦半径长度，代入倒数和式子算出结果。这个方法适合选择题快速锁定答案，还可以用来验证一般推导得到的结论是否正确 变式9-1已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 变式9-2已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 变式9-3已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 7．已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 8．已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是______. 9．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 10．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 11．平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程. 12．设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 13．已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 14．已知椭圆：过点，离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点； （i）若点M为线段AB的中点，求直线l的方程； （ii）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 15．已知椭圆的离心率为，左焦点为，点在上．过且斜率为的直线交于、两点（在的上方）． (1)求的方程； (2)若，求； (3)若，直线交轴于点，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆及其性质的综合应用问题九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的概念及标准方程 题型二、轨迹方程--椭圆 题型三、椭圆上点到焦点距离的最值问题 题型四、椭圆中的焦点三角形问题 题型五、求椭圆的离心率的值 题型六、求椭圆的离心率的取值范围 题型七、利用椭圆的有界性求参数取值范围 题型八、椭圆中的中点弦问题 题型九、椭圆中的焦半径问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆综合应用是高中解析几何板块的重点题型，所有题型均围绕定义转化、几何翻译、坐标运算、范围约束、数形结合五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是牢记椭圆定义，优先用定义简化距离关系，二是分清a,b,c的数量关系，留意焦点在x轴或y轴的分类讨论，三是焦点三角形抓住周长、面积与顶角的对应结论，四是离心率问题要寻找a与c的齐次等式或不等式，五是中点弦、焦半径用好对应推论，求解后检验点的位置是否在椭圆内，参数范围要兼顾椭圆自身有界性 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的概念及标准方程 典例1-1 “”是“方程表示椭圆”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案. 【详解】方程表示椭圆，即且 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件 故选C 典例1-2 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标得到，根据点坐标得到，然后解方程即可； （2）设椭圆方程，然后将点坐标带入，解方程即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，则①， 将带入椭圆方程得到②， 联立①②解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 典例1-3求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； （2）经过点，且离心率； （3）经过点，且与椭圆有相同的焦点． 【答案】（1）或；（2）或；（3）． 【分析】（1）先根据条件列方程组解得a,b，再根据焦点位置写对应方程，（2）先讨论焦点位置，再确定3对应a还是b，进而结合离心率得b或a，最后写方程，（3）根据焦点位置可设方程，再代入点坐标求得方程. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题意可知，结合可解得a＝5，b＝4，c＝3． 因为不确定焦点在哪个坐标轴上， 所以所求椭圆的标准方程为或． （2）①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为， 由题意，得， 因为， 所以，从而， 所以所求椭圆的标准方程为； ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为， 由题意，得， 因为，解得，从而， 所以所求椭圆的标准方程为． 综上，所求椭圆的标准方程为或． （3）设所求椭圆的方程为，将点M的坐标代入可得，解得舍去． 故所求椭圆的标准方程为． 题型模版 1.特征：已知椭圆焦点信息或者椭圆上点的坐标，求椭圆标准方程；核心是确定焦点位置，求出a平方、b平方的值. 2.方法：方法1：定义法。利用椭圆定义，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于2a，算出a，再结合c求出b平方，写出方程。方法2：待定系数法。 ①能判断焦点在x轴或者y轴，直接设对应标准方程，代入点列方程求解；②不能判断焦点位置，可设通用方程，代入两点坐标解方程组. 变式1-1“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由方程表示椭圆可得，求解可判断结论. 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B. 变式1-2与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 【答案】 【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为， ∵椭圆过点， ∴将，代入方程得， 解得或（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 变式1-3根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长等于20，离心率等于； (2)焦点在y轴上，长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点P(3，0)； (3)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据离心率与长轴长即可求出椭圆方程； (2)根据焦点位置和长短轴长的关系即可求出椭圆方程； (3)根据焦距和短轴长即可求出椭圆方程. 【详解】（1）由题意知2a＝20，e＝， 所以a＝10，c＝8，从而b＝6. 又因为焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意知焦点在y轴上，所以b＝3. 又因为长轴长是短轴长的3倍，所以a＝9， 从而椭圆的标准方程为； （3）设椭圆的标准方程为(a>b>0)，短轴的两顶点分别为A1，A2， 则△A1FA2为等腰直角三角形， 所以b＝c＝4，从而a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的标准方程为. 变式1-4根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 类型二、轨迹方程--椭圆 典例2-1 过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 【答案】 【分析】设动点的坐标，根据题目条件列出等式即可求出点坐标，再根据等量关系即可求解轨迹方程. 【详解】设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 典例2-2平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线，求的方程 【答案】 【分析】设点的坐标，利用平面向量的坐标表示，消参得，结合正方形面积得的方程． 【详解】解：设， 由，得， 所以， 因为正方形ABCD的面积为，即， 所以，整理可得， 因此Γ的轨迹方程为. 典例2-3（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 题型模版 1.特征：求动点的运动轨迹，最终轨迹为椭圆。分为两类思路：一类是几何定义法，利用椭圆定义判断动点满足“到两定点距离之和为定值，定值大于两定点间距”；另一类是代入转移法（相关点法），已知一个点在已知曲线上，两个点坐标存在向量或者几何关联，求目标动点轨迹 2.方法：先方法1：相关点法（代入转移法）①设目标动点坐标，找到已知曲线上的相关点；②利用向量、垂直、比例等条件，建立两点坐标之间的关系式；③把相关点坐标用目标动点坐标表示，代入已知曲线方程，化简得到轨迹方程。 方法2：定义法①分析几何条件，寻找定点、距离关系；②验证是否满足椭圆定义，判断焦点位置；③直接求出a、b、c，写出椭圆标准方程。 方法3：直译法 直接把题目文字条件翻译成坐标等式，整理化简，得到轨迹方程 变式2-1已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 变式2-2已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 变式2-3已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 【答案】 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 变式2-4(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 题型三、椭圆上点到焦点距离的最值问题 典例3-1 已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 【答案】 【分析】由椭圆定义得，求出的范围即可得解. 【详解】椭圆中，，由椭圆定义得， 则，而， 因此，，即， 所以. 故答案为： 典例3-2已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 典例3-3椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】先根据椭圆方程及椭圆的定义得出焦点坐标及，再根据圆与椭圆的位置关系结合两点间的距离公式计算求解． 【详解】 椭圆，， ， 根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足，右焦点坐标， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， ， ， ，当在的延长线与椭圆交点时取等号， ， ， 故答案为：． 典例3-4已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点， 设其右焦点为， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点，圆心，半径为， . 当且仅当共线且在之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：椭圆上有一动点P，求带焦点距离的线段和或者差的最值、取值范围；核心技巧是利用椭圆第一定义，对焦点距离进行等量替换，转化为动点到定点的距离问题，结合三角形三边关系求解 2.方法：先利用椭圆定义做转换：椭圆上任意一点满足PF1+PF2=2a，把式子中的PF₁替换成2a减去PF₂，或者反过来，消去其中一个焦点距离。 几何转化：原式转换为PA±PF₂这类形式，使用三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；当三点共线时取到最值。 如果包含圆上动点：需要结合圆上点到定点距离的最值，圆上一点到外部定点距离最大值等于圆心到定点距离加上半径，最小值等于圆心到定点距离减去半径 变式3-1已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先求解的最小值，结合圆的特点可得答案. 【详解】椭圆的左焦点，圆化为， 圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以; 的最小值为； 因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而， 所以的最小值为. 故答案为： 变式3-2已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，由题知， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立， ， ， 则的最小值为2． 故答案为：．    变式3-3已知椭圆的左焦点为F，点是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可. 【详解】如图，设椭圆的右焦点为， 由椭圆，得， 则， 所以，， 设，则，， 故， 则当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：. ． 变式3-4已知点，，分别是椭圆C：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是________． 【答案】/3.5 【分析】设点到右准线的距离为，根据椭圆的第二定义可知则，从而得到,结合图形分析即可求解. 【详解】要使取最小值，则点在轴右侧， 由题可得：，，，所以椭圆的右准线的方程为：， 设点到右准线的距离为，则，所以，    所以， 结合图形可知点到右准线：的距离即为的最小值， 所以，则的最小值是； 故答案为：. 变式3-5已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为________. 【答案】4 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到的距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：4. 题型四、椭圆中的焦点三角形问题 典例4-1 （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；分析可知当点为短轴顶点时，的面积最大，求其最大值，可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算并结合椭圆的范围可判断C选项；求得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】由可得，，，. 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项，设，，则， 所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，B对； 对于C选项，设，，、， 则，，则. 因为，所以，所以， 又，所以， 所以的取值范围为，C对； 对于D选项，由可得，， 由C知， ， 所以， 当时，有最大值， 当或时，的值为， 但是且，所以的取值范围为，D对. 故选：BCD. 典例4-2已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若、的斜率分别为、，则__________． 【答案】 / 【分析】设内切圆与三个切点分别为、、，设点，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，可求出、的值，结合切线长定理可求出的值，结合等面积法可求出内切圆的半径，可得出的值，再结合斜率公式求解即可. 【详解】如图，设内切圆与三个切点分别为、、， 在椭圆中，，，则， 故其焦点为、， 由椭圆的定义可得，， 将点的坐标代入椭圆方程得，可得， 所以，， 由切线长定理可得，，， ， 又因为， 故，设点，由圆的几何性质可得，则，解得， ， 设的内切圆半径为，则 ，解得，故， ，，故. 题型模版 1.特征：椭圆上一点P与两个焦点F₁、F₂构成△PF₁F₂，叫做焦点三角形。常考查焦点三角形周长、面积、向量数量积、两边乘积、顶角范围等，一般结合椭圆定义、余弦定理、基本不等式、向量运算求解 2.方法：周长：焦点三角形周长=2a+2c，直接套用公式。 面积：底边固定为2c，高为P点纵坐标的绝对值，当P在短轴端点时面积最大；也可使用焦点三角形面积公式，利用顶角快速计算。 边长乘积：利用PF₁+PF₂=2a，设PF₁=m，PF₂=n，则m+n=2a，对mn求范围，结合二次函数求解。 向量数量积：设点坐标或者用向量分解，转化为坐标表达式，再结合椭圆方程求取值范围。 角度问题：用余弦定理，在△PF₁F₂中表达顶角余弦值，判断角度的最值，短轴端点处顶角最大 变式4-1（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，则（   ） A．长轴长为8 B．存在点P使得 C．内切圆半径的最大值为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求解长轴长判断A；假设存在点P使得，利用椭圆定义、勾股定理可判断B；设内切圆半径为，根据三角形面积相等、的范围，求出取得最大值可判断C；设，求出，根据的范围可判断D. 【详解】，，所以，， 对于A，长轴长为，故A正确； 对于B，假设存在点使得，由题意可得， 整理可得，因为，方程无解， 故不存在点使得，故B错误； 对于C，设内切圆半径为， 由， 即，若能构成三角形，则， 显然当取得最大值时，取得最大值为，故C正确； 对于D，设，则，，且， ， 所以， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 变式4-2（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（    ） A．周长为4 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，由可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D． 【详解】由题意，，，短轴一个端点， 对于A，由题知，故周长为，故A错误； 对于B，利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确； 对于C，，设，从而,所以，故C正确； 对于D，因为，， 则，，故D错误． 故选：BC． 变式4-3（多选）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．当时，的面积为 D．椭圆上存在个不同的点，使得为直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，即可判断A选项；由基本不等式结合椭圆的定义，即可判断B选项；根据焦点三角形面积公式得出面积，即可判断C选项；设，求出满足的点的个数，即可判断D项. 【详解】对于A，由得， ∴ 的周长为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，的面积为，故C正确； 对于D，设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如上图，当点位于短轴顶点时有， 所以，当时，点P为椭圆的上下两顶点，则点有2个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点， 即满足以及的点有4个. 综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D正确. 故选：ACD． .变式4-4已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可； （2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 题型五、求椭圆的离心率的值 典例5-1 已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为______． 【答案】 【分析】由椭圆性质及定义有，结合直角三角形内切圆、外接圆相关性质求对应半径，进而得到椭圆参数的齐次方程，即可得求离心率. 【详解】由题意，在中， 所以其外接圆半径，内切圆的半径为， 故. 故答案为： 典例5-2 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 典例5-3已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 题型模版 1.特征：给题目给出椭圆的几何条件（垂直、斜率、长度比例、垂直平分线、内外圆半径关系等），不需要求a、b、c的具体数值，只需要求出离心率e等于多少。核心目标：建立a与c的齐次等式，进而求解e 2.方法：先利用椭圆定义：PF₁+PF₂=2a，把题目中的线段条件全部转化成a,c的关系式。 结合几何性质：直角三角形、斜率、垂直平分线、外接圆内切圆性质，写出边长等式。 统一成齐次方程：全部式子只用a、c表达，两边同时除以a²，换成关于e的一元方程求解。 椭圆离心率范围0<e<1，求出解之后，舍去大于等于1的根 变式5-1已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用对称性构建平行四边形并结合椭圆的定义求出，接着利用点到直线的距离公式求出，最后代入离心率公式得出最终结果. 【详解】设椭圆E的左焦点为，连接， 因为直线过原点，所以其与椭圆的交点关于原点对称， 且焦点也关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 所以， ，所以，解得， 因为点M到直线l的距离为，不妨设， 则点M到直线l的距离为，解得， 所以， 故椭圆E的离心率为. 变式5-2已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合已知条件得出，利用余弦定理构造方程得出，联立得出，进而求出离心率． 【详解】设椭圆焦距为，离心率，已知的垂直平分线过点，则 ， 是椭圆上的点，由椭圆定义， 故， 直线斜率为，故倾斜角为，在中，， ， 代入可得，解得， 故，解得， 故． 变式5-3已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 【答案】/ 【分析】设，根据条件，利用椭圆的定义得到，进而可得，再利用，可得，即可求解. 【详解】设，则①，因为，则②， 由①②可得， 又的内切圆半径，则， 所以，得到，又， 所以，整理得到， 所以或（舍），则的离心率.. 变式5-4已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设点的坐标，将线段长度关系转化为坐标等式，结合椭圆方程推导与的关系，进而计算离心率. 【详解】由题意得椭圆的左右顶点坐标为，， 设点，则有， 因轴，故，则， 又，，因此， 由，即，即， 故，整理得， 故. 类型六、求椭圆的离心率的取值范围 典例6-1 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知四边形为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得，结合已知条件列不等式组，进而解得答案. 【详解】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得， 所以，结合A在第一象限，可知， 所以， 由椭圆的对称性可知，由可得， 即，所以，整理得， 所以，即椭圆C的离心率的取值范围为． 典例6-2已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围． 【详解】设，由椭圆的定义得， 由余弦定理得． 又，当且仅当时，取最大值， 于是，所以， 可得，又，． 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：C 典例6-3若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，可知， 又，所以， 因此，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，所以. 故答案为： 题型模版 1.特征：已知椭圆的几何关系、角度、线段比例、向量条件等，不直接求离心率具体值，而是求离心率的范围；核心是建立关于a,b,c的不等式，结合椭圆离心率本身范围0<e<1求解. 2.方法：将利用椭圆定义、几何性质、向量、余弦定理等，把题目条件转化成a,b,c的关系式； 消去b，全部换成a与c，再两边同除以a，转化为离心率e的不等式； 结合椭圆固有范围0<e<1，联立不等式得到最终离心率区间； 抓住隐含约束：椭圆上点的横纵坐标范围、焦半径范围、角度的最值规律 变式6-1已知为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若满足的点恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在短轴端点时最大，结合离心率定义分析即可得解. 【详解】记短轴的一个端点为，由椭圆性质可知，当点在短轴端点时最大， 所以，要使满足的点恰好有4个，则， 即，所以， 又，所以. 故选：B ． 变式6-2正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意先画出图象，确定点的坐标，根据已知条件列出不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】如图，根据椭圆的对称性知点在直线上，可得， 因为焦点在正方形的内部，所以， 即， 即，可得， 又，所以， 所以， 又，解得． 故答案为：.   . 变式6-3已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】设，，由，得，再根据求得，结合得，最后由可得结果. 【详解】设，，，， 由，可得，所以. 又，，由得， 整理得，由P在C上，得，即， 得，即，解得或（舍去）， 由，可得，即，又，所以，故C的离心率的取值范围是. 故答案为：. 变式6-4加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是_________. 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程可知：，如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： . 类型七、利用椭圆的有界性求参数取值范围 典例7 已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 故答案为：. 题型模版 1.特征：椭圆上动点坐标存在天然范围，横坐标x满足-a≤x≤a，纵坐标y满足-b≤y≤b；借助这个有界性，建立不等式求解参数范围。常结合距离最值、线段长度、周长等背景出题. 2.方法：先设椭圆上动点坐标，根据题干条件写出目标表达式； 利用椭圆方程消元，转化为单变量函数； 利用椭圆变量的取值范围（x∈[-a,a]），分析二次函数的单调性； 根据最值成立的条件，列出不等式，求解参数范围 变式7-1设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A.. 变式7-2在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】将点到直线、的距离转化为和，可得，结合椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系得椭圆的标准方程，根据椭圆方程和平面向量数量积坐标表示可求出结果. 【详解】因为，所以， 在正方体中，平面，平面，    因为平面，所以，， 所以，且， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 这里，，所以，，， 以的中点为原点，为轴，的中垂线为轴建立平面直线坐标系，    所以点的轨迹方程为， 设，因为，，则，， 所以， 因为，，. 故答案为：． 变式7-3已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可． 【详解】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：． 变式7-4已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示） 【答案】 【分析】由垂直平分线性质和点在椭圆上可得且，结合椭圆的有界性有，即可求参数范围. 【详解】设的坐标分别为和． 因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即． 又交点为，故，即① 由在椭圆上，则 将上式代入①，得② ，得， 且， ， . 故答案为：． 类型八、椭圆中的中点弦问题 典例8-1 椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法及点斜式计算即可. 【详解】设，，则AB的中点坐标为， 所以，， 将A，B的坐标代入椭圆的方程， 作差可得：， 所以， 所以直线AB的方程为，即经检验适合题意． 故选：B 典例8-2已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由点差法代入计算，可得，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，， 将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，， 两式相减可得. 又因为M为AB的中点，所以， 所以， 所以，， 又直线l与OM的斜率之积为， 所以，即， 所以椭圆C的离心率. 故选：D. 典例8-3已知椭圆：的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的性质得求解 （2）由点差法化简后得直线斜率，再求直线的点斜式方程 【详解】（1），， 又，所以，，， 椭圆的标准方程为； （2）设，， 则，， 两式相减可得， 为线段的中点，则，， ，， 直线的方程为，整理得：． 题型模版 1.特征：已知椭圆内一条弦的中点坐标，求弦所在直线斜率或直线方程；或者已知弦与中点连线斜率的关系，求解椭圆离心率。核心方法是点差法，适用条件：中点在椭圆内部，直线与椭圆存在两个交点。结论记忆：椭圆中点弦公式，弦AB中点M，则直线AB斜率k1与OM斜率k2满足k1×k2=- 2.方法：先设交点A、B坐标，M为AB中点，写出x1+x2，y1+y2； 将A、B两点代入椭圆方程，两式相减； 因式分解，整理出含有x1-x2、y1-y2的式子； 变形得到斜率表达式，代入中点数值，算出直线斜率； 用点斜式写出直线方程，检验判别式，确认直线和椭圆有两个交点 变式8-1已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 变式8-2已知椭圆的离心率为，是上一点． (1)求的方程； (2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、以及点在椭圆上列式，求出与可得椭圆的方程； （2）根据点差法求出直线的斜率，再根据点斜式求出方程即可. 【详解】（1）由题可知，解得，，， 故的方程为． （2）设，，则 则，即． 因为线段的中点坐标为，所以，， 则． 故直线的方程为，即．    变式8-3已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半． (1)求的方程； (2)已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度； (3)经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，的值，即求出，的值，可得椭圆的方程； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，代入弦长公式，可得的大小； （3）设，的坐标代入椭圆的方程，作差整理可得直线的斜率，代入点斜式方程求出直线的方程． 【详解】（1）由题意可得，可得，， 所以椭圆的的方程为：； （2）设，， 联立，整理可得，可得，， 所以；      （3）设，，由题意可得，， 将，的坐标代入可得：， 作差整理可得：， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即    类型九、椭圆中的焦半径问题 典例9 过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 【答案】B 【分析】法一：当直线的斜率不存在时，可得，即可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再表示出、后，结合所得韦达定理计算即可得.法二：利用焦长公式计算即可得. 【详解】法一：令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 方程的判别式， 所以，， 设椭圆的离心率为， 则 ， 同理，所以 ， 综上，； 法二：由椭圆对称性，不妨设焦点为左焦点，设， 则，； 故．. 题型模版 1.特征：题目给出过椭圆一个焦点的弦，弦被焦点分成两段焦半径，求两段焦半径倒数和，结论是定值，和弦倾斜角度、斜率无关，属于椭圆焦点弦焦半径定值模型 2.方法：方法一：利用焦半径公式：设出弦上两个点的横坐标，套用椭圆焦半径文字关系式写出两段焦半径。把过焦点的直线和椭圆方程联立，利用根与系数关系得到两点横坐标之和、横坐标之积。将焦半径代入倒数和的式子，整体代换化简，最后算出固定数值。 方法二：圆锥曲线极坐标思路：以椭圆焦点作为极点建立极坐标系，用圆锥曲线统一极坐标形式直接写出两段焦半径的长度表达式。分别取倒数再相加，经过化简直接得到定值，计算过程更加简洁。 方法三：特殊值检验法：选取焦点弦垂直于坐标轴的特殊情况，也就是椭圆的通径，直接算出两段焦半径长度，代入倒数和式子算出结果。这个方法适合选择题快速锁定答案，还可以用来验证一般推导得到的结论是否正确 变式9-1已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可. 【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．   ． 变式9-2已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 变式9-3已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 【答案】 【分析】求出F坐标，写出直线l的方程，联立直线l方程和椭圆方程，解出A和B的坐标，利用弦长公式或两点间距离公式即可计算，本题也可利用其特殊的几何关系简化计算． 【详解】， ∵， ∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图： ， 直线l的方程为， 由得，解得， ， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知曲线方程和椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件进行判定即可. 【详解】曲线：为椭圆，则，解得且， 可知是“曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：C. 2．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即 3．已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为 4．设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需在椭圆左右顶点时，此时应用余弦定理可得，进而求m的范围. 【详解】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大， ∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即，又， ∴，解得，又， ∴. 故选：C. 5．已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 6．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点 在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在 中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当 时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点 在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为 ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 7．已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，利用点差法可得，再结合的关系可得，进而求解即可. 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 8．已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是______. 【答案】10 【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【详解】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 故答案为：10． 9．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，运用待定系数法求解即得. 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 10．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 【详解】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 11．平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程. 【答案】 【分析】设点，可求得的长及到直线的距离，根据题意，列出方程，化简计算，即可得答案. 【详解】设点， 所以，到直线的距离为， 由题意得，即， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 12．设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 【答案】(1)设，，， 根据椭圆的定义可得， 由正弦定理得， 所以， 所以离心率. (2)最小值为， 最大值为. 【分析】（1）先利用正弦定理得，再根据证明； （2）利用立方和公式得=，再根据的取值范围求的最值. 【详解】（1）略 （2） =， 由椭圆性质可得，， ， 所以当时，取得最大值为， 当或时，取得最小值为， 所以的最小值为，最大值为. 13．已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，利用点差法得到，再由点在椭圆内部，求出的取值范围，即可求出的范围. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 因为线段的中点为，所以， 又，两式相减可得， 即， 所以， 又点在椭圆内部，所以，解得， 所以，即的取值范围为. 14．已知椭圆：过点，离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点； （i）若点M为线段AB的中点，求直线l的方程； （ii）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式求解即可； （2）（i）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解； （ii）结合（i）中信息以及向量的坐标运算求解即可． 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为， 所以， 解得， 则椭圆的方程为； （2）（i）易知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得 ， 由韦达定理得， 若点为线段的中点，此时， 解得， 则直线的方程为，即； （ii）由题可知， 因为原点总在以为直径的圆外， 所以， 即， 解得 则直线l斜率的取值范围为 15．已知椭圆的离心率为，左焦点为，点在上．过且斜率为的直线交于、两点（在的上方）． (1)求的方程； (2)若，求； (3)若，直线交轴于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，求出、的值，即可求得的值； （3）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，可得出，进而得出，根据可得出点的坐标，根据、、三点共线可得出点的坐标，求出的取值范围，可得出点的横坐标的取值范围，由此可得出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，得， 因此椭圆的方程为. （2）由题意，，直线的方程为，设点、， 联立，解得，， 故． （3）由题意，直线的方程为，设， 联立， ， 由韦达定理得， 所以， 因为，则， 所以，则， 又， 设，因为直线的斜率存在，则与轴不垂直，则， 因为，所以点不是椭圆长轴的顶点，则， 故， 由、、三点共线知， 解得， 当时，，则， 当时，，则， 所以，则. 因此． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $