专题05 数列中的公共项、插入项、不定方程及新定义问题五类综合题型（压轴题专项训练）数学湘教版选择性必修第一册

专题05 数列中的公共项、插入项、不定方程及新定义问题五类压轴题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数列中的公共项问题 题型二、数列中的插入项问题 题型三、数列中的奇偶项问题 题型四、数列中的不定方程问题 题型五、数列中的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线数列公共项、插入项及新定义是高中数列板块的压轴题型，所有题型均围绕项的筛选、下标约束、整数分析、题意翻译、规律识别五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是公共项问题要保证项的下标都为正整数，二是插入项分清原有数列和新增项的位置次序，三是奇偶项问题看清项数对应奇偶分类，四是不定方程重点抓住整数限制条件，五是新定义题型务必读懂题干规则再做题，算出结果之后带回原题检验是否满足全部条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数列中的公共项问题 典例1-1已知两个无穷等比数列、的公比分别为，：数列与数列有无穷多个公共项；，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举例子，结合充分性与必要性的条件可得结论. 【详解】设无穷等比数列、的通项公式为，， 可知数列与数列有无穷多个公共项；但，不满足， 故是的不充分条件， 当时，取，则有， 若，即， 可得数列与数列不存在无穷多个公共项， 故是的不必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 典例1-2在等差数列中，，，，成公比不为1的等比数列，是的前n项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列公差为，由题设可得，. 设由题设可得，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】设等差数列公差为，因成等比数列. 则， 因公比不为1，则，. ，. 设其中为正整数，则， 则为2的倍数，即可为， 从而，，依此类推可得. 注意到， 则.. 故选：C 典例1-3已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 【答案】(1)，； (2)①；②9880. 【分析】（1）根据给定条件，列方程求出公差、首项即可得的通项；利用等比数列定义求出的通项. （2）①由（1）直接写出前4个公共项；②求出数列的前100项和，再减去其中的公共项即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则有，解得， 因此；由，得，而， 则数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）①由（1）知，，， 则，， 所以数列，的前4个公共项依次为. ②，而， 因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项， 所以剩下所有项的和为. 题型模版 1.特征：给出两个已知数列（等差、等比为主），求同时属于两个数列的项，即公共项；常见考法：求公共项、求公共项构成新数列的通项、求公共项的项数、公共项求和。 两个数列都可以写出通项，公共项要同时满足两个通项表达式 2.方法：①设公共项为t，t既属于an又属于bm，即存在正整n,m，使得an=bm。②建立等式，整理成不定方程，问题转化为找这个方程的全部正整数解。③分析方程约束条件，结合整除、奇偶、模运算，筛选出满足条件的正整数。④把筛选得到的公共项依次写出，观察公共项构成的新数列，写出新数列通项。 ⑤若要求和，再对公共项组成的新数列求和 变式1-1设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【分析】根据题意写出，的前几项可以得到的首项和公差，根据通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，数列：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、...， 数列：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、...， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列：5、17、29、...， 易知数列是首项为5，公差为12的等差数列，则， 由，可得， 因此，集合中元素的个数为169. 故选：C 变式1-2等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析，及的关系，再应用等比数列求和公式计算求解. 【详解】设等差数列公差为，又因为，所以，所以， 所以，且都是奇数， 所以，所以将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列， 所以数列的前50项和为的前50项和， 所以. 故选：B. 变式1-3若已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是正奇数数列， 对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设，则，为偶数， 所以，由数列的函数特性知为递减数列， 又， 所以， 故选：C． 变式1-4已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过得到即可求出数列的通项公式，通过即可求出数列的通项公式； （2）首先确定数列的通项公式，然后利用错位相减法即可求出数列的前项和. 【详解】（1）已知且满足，将等式移项变形得， 由题意数列 的各项均为正数，所以 ，得， 说明数列是一个首项，公差的等差数列。 故数列的通项公式为， 由于数列的前项和满足，则，即， 当时，有和，两式相减得：，即， 这说明数列是一个首项，公比的等比数列， 因此，数列 的通项公式为. （2）首先找数列和的公共项，以确定数列的通项公式， 数列为：（即的倍数，且大于等于） 数列为：（即的幂次） 观察两数列，可以发现： 第个公共项是， 第个公共项是，第个公共项是， 以此类推，第个公共项对应的是数列中的第项，所以， 因此，则数列的前项和， 设，则， 两式相减得，即， 而， 因此 类型二、数列中的插入项问题 典例2-1在数列的每相邻两项之间插入这两项中后一项的3倍与前一项之差，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.则第6次拓展得到的数列的项数为________. 【答案】65 【详解】设数列1，2第n次拓展后的项数为，则，， 根据拓展规则可知，所以， 所以数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以， 所以，所以. 典例2-2数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列．现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列，进行构造，第1次得到数列，，；第2次得到数列，，，，；…记第次得到数列的项数为，如，，则___________（用含的式子表示）；记第次得到数列的所有项的和，如，，则___________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】应用数列新定义列式结合等比数列定义即可得出通项公式. 【详解】依题意， 则是以为首项以2为公比的等比数列， ， 因此，而， 则数列是以6为首项，3为公比的等比数列， ． 典例2-3等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 【答案】(1) (2)1034 (3)存在，1876 【详解】（1）设的公差为， ，， ，，． （2）依题意，在之前插入的1的总个数为， ，故是数列的第项． （3）依题意，， 之前插入的1的总个数为， 故数列中，项及前面的所有项的和为， ∴数列中，及前面的所有项的和为， 而，与之间的1的个数为个， 即在后加842个1，其和为2008，故存在，使． 题型模版 1.特征：在已知数列（等差、等比居多）的两项中间，插入若干个数，按照给定规则生成全新数列； 常见考法：确定插入后新数列项、求新数列通项、求指定项、求前N项和、判断某一项属于原数列还是插入项。核心难点：分清哪些是原来的旧项，哪些是后来插入的项，理清项的位置下标 2.方法：先①审题，明确插入规则：原数列相邻两项之间插入几个数，插入的数遵循等差还是等比。 ②统计：原数列第k项到第k+1项之间，包含原项2个，插入若干个，算出这一组总项数。③定位下标：新数列里面，原数列的每一项出现在新数列的哪个位置，写出位置关系式。④两类问题处理：情况A：求新数列中某指定下标的项分组计数，判断该项落在哪一个“原项插入项”组内；判断它是原数列的项，还是插入进去的项，再套用等差/等比计算数值。 情况B：求新数列前N项和把前N项拆成两部分：保留下来的原数列的项+多组插入的子数列；分别求和再相加。注意：末尾一组经常是不完整，插入项不一定取满，要单独算剩余部分 变式2-1在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 【答案】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 变式2-2现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为；；记第n次得到的新数列为，且．当时，______；使的最小正整数n的值为______． 【答案】 【分析】本题先通过归纳得出第次构造后数列的项数规律，直接求出时的；再利用等差数列性质，求出的通项，最后解不等式得到满足条件的最小值． 【详解】设第n次构造后，数列所有项和为， 初始，，项数为，， 第次，，项数为，， 第次，，项数为，， 第次，，项数为，， 归纳得，第n次构造后，项数为，， 新数列为，故中间项数， 当时，，根据题意得， 由，得 ，解得， 因为， 所以最小正整数n的值为． 变式2-3已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列的通项公式为___________；若是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前n项和=_______________． 【答案】 ； 【分析】因为为等差数列，故只需求出首项和公差即可，结合题意可知，，根据等差数列通项公式的求法即可求得；因为为等比数列，故只需求得公比和首项即可，结合，即可得的通项公式，进而求得，带入中，再用乘公比错位相减的方法即可求得。 【详解】解：由题不妨设设数列的公差为， 由题意可知，，， 所以，即， 所以； 设等比数列的公比为，则， 因为，所以，又， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 两式相减可得： ， 所以. 故答案为：； 变式2-4已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1) 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2) 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. (3) 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以. （2）略 （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 题型三、数列中的奇偶项问题 典例3-1已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 典例3-2已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 【答案】ADC 【分析】直接计算出判断A，计算出后可判断B，由递推关系得出数列的奇数项的关系，从而利用等比数列的通项公式求解判断C，利用分组求和法求和判断D. 【详解】对A，由已知，，A正确； 对B，由已知，，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以， 又，所以是等比数列，且公比为， 所以，从而，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以，D正确． 典例3-3已知数列中，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列中，，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为奇数、为偶数两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）计算得出，再利用错位相减法可求得的表达式. 【详解】（1）当为奇数时，设，则，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故； 当为偶数时，设，则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 综上所述，. （2）由（1）可知，， 所以， ①， ②， ①②得， 化简得. 题型模版 1.特征：一递推公式分段给出，按照n是奇数、偶数执行不同运算；也包括通项本身分段、求和时分奇偶讨论。 常见考法：求通项、求前2n项和、前2n-1项和、求参数、证明不等式。核心：奇数项自成子数列，偶数项自成子数列，两个子数列大多分别为等差或者等比 2.方法：①区分下标奇偶：令n取奇数，推导奇数项子数列；令n取偶数，推导偶数项子数列。②换元改写下标：设k为正整数，奇数项：a2k-1； 偶数项：a2k。③分别求出奇数项子数列、偶数项子数列的通项。④还原回原数列通项，写成分段形式。⑤求和两类情况：情况A：求前偶数项和S2n前2n项包含n个奇数项，n个偶数项；奇数项子数列求前n项和，偶数项子数列求前n项和，两部分相加。 情况B：求前奇数项和S2n-1一共2n-1项，有n个奇数项，n-1个偶数项；分别求和再相加 变式3-1大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ACD 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与的关系后，利用累加法计算即可得B；得到与及与的关系可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 则 ，故D正确. 变式3-2已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ．． 变式3-3已知为数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和；；，且；； (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)证明： 【答案】(1)； (2)5； (3)证明见解析. 【分析】（1）由递推公式可知， 数列为等差数列，再根据题中的条件求解即可； （2）分别计算和，再验证即可； （3）裂项相消法计算，再用放缩法即可证明. 【详解】（1），得，所以数列为等差数列， 则，所以，又，所以， 设的公差为，则解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，所以， ， ， 令，得， 设，则数列是递增数列， 又，， 所以的最大值为5． （3）， 所以 ，所以． 题型四、数列中的不定方程问题 典例4 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求，并判断是否存在正整数使得，，成等差数列，若存在，请求出的值，不存在请说明理由. 【答案】（1）（2），存在， 【解析】（1）利用的关系式，即可求得通项公式； （2）由（1）可知，该数列是等比数列，故由公式可得， 再根据等差中项，列方程求解即可. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，得， 故数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 数列的通项公式为； （2）由， 有， 若存在正整数使得，，成等差数列， 则有，解得， 由上知，存在使得，，成等差数列. 题型模版 1.特征：依托数列通项建立等式，等式里面含有两个或多个正整数未知数，未知数代表数列项数；题目设问多为是否存在正整数，求全部解，求参数取值。常见考法：公共项衍生不定方程、是否存在项满足等式、项的和或积为定值、子数列存在性问题。 约束条件：未知数必须是正整数，这是解题核心，不能当成实数解方程 2.方法：①根据题意列出等式，整理不定方程，未知数限定为正整数。②变形方程，常用手段：因式分解、分离变量、整除分析、奇偶分析、放缩估范围。③缩小未知数取值范围：利用正整数的大小关系，确定其中一个未知数有限的试值区间。④在有限范围内枚举检验，找出全部符合条件正整数解。 ⑤把解代回题干，验证是否满足数列本身条件，舍去增根。 四类高频处理手段 手段一：因式分解。把方程整理成两个整数乘积等于常数，枚举全部正整数因数组合，配对得到解。手段二：分离参数。把其中一个未知数单独放到等式一侧，另一侧式子结果必须为正整数，据此找条件。手段三：整除分析。等式一边为整数，另一边分式必须整除，分析余数、模的性质，筛选符合条件。手段四：放缩估界。利用不等式判断未知数的上下限，把无限多可能压缩成少数几个值，再枚举 变式4-1设数列的前项和为，． (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式，并判断中是否存在三项成等差数列？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①当 时， ∴ ②当时 ∵ ∴ ∴ ∴．因为 ∴ ∴是等比数列 (2)由（1）知是等比数列，，公比 ∴ ∵将数列的项转化为曲线上任意两点确定的线段，除端点外，都在该曲线的上方， 即无三点共线 ∴不存在三项成等差数列 【分析】（1）利用递推关系 ，即可证明数列为等比数列． （2）根据数列的通项公式，进一步转换为函数的关系式求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 变式4-2已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）请判断是否存在正整数，，（），使得，，，成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，答案见解析. 【解析】（1）根据数列为公比为3的等比数列可得结果； （2）根据错位相减法可求得结果； （3）由正整数，，满足，得，，可得，，所以不存在正整数，，（），使得，，成等差数列. 【详解】（1）由题意有，，可得数列为公比为3的等比数列 又由，所以，可得 故数列的通项公式为 （2） 作差得 得，得 （3）由正整数，，满足，得， 可得，必有 故不存在正整数，，（），使得，，成等差数列. 变式4-3已知：公差不为零的等差数列，其前项和为，，等比数列的前三项分别是，，. （1）求数列的前项和； （2）设，是否存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）和为；（2）存在，的值为或或． 【分析】（1）由等差数列前项和公式和等比数列的性质列出关于和公差的方程组，解出后可得，，由此可得的首项和公比，得，用错位相减法求数列的前项和； （2）求得，假设存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，再计算相邻两项的差，以确定数列的单调性，前3项递增，从第3项开始向后递减，这样当时，新等差数列中，，的顺序可不变（也可相反），计算和，分别解方程＝， ，，无不小于3的整数解即不存在，最后再讨论和求得的值． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则由得，，∵，∴， ∴，， ，，∴，∴， ， 设数列的前项和为， ， ， 两式相减得， ∴； （2）由（1）， 假设存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列， ， 易知时，，时，， ∴数列中递增，从开始递减，是最大项． 若，则，，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，，，的顺序不变（或相反）， 由于，， 若，则，无整数解．∴，，不可能是新等差数列相邻三项， 因此插在，，之间，是新等差数列的第2项或第3项， 若，不合，舍去， 若，则，无整数解． 时，分别为，则成等差数列，， 时，分别为，则成等差数列，成等差数列，∴或． 综上所述，存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，时，，时，或． 变式4-4已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，则在数列中是否存在不同的三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在这样的三项，理由： ， 假设存在三项，，成等比数列，且， 则，即，整理得． 由得， 代入得， 整理得，即，与矛盾，故不存在这样的三项． 【分析】（1）根据等差、等比数列的性质以及通项公式求解； （2）利用错位相减求解； （3）假设其存在，根据等比数列的定义以及化简可得推出矛盾即可. 【详解】（1）设公差为，由得， 又，故，所以． 设公比为，由且， 得，解得（舍），故． （2）由（1）知，，则， ． 两式相减得． 故． （3）略 题型五、数列中的新定义问题 典例5-1 定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，数列是首项为1，公差为2的等差数列，则， 所以. 典例5-2 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，，其中常数． (1)当时，写出、的值； (2)证明：是等比数列； (3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 【答案】(1)， (2) 由，得，则， 又因为， 所以． 又，，且， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． (3)，， 【分析】（1）当时，，利用递推公式可求得、的值； （2）利用等比数列的定义可证得结论成立； （3）由（2）可求出数列的通项公式，可求出，结合“等差等比混合数列”的定义可求得结果. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，． （2）略 （3）由（2）可知． 又因为，所以， 所以， 又因为，所以． 因为为“等差等比混合数列”，则存在一个等差数列一个等比数列使得 ，且，， 所以对任意的恒成立， 所以，故，此时，所以， 若数列为“等差等比混合数列”，即存在，， 使得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 所以可拆分成一个等差数列，一个等比数列． 题型模版 1.特征：给题目给出教材没有见过的全新数列概念，给出文字或者式子定义；不直接考等差、等比固有公式。 常见考法：读懂新定义，判断数列是否满足该定义；求通项；求和；证明性质；是否存在满足定义的参数；结合不等式、不定方程综合设问。 核心难点：剥离陌生名词，抓准定义里面的等式、约束条件 2.方法：①精读定义，圈画关键条件：等式关系、项数范围、正负、整数要求，区分充分条件和必要条件。②翻译文字定义，转化成数学关系式，把“新名词” 替换成题干给的数列。③结合已有等差、等比、递推、求和知识，对翻译后的式子变形推导。④若是判断型：逐条对照定义全部条件，全部满足才成立，有一条不满足则否定。⑤若是存在性问题：转化为方程或者不等式，结合正整数约束求解；求出结果后必须回套新定义再核验一遍 变式5-1对于数列，定义，称新数列为数列的一阶差分数列；定义，称新数列为数列的二阶差分数列．若（为常数，），则称数列是二阶等差数列．已知是二阶等差数列，，，，则（    ） A．2528 B．5056 C．3578 D．7156 【答案】C 【分析】此题是等差数列的新定义题型，根据题型分析可得，的一阶差分数列为公差为的等差数列，利用等差数列通项公式，求出的通项，再利用累加法求出的通项，最后求和即可. 【详解】由题意可知，，则，故，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故，即， 由累加法可得，当时，． 所以， 故选:C． 变式5-2定义：设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为“和公比”.已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件计算数列的通项公式，利用错位相减法可得，把不等式等价变形，结合恒成立可得的取值范围. 【详解】设数列的公差为，， ∵是“和等比数列”，且，∴，， ∴故，解得或（舍）， ∴，， ∴，， 两式相减得， ∴， ∴， 若不等式对任意的恒成立， 则，化简得恒成立， 令，当时，， ∴，， ∴是递减数列，故在上单调递增， 当为奇数时，，解得， 当为偶数时，，解得， ∴的取值范围是. 故选：D. 变式5-3定义：若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”． (1)若数列的通项为，证明：数列为“数列”： (2)若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，； (3)若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，使得数列为等差数列． 【答案】(1)由，可得，， 所以， 所以对任意n∈N*，． 又数列为递减数列，对任意n∈N*，， 取，则对任意n∈N*，， 所以数列为“T数列”； (2)假设存在正整数，使得， 由数列的各项均为正整数，可得， 由，得， 且， 同理可得，， ， 依次类推，可得， 因为是正整数，设， 在中取，得， 与数列的各项均为正整数矛盾． 所以对任意，； (3)因为数列为“T数列”， 所以存在常数M，对任意n∈N*，，设 由（2）可知，对任意，， 所以 若，则，若，则， 又时， 所以中至多有项大于或等于1，否则，与矛盾， 所以存在，对任意，有， 所以对任意，， 所以存在，使得数列为等差数列． 【分析】（1）根据，及 ，取，可证数列为“T数列”； （2）假设存在正整数，使得，得，由，得，且，依次类推，可得，设，得，与已知矛盾； （3）设由（2）可知，，若，则，若，则，由时， 可得中至多有项大于或等于1，否则，与矛盾， 进而得对任意，有，，故存在，使得数列为等差数列． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】因， 则 数列呈周期性：，最小正周期为4， 故的前2026项和为. 2．对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2028 D． 【答案】C 【分析】根据新定义利用作差法求得，再由等差数列前项和公式计算求解. 【详解】由已知，所以， 所以， 时，， 两式相减得， 所以，也适合，所以是等差数列， 所以 所以. 3．已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项，按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（   ） A．750 B．800 C．850 D．832 【答案】B 【分析】先分别写出两个数列的通项公式，然后找出公共项的规律，确定新数列的首项、公差等，最后利用数列求和公式求出新数列的和. 【详解】数列是首项，公差的等差数列， 其通项公式为. 数列是首项，公差的等差数列， 其通项公式为.   设，即，化简可得. 因为、为正整数，所以必须是的倍数，设（）. 将代入的通项公式，可得，所以新数列的通项公式为. 当时，，所以新数列首项为.新数列的公差. 令，即，，，因为为正整数，所以最大取16，即新数列有16项. 根据等差数列求和公式，这里，，. 则. 故选：B. 4．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，设，在数列的相邻两项之间插入个3，得到新的数列，记数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为（    ） A．346 B．347 C．515 D．516 【答案】D 【分析】首先根据已知条件求出和，进而得到数列然后分析数列的构成，计算出数列中前k组的项数和前k组的和，通过比较前k组的和与2026的大小关系，确定k的值，最后求出使成立的n的最小值即可求解. 【详解】由题可知，，所以， 数列是在数列的相邻两项之间插入个3得到的， 那么数列中前k组共有项， 根据等比数列求和公式可得， 所以前k组共有项， 前k组的和为， 因为， ， 所以前k组的和为， 当，前8组共有项，前8组的和为， 当，前9组共有项，前9组的和为， 求使成立的n的最小值 因为，所以n的最小值在第9组中。 从第263项开始到第518项都是3，第519项是，， 即从第263项开始往后数254个3， 此时. 故选：D. 5．（多选）已知数列，，（），则（  ） A． B．数列是等差数列 C．，n为奇数 D．，n为偶数 【答案】ABD 【详解】，，则令，解得， 又，两式相减，， 即数列是等差数列，故B正确； 由，可知数列的奇数项是以为首项，3为公差的等差数列； 偶数项是以0为首项，3为公差的等差数列， 当为奇数时，设，则，故C错误； 当为偶数时，设，则，故D正确； ，故A正确． 6．（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 7．设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】由和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得，再由题意得到求得k，即可求解. 【详解】由，可得， 解得， 当时，， 即， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列， 所以， 设是的第m项，则， 因为， 所以不是中的项， 因为， 所以是中的项， 所以 所以. 故答案为：. 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 【答案】2 【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解. 【详解】由题意可得，， 所以数列是以3为周期的数列，又，所以. 9．已知数列满足，在之间插入个，连同的项构成数列，则数列的前200项的和为__________. 【答案】813 【分析】根据递推公式和等差数列的定义与通项公式可得，进而可知数列的前200项的和为前18组所有数的和加上第19组前11个数的和，记，求出插入的所有项的和即可. 【详解】依题意， 即，整理得， 所以，即， 则为公差为4的等差数列，所以.的前项的和为, 记连同后面插入的个为1组，则第组有个数， 由于， 当时，当时， 所以数列的前200项的和为前18组所有数的和加上第19组前11个数的和， 数列前200项中的项有19项，这19项的和为， 记，当为奇数时，当为偶数时， 则插入的所有项的和为， 所以数列的前200项的和为. 故答案为：813 10．在一个数列的每相邻两项之间插入它们的等差中项，整个数列按照原来的顺序得到一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．下面对数列1，3，7按照上述方法进行“扩展”，第1次“扩展”后得到数列1，2，3，5，7，第2次“扩展”后得到数列1，，2，，3，4，5，6，7．设第次“扩展”后得到的数列项数为，所有项的和为，记为不超过的最大整数，则______． 【答案】2029 【分析】先列出数列和数列的递推关系，然后根据构造法求出与的通项公式，最后根据对数的运算性质即可求解. 【详解】初始数列（0次扩展）项数为，每次扩展时，在原数列的每相邻2项之间插入1个新数： 第次扩展后项数为，则相邻项共对，第次扩展新增项， 因此递推关系为： ， 初始条件，构造等比数列：， 可得，即： . 设第次扩展的和为，第次扩展时，每对相邻项插入等差中项， 所有新增项的和为全部相邻项和的： 原数列首尾两项固定为1和7，所有相邻项总和， 因此新增项和为， 递推关系为：， 初始条件，构造等比数列：， 可得，即： . 代入： ， 显然，因此， 取不超过该值的最大整数得结果为. 11．已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明：当时，，结论成立， 当时，， 所以， 综上所述，. 【分析】（1）首先求得，由累加法即可求解； （2）不妨设，分，两种情况讨论即可求解； （3）当时，结论显然成立，当时，通过放缩法以及裂项即可得证. 【详解】（1）由题意可知，即，故， 由，可得， 所以数列的公差，所以， 由， 叠加可得， 整理可得，当时，满足上式， 所以； （2）不妨设，即，可得， 当时，，不合题意， 当时，， 所以在数列中均存在公共项， 又因为，所以. （3）略 12．数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1) 设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）略 （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 13．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式； （2）由（1）知，得为奇数时，，当为偶数时，，，令，，通过错位相减法分别求得即得； （3）由（1）知，通过放缩法结合裂项求和即可得证. 【详解】（1）当时，， 而满足上式， 所以. （2）当为奇数时，，当为偶数时，， 所以， 令， 则， ， 两式相减，得 ， 故. 而， ， 两式相减，得， 故， 故. （3）证明：由题知 ， 所以 ，即命题得证. 14．已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，，，. (2)①，； ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以. 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即，化简得. 又因为，所以， 可得，即， 又因为，代入可得， 化简得，则有，即，这与题设矛盾. 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为， 则，，，，. （2）①由，得，易得，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②略 15．定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”. (1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式. (2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列； (3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式. 【答案】(1)， (2) 由数列是“对称等差数列”， 故对任意，， 则对任意，，即， 则成立，即， 所以（为常数）， 故是等差数列； 由，即， 故同理可得是等差数列. (3) 【分析】（1）由“对称等差数列”，可得，再利用等差数列定义求解即可； （2）由“对称等差数列”的定义，可得，再利用等差数列定义证明即可； （3）“对称等差数列”的定义，可得，再利用等差数列定义与求和公式求解即可. 【详解】（1）因为数列是“对称等差数列”， 所以对任意，， 可得，即， 则（为常数），故为等差数列， 由，，得公差，则， 且； （2）略 （3）由数列是“对称等差数列”， 所以对任意，都有， 则对任意，，即， 所以， 则数列是等差数列，且首项为，第项为， 由数列的前项和， 则有， 可得， 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列中的公共项、插入项、不定方程及新定义问题五类压轴题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数列中的公共项问题 题型二、数列中的插入项问题 题型三、数列中的奇偶项问题 题型四、数列中的不定方程问题 题型五、数列中的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线数列公共项、插入项及新定义是高中数列板块的压轴题型，所有题型均围绕项的筛选、下标约束、整数分析、题意翻译、规律识别五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是公共项问题要保证项的下标都为正整数，二是插入项分清原有数列和新增项的位置次序，三是奇偶项问题看清项数对应奇偶分类，四是不定方程重点抓住整数限制条件，五是新定义题型务必读懂题干规则再做题，算出结果之后带回原题检验是否满足全部条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数列中的公共项问题 典例1-1已知两个无穷等比数列、的公比分别为，：数列与数列有无穷多个公共项；，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例1-2在等差数列中，，，，成公比不为1的等比数列，是的前n项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A．1 B． C． D． 典例1-3已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 题型模版 1.特征：给出两个已知数列（等差、等比为主），求同时属于两个数列的项，即公共项；常见考法：求公共项、求公共项构成新数列的通项、求公共项的项数、公共项求和。 两个数列都可以写出通项，公共项要同时满足两个通项表达式 2.方法：①设公共项为t，t既属于an又属于bm，即存在正整n,m，使得an=bm。②建立等式，整理成不定方程，问题转化为找这个方程的全部正整数解。③分析方程约束条件，结合整除、奇偶、模运算，筛选出满足条件的正整数。④把筛选得到的公共项依次写出，观察公共项构成的新数列，写出新数列通项。 ⑤若要求和，再对公共项组成的新数列求和 变式1-1设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 变式1-2等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（   ） A． B． C． D． 变式1-3若已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 变式1-4已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 类型二、数列中的插入项问题 典例2-1在数列的每相邻两项之间插入这两项中后一项的3倍与前一项之差，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.则第6次拓展得到的数列的项数为________. 典例2-2数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列．现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列，进行构造，第1次得到数列，，；第2次得到数列，，，，；…记第次得到数列的项数为，如，，则___________（用含的式子表示）；记第次得到数列的所有项的和，如，，则___________．（用含的式子表示） 典例2-3等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 题型模版 1.特征：在已知数列（等差、等比居多）的两项中间，插入若干个数，按照给定规则生成全新数列； 常见考法：确定插入后新数列项、求新数列通项、求指定项、求前N项和、判断某一项属于原数列还是插入项。核心难点：分清哪些是原来的旧项，哪些是后来插入的项，理清项的位置下标 2.方法：先①审题，明确插入规则：原数列相邻两项之间插入几个数，插入的数遵循等差还是等比。 ②统计：原数列第k项到第k+1项之间，包含原项2个，插入若干个，算出这一组总项数。③定位下标：新数列里面，原数列的每一项出现在新数列的哪个位置，写出位置关系式。④两类问题处理：情况A：求新数列中某指定下标的项分组计数，判断该项落在哪一个“原项插入项”组内；判断它是原数列的项，还是插入进去的项，再套用等差/等比计算数值。 情况B：求新数列前N项和把前N项拆成两部分：保留下来的原数列的项+多组插入的子数列；分别求和再相加。注意：末尾一组经常是不完整，插入项不一定取满，要单独算剩余部分 变式2-1在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 变式2-2现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为；；记第n次得到的新数列为，且．当时，______；使的最小正整数n的值为______． 变式2-3已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列的通项公式为___________；若是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前n项和=_______________． 变式2-4已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 题型三、数列中的奇偶项问题 典例3-1已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 典例3-2已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 典例3-3已知数列中，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列中，，求的前项和． 题型模版 1.特征：一递推公式分段给出，按照n是奇数、偶数执行不同运算；也包括通项本身分段、求和时分奇偶讨论。 常见考法：求通项、求前2n项和、前2n-1项和、求参数、证明不等式。核心：奇数项自成子数列，偶数项自成子数列，两个子数列大多分别为等差或者等比 2.方法：①区分下标奇偶：令n取奇数，推导奇数项子数列；令n取偶数，推导偶数项子数列。②换元改写下标：设k为正整数，奇数项：a2k-1； 偶数项：a2k。③分别求出奇数项子数列、偶数项子数列的通项。④还原回原数列通项，写成分段形式。⑤求和两类情况：情况A：求前偶数项和S2n前2n项包含n个奇数项，n个偶数项；奇数项子数列求前n项和，偶数项子数列求前n项和，两部分相加。 情况B：求前奇数项和S2n-1一共2n-1项，有n个奇数项，n-1个偶数项；分别求和再相加 变式3-1大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 变式3-2已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 变式3-3已知为数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和；；，且；； (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)证明： 题型四、数列中的不定方程问题 典例4 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求，并判断是否存在正整数使得，，成等差数列，若存在，请求出的值，不存在请说明理由. 题型模版 1.特征：依托数列通项建立等式，等式里面含有两个或多个正整数未知数，未知数代表数列项数；题目设问多为是否存在正整数，求全部解，求参数取值。常见考法：公共项衍生不定方程、是否存在项满足等式、项的和或积为定值、子数列存在性问题。 约束条件：未知数必须是正整数，这是解题核心，不能当成实数解方程 2.方法：①根据题意列出等式，整理不定方程，未知数限定为正整数。②变形方程，常用手段：因式分解、分离变量、整除分析、奇偶分析、放缩估范围。③缩小未知数取值范围：利用正整数的大小关系，确定其中一个未知数有限的试值区间。④在有限范围内枚举检验，找出全部符合条件正整数解。 ⑤把解代回题干，验证是否满足数列本身条件，舍去增根。 四类高频处理手段 手段一：因式分解。把方程整理成两个整数乘积等于常数，枚举全部正整数因数组合，配对得到解。手段二：分离参数。把其中一个未知数单独放到等式一侧，另一侧式子结果必须为正整数，据此找条件。手段三：整除分析。等式一边为整数，另一边分式必须整除，分析余数、模的性质，筛选符合条件。手段四：放缩估界。利用不等式判断未知数的上下限，把无限多可能压缩成少数几个值，再枚举 变式4-1设数列的前项和为，． (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式，并判断中是否存在三项成等差数列？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 变式4-2已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）请判断是否存在正整数，，（），使得，，，成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，请说明理由. 变式4-3已知：公差不为零的等差数列，其前项和为，，等比数列的前三项分别是，，. （1）求数列的前项和； （2）设，是否存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由. 变式4-4已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，则在数列中是否存在不同的三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 题型五、数列中的新定义问题 典例5-1 定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 典例5-2 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，，其中常数． (1)当时，写出、的值； (2)证明：是等比数列； (3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 题型模版 1.特征：给题目给出教材没有见过的全新数列概念，给出文字或者式子定义；不直接考等差、等比固有公式。 常见考法：读懂新定义，判断数列是否满足该定义；求通项；求和；证明性质；是否存在满足定义的参数；结合不等式、不定方程综合设问。 核心难点：剥离陌生名词，抓准定义里面的等式、约束条件 2.方法：①精读定义，圈画关键条件：等式关系、项数范围、正负、整数要求，区分充分条件和必要条件。②翻译文字定义，转化成数学关系式，把“新名词” 替换成题干给的数列。③结合已有等差、等比、递推、求和知识，对翻译后的式子变形推导。④若是判断型：逐条对照定义全部条件，全部满足才成立，有一条不满足则否定。⑤若是存在性问题：转化为方程或者不等式，结合正整数约束求解；求出结果后必须回套新定义再核验一遍 变式5-1对于数列，定义，称新数列为数列的一阶差分数列；定义，称新数列为数列的二阶差分数列．若（为常数，），则称数列是二阶等差数列．已知是二阶等差数列，，，，则（    ） A．2528 B．5056 C．3578 D．7156 变式5-2定义：设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为“和公比”.已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式5-3定义：若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”． (1)若数列的通项为，证明：数列为“数列”： (2)若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，； (3)若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，使得数列为等差数列． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 2．对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2028 D． 3．已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项，按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（   ） A．750 B．800 C．850 D．832 4．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，设，在数列的相邻两项之间插入个3，得到新的数列，记数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为（    ） A．346 B．347 C．515 D．516 5．（多选）已知数列，，（），则（  ） A． B．数列是等差数列 C．，n为奇数 D．，n为偶数 6．（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 7．设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为__________． 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______． 9．已知数列满足，在之间插入个，连同的项构成数列，则数列的前200项的和为__________. 10．在一个数列的每相邻两项之间插入它们的等差中项，整个数列按照原来的顺序得到一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．下面对数列1，3，7按照上述方法进行“扩展”，第1次“扩展”后得到数列1，2，3，5，7，第2次“扩展”后得到数列1，，2，，3，4，5，6，7．设第次“扩展”后得到的数列项数为，所有项的和为，记为不超过的最大整数，则______． 11．已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 12．数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 13．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 14．已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 15．定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”. (1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式. (2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列； (3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $