专题04 数列求和问题（含放缩）七类综合题型（压轴题专项训练）数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦数列求和七大题型，以“通法引领-题型精析-压轴突破”构建体系，提炼五大核心方法与变式技巧，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1（含5大核心）|倒序相加、裂项相消等五法，明确符号、项数等底线原则|从基础求和原理到共性方法归纳| |题型归纳|7类（每类含典例+3变式）|每题型含特征识别、步骤模板（如裂项“拆分-抵消-验证”）|从单一方法到综合应用，如裂项分常规/裂和型| |压轴挑战|15题（含多选/解答）|放缩法证明不等式、恒成立问题转化|从求和到与函数/不等式结合的高阶应用|

专题04 数列求和问题（含放缩）七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用倒序相加法求和 题型二、利用裂项相消法（常规）求和 题型三、裂和型裂项相消求和 题型四、利用分组转化法求和 题型五、利用并项求和法求和 题型六、利用错位相减法求和 题型七、数列求和与不等式证明及恒成立、有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数列求和是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕倒序相加、裂项相消、分组转化、并项处理、错位相减五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是裂项求和注意拆分前后项要匹配抵消，二是错位相减仔细处理相减之后项数与符号，三是分组并项要看清总项数的奇偶情况，四是数列和不等式问题分清恒成立与有解的区别，所有求和结果均需代入少量项验证是否和原式计算保持一致 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用倒序相加法求和 典例1 若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 题型模版 1.特征：数列首尾配对相加，每一对的和都等于同一个常数； 经常与函数性质结合，条件给出f(x)+f(1-x)=定值；数列本身无等差、等比直接特征，不能直接套用等差等比求和公式 2.方法：①设所求的和为S，正常顺序写出求和式子； ②把整个求和式子倒过来，顺序颠倒再写一遍； ③上下两式对应位置两两相加，每一组配对得到固定常数； ④统计一共有多少组，算出两式相加之后的总和； ⑤两边同时除以2，得到S； ⑥简单代入验算，核对结果. 变式1-1已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 变式1-2已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式. 变式1-3已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 类型二、利用裂项相消法（常规）求和 典例2 已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 题型模版 1.特征：通项为分式或者根式，能够拆解成两个代数式的差；求和时中间大量项可以相互抵消，最后只余下有限个首尾项；不能直接套用等差、等比求和公式。分母常为两个（或多个）因式乘积，根式分母含有共轭根式 2.方法：①拆分通项，把an拆成两项之差，注意补上裂项带来的固定系数；②写出前n项展开形式，逐项展开；③观察抵消规律，分清哪些项消掉，哪些项保留；重点看清向前消、向后消的项数，不要漏项、多留项；④合并保留的少数首尾项，化简得到前n项和Sn；⑤取n=1或n=2代入验算，验证结果 附：常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4） （5）：（6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 变式2-1在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 变式2-2已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项 （1）求数列{an}通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn. 变式2-3已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 题型三、裂和型裂项相消求和 典例3 已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型模版 1.特征：本类模型典型标志在通项中含有或者某个三角函数乘以一个分式 2.方法：.①对通项变形，拆成两个式子相加：an=A(n)+A(n+1)；②展开写出前若干项，逐项展开；③观察错位抵消规律，一部分与下一项的部分抵消；④整理剩余的开头、末尾少数项，化简得到Sn；⑤代入n=1,2验算结果 附： （1）， （2）对于可以裂项为 （3） 。 变式3-1若，数列满足，的前n项和为，求 变式3-2已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 变式3-3已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型四、利用分组转化法求和 典例4-1 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)记，求数列的前项和. 典例4-2已知数列的前n项和，且，数列满足，其中． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前20项和． 题型模版 1.特征：数列通项可以拆成两个或多个简单数列相加、相减；拆开之后分别是等差、等比、常数列等熟悉可求和数列；整体既不是等差，也不是等比，无法直接套用求和公式。常见形式：an=等差+等比，an=等比+等比，含(-1)n的奇偶分段数列 2.方法：①若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和 ②若数列的通项公式为绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 ③若数列的通项公式为分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 变式4-1已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 变式4-2已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式4-3已知数列的前n顶和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前n项和. 题型五、利用并项求和法求和 典例5 已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 题型模版 1.特征：通项带有(-1)n、交替正负；单独每一项不好求和，把相邻两项两两捆绑合并之后，可以化为简单等差或者常数；整体数列无统一等差、等比性质。常见：奇偶交替、正负交替的递推数列，题目经常求前偶数项和、前奇数项和 2.方法：①写出求和展开式，按顺序写出连续多项； ②把相邻两项分为一组，进行配对并项计算； ③求出每一组合并之后得到的常数或者简单表达式； ④统计一共有多少组，计算全部组的总和； ⑤若是求前奇数项和，可以先算前偶数项的和，再加上最后单独剩余的那一项； ⑥化简得到结果，代入小数值验算 变式5-1已知为数列的前项和，且，，则__________． 变式5-2已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 变式5-3已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 类型六、利用错位相减法求和 典例6 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型模版 1.特征：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解 2.方法：错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 变式6-1设数列的前n项和，满足，且． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 变式6-2已知数列中，，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 变式6-3已知函数．数列满足，数列满足， (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和． 类型七、数列求和与不等式证明及恒成立、有解问题 典例7 已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 题型模版 1.特征：先求数列前n项和（裂项、错位相减、分组、并项等），再结合不等式；分为三类：不等式证明、恒成立问题、存在有解问题；很多时候求和无法求出精确表达式，要用到放缩法 2.方法：①不等式证明 情况A：可以求出精确Sn 求出Sn的解析式，直接代数变形，结合n判断范围，完成大小证明。 情况B：不能精确求和，需要放缩 把通项an放大或者缩小，变成可以裂项求和的形式，求和之后再证不等式；注意放缩尺度，不能放得过大或者过小。 ②恒成立问题与有解（存在）问题 先研究数列Sn单调性，判断最大、最小值，得到参数范围。 ③分清恒成立与有解的逻辑区别，不要搞反最值；⑤最后检验，代入小项数验证边界。 易错提醒 1.放缩证明不等式，放缩方向不能搞反；2.Sn是离散数列，n取正整数，不要直接当成连续函数求导；3.等号能否取到，参数端点是否可取，是高频易错点；4.恒成立、有解最容易混淆，注意区分“任意” 和 “存在” 附常用放缩公式： 一、等差型 （1）； （2）； （3）； （4）； 二、根式型 （5）； （7）； （8） ； （9） ； 三、指数型 （10）； （11）； （12）； （13）． （14）． 变式7-1已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 变式7-2已知正项数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 变式7-3已知公比的绝对值大于的无穷等比数列中的前三项恰为,,,中的三个数,为数列的前n项和. (1)求通项公式和前n项的和; (2)设数列的前n项和为,求证:. 变式7-4已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 3．已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（     ） A． B． C． D． 4．数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）记为数列的前项和，，设，则（   ） A． B．数列的前2026项和为 C．数列的前2026项和为 D．若数列的最大值为，则的值为 7．已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 8．设数列的前n项和为，已知首项，且满足，则______． 9．．若数列满足，则其前2025项的和为________． 10．设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________． 11．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 12．已知是数列的前项和，．且 (1)求的通项公式； (2)设，已知数列满足，求的前项的和 13．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，求数列前项和． 14．已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 15．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列求和问题（含放缩）七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用倒序相加法求和 题型二、利用裂项相消法（常规）求和 题型三、裂和型裂项相消求和 题型四、利用分组转化法求和 题型五、利用并项求和法求和 题型六、利用错位相减法求和 题型七、数列求和与不等式证明（放缩）及恒成立、有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数列求和是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕倒序相加、裂项相消、分组转化、并项处理、错位相减五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是裂项求和注意拆分前后项要匹配抵消，二是错位相减仔细处理相减之后项数与符号，三是分组并项要看清总项数的奇偶情况，四是数列和不等式问题分清恒成立与有解的区别，所有求和结果均需代入少量项验证是否和原式计算保持一致 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用倒序相加法求和 典例1 若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 题型模版 1.特征：数列首尾配对相加，每一对的和都等于同一个常数； 经常与函数性质结合，条件给出f(x)+f(1-x)=定值；数列本身无等差、等比直接特征，不能直接套用等差等比求和公式 2.方法：①设所求的和为S，正常顺序写出求和式子； ②把整个求和式子倒过来，顺序颠倒再写一遍； ③上下两式对应位置两两相加，每一组配对得到固定常数； ④统计一共有多少组，算出两式相加之后的总和； ⑤两边同时除以2，得到S； ⑥简单代入验算，核对结果. 变式1-1已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 变式1-2已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为， . 故….① ….② ①+②，得，. 所以数列的通项公式为. 变式1-3已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推关系求解数列的通项公式； （2）由及倒序相加求数列的和． 【详解】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 类型二、利用裂项相消法（常规）求和 典例2 已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 【答案】 . 【详解】依题意，设，，，又， 又，， 所以，解得， 则，即有， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则； 所以， 则数列的前n项和. 故答案为：；. 题型模版 1.特征：通项为分式或者根式，能够拆解成两个代数式的差；求和时中间大量项可以相互抵消，最后只余下有限个首尾项；不能直接套用等差、等比求和公式。分母常为两个（或多个）因式乘积，根式分母含有共轭根式 2.方法：①拆分通项，把an拆成两项之差，注意补上裂项带来的固定系数；②写出前n项展开形式，逐项展开；③观察抵消规律，分清哪些项消掉，哪些项保留；重点看清向前消、向后消的项数，不要漏项、多留项；④合并保留的少数首尾项，化简得到前n项和Sn；⑤取n=1或n=2代入验算，验证结果 附：常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4） （5）：（6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 变式2-1在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可得数列的前项和． 【详解】（1）由及，得， 两式相减，得， 即， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），得， 所以. 变式2-2已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项 （1）求数列{an}通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由是的等差中项得， 所以， 解得. 由得， 因为，所以. 所以 （2）记 则 所以 。 变式2-3已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 题型三、裂和型裂项相消求和 典例3 已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式； （2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. 【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，， 当为奇数时，. 题型模版 1.特征：本类模型典型标志在通项中含有或者某个三角函数乘以一个分式 2.方法：.①对通项变形，拆成两个式子相加：an=A(n)+A(n+1)；②展开写出前若干项，逐项展开；③观察错位抵消规律，一部分与下一项的部分抵消；④整理剩余的开头、末尾少数项，化简得到Sn；⑤代入n=1,2验算结果 附： （1）， （2）对于可以裂项为 （3） 。 变式3-1若，数列满足，的前n项和为，求 【答案】. 【详解】由题可得， 所以 变式3-2已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以 所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得 变式3-3已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 题型四、利用分组转化法求和 典例4-1 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)利用等比中项性质列方程求解公差，再代入等差数列通项公式、前项和公式计算即可； (2)将拆分为裂项相消型和等比型两部分，分别求和后相加得到. 【详解】（1）由题可知， 因为，，成等比数列，所以， 解得或（因为，所以舍去）， 所以，； （2）由（1）可知， 所以 . 典例4-2已知数列的前n项和，且，数列满足，其中． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前20项和． 【答案】（1）， （2） 【详解】（1）对于，当时，， 当时，由得， 两式相减得，由于， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以. 对于，， 所以， 也符合上式，所以. （2）当为奇数时，；， 所以. 当为偶数时，； 所以 . 所以. 题型模版 1.特征：数列通项可以拆成两个或多个简单数列相加、相减；拆开之后分别是等差、等比、常数列等熟悉可求和数列；整体既不是等差，也不是等比，无法直接套用求和公式。常见形式：an=等差+等比，an=等比+等比，含(-1)n的奇偶分段数列 2.方法：①若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和 ②若数列的通项公式为绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 ③若数列的通项公式为分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 变式4-1已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 【答案】B 【详解】因为， 则． 故选：B． 变式4-2已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】（1）。（2） 【详解】（1）由， 得（）， 两式相减得， 即（）， 所以当时，， 经检验也符合上式， 故； （2）由题意， 记，则数列的前项和， 所以，当时，， 当时，， 综上， 变式4-3已知数列的前n顶和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)，. 【分析】 【详解】（1）当时，可得：； 当时，，， 两式相减，得，即， 所以当时，是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以， 因为不满足上式， 所以 （2）当时，； 当时，，所以， ∴ ， 时，，上式也成立. ∴，. 题型五、利用并项求和法求和 典例5 已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，即 所以时， ， 所以（）， 又，所以. （2）因为， 所以 . 题型模版 1.特征：通项带有(-1)n、交替正负；单独每一项不好求和，把相邻两项两两捆绑合并之后，可以化为简单等差或者常数；整体数列无统一等差、等比性质。常见：奇偶交替、正负交替的递推数列，题目经常求前偶数项和、前奇数项和 2.方法：①写出求和展开式，按顺序写出连续多项； ②把相邻两项分为一组，进行配对并项计算； ③求出每一组合并之后得到的常数或者简单表达式； ④统计一共有多少组，计算全部组的总和； ⑤若是求前奇数项和，可以先算前偶数项的和，再加上最后单独剩余的那一项； ⑥化简得到结果，代入小数值验算 变式5-1已知为数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 / 【分析】解法一：由递推关系，构造新的等比数列，得到数列的通项公式，从而求该数列的前项和. 解法二：由结合并项求和法以及等比数列的求和公式即可求出的值. 【详解】解法一：，则， 令，有， 又，， 数列是一个首项为，公比为的等比数列， ，所以， . 解法二：因为，， 所以，数列的前项和为 . 变式5-2已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2)100. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得， 而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列， 通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 变式5-3已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 类型六、利用错位相减法求和 典例6 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由于，利用错位相减法，分别写出和的表达式，两式相减即可计算． 【详解】（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以． （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 题型模版 1.特征：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解 2.方法：错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 变式6-1设数列的前n项和，满足，且． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：，， 两式相减得， 又且，解得， 所以， ， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． (2) 【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系，利用相减法得与的递推关系式，从而结合等比数列的定义证明结论； （2）利用错位相减法求解数列的前n项和即可． 【详解】（1）略. （2）由（1）知，，，， （1） （2） （1）-（2）得， . 变式6-2已知数列中，，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：（1）由， 得， ，   又， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列. (2) 【分析】（1）根据与的递推关系，对递推式两边同乘，推导与的差为常数，再验证首项符合等差数列定义即可； （2）根据（1）得到，进而得到，解法一：根据错位相减法求解；解法二：设，可得，再裂项相消求和即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知数列首项，公差为1， 故 ，．    记的前项和为. 解法一： ①， ①两边同乘以得： ② ， 可得    得   解法二：设 则       . 变式6-3已知函数．数列满足，数列满足， (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意构造，得到，再构造等比数列求解即可. （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）， ，， 可得， ，， ，，又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，. （2）由题意得， 可得， 得到， ， . 类型七、数列求和与不等式证明及恒成立、有解问题 典例7 已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 【答案】(1) (2) (3)证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 【分析】（1）由题设可得，据此可得数列是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）结合错位相减法及题设可得答案； （3）由题设结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； （2） 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． （3）略 题型模版 1.特征：先求数列前n项和（裂项、错位相减、分组、并项等），再结合不等式；分为三类：不等式证明、恒成立问题、存在有解问题；很多时候求和无法求出精确表达式，要用到放缩法 2.方法：①不等式证明 情况A：可以求出精确Sn 求出Sn的解析式，直接代数变形，结合n判断范围，完成大小证明。 情况B：不能精确求和，需要放缩 把通项an放大或者缩小，变成可以裂项求和的形式，求和之后再证不等式；注意放缩尺度，不能放得过大或者过小。 ②恒成立问题与有解（存在）问题 先研究数列Sn单调性，判断最大、最小值，得到参数范围。 ③分清恒成立与有解的逻辑区别，不要搞反最值；⑤最后检验，代入小项数验证边界。 易错提醒 1.放缩证明不等式，放缩方向不能搞反；2.Sn是离散数列，n取正整数，不要直接当成连续函数求导；3.等号能否取到，参数端点是否可取，是高频易错点；4.恒成立、有解最容易混淆，注意区分“任意” 和 “存在” 附常用放缩公式： 一、等差型 （1）； （2）； （3）； （4）； 二、根式型 （5）； （7）； （8） ； （9） ； 三、指数型 （10）； （11）； （12）； （13）． （14）． 变式7-1已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为, 由①, 则②, 所以可得：， 故，. （2）由（1）知，，则时，， 所以              . 又由对一切恒成立,可得恒成立, 即有对一切恒成立. 当时,取得最大值，所以； 故实数的取值范围是. 变式7-2已知正项数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）由，得， 即，令， 有，， 又，故，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以有，即； （2）证明因为，，， 当且为偶数时， ， 化简得， 所以， 当且为奇数时，则且为偶数， 由上述证明可知， 又因为， 所以， 综上. 变式7-3已知公比的绝对值大于的无穷等比数列中的前三项恰为,,,中的三个数,为数列的前n项和. (1)求通项公式和前n项的和; (2)设数列的前n项和为,求证:. 【答案】（1），（2）见详解 【详解】（1）由已知中的前三项满足, 经计算只有满足题意, 故,,, 解得. 则,, 所以. （2）由题意得:,, ,. 所以求解的最大值也就是求解的最小值,即时的最大值,则为偶数,此时, 设,则数列为递减数列, 当时,最大且小于0,即最小值为, 则最大值为, 求解的最小值也就是求解的最大值,即时的最小值,则为奇数,此时, 设,则数列为递增数列, 当时,最小值为. 综上可知:. 变式7-4已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. （2）因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，. （3）因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推式得到相邻项比值，累乘法推出数列通项， 最后用裂项相消法求和，中间项全部抵消，快速算出前2026项和. 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得， 又＝1，所以（）， 因为＝1满足上式，所以， 因为， 所以. 2．已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【详解】， ∴，又， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，则． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 3．已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线可得，由已知得，再利用倒序相加法即可求的值. 【详解】因为，，三点在直线上，且， 所以.又因为为等差数列，所以 因为， 所以. 所以. 所以. . 所以. 所以. 4．数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 5．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 6．（多选）记为数列的前项和，，设，则（   ） A． B．数列的前2026项和为 C．数列的前2026项和为 D．若数列的最大值为，则的值为 【答案】ACD 【分析】利用已知关系和等比数列的公式法得到数列和的通项可得A；由裂项相消法可得BC，结合数列的单调性从初始值代入验证可判断D. 【详解】当时，，解得：； 当时，，， ，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ，， 对于A，，正确； 对于B，，所以前2026项和为，错误； 对于C，， 所以的前2026项和为，正确； 对于D，令，由于指数模型增长速度远高于一次型， 且当时，单调递减，且，可考虑从初始值代入验证最值进行判断： 当时，由，， 因，显然不成立； 当时，由，， 则有， 满足，符合题意； 如此验证当时，求出值后代入后均不成立.故D正确. 7．已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意求出，进而求出和的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解析：由可得，解得或（舍）， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. ∴， ∴. 8．设数列的前n项和为，已知首项，且满足，则______． 【答案】 【分析】由已知可证数列是首项为－1，公比为－1的等比数列，根据等比数列的通项公式可求，利用等比数列求和公式进行分组求和即可. 【详解】由题意，数列满足，即， 所以，则 又由，可得， 所以数列是首项为－1，公比为－1的等比数列． 所以，所以， 所以． 故答案为：. 9．．若数列满足，则其前2025项的和为________． 【答案】 【分析】取倒数，再结合等差数列求和公式结合累加法得出通项，最后裂项相消求和． 【详解】数列满足， 可得，， ， 所以， ， 所以， 所以， 可得数列的前2025项和:． 10．设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________． 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用构造法、累加法求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】在数列中，由，得， 由，，得， 因此数列是首项为，公差为的等差数列，， 当时， ，而满足上式，则， 于是， ，所以.. 11．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）将，代入函数解析式求，将，代入函数解析式求； （2）将相应的自变量值代入函数解析式化简即可求解； （3）借助（2）中的结论即可求解. 【详解】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以， 由（2）知， 所以. 12．已知是数列的前项和，．且 (1)求的通项公式； (2)设，已知数列满足，求的前项的和 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合变形，构造数列求解作答. （2）由（1）的结论，利用差角的正弦公式变形，再利用错位相减法求解作答. 【详解】（1）因为，，当时，， 两式相减得：，即，变形得， 于是得数列是常数列，因此，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 所以. 13．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，求数列前项和． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）类比题目中的和式再写出一个把换成的和式，然后与原来的和式作差即可求出结果； （2）利用（1）的结果求出，然后利用裂项相消法即可求和； （3）利用（1）的结果求出，然后分组利用错位相减法即可求出. 【详解】（1）， 当时，，即， 当时，， 得，即， 满足上式， 数列的通项公式为； （2）由（1）得， ； （3）由（1）知， 数列前项和 ， 令，    ， ，      ， 得 . 得 ， . 14．已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由累加法求的通项公式，由等比数列定义求的通项公式； （2）由等比数列求和公式、错位相减法即可求解； （3）求得，注意到，故可由作商法得的单调性，结合已知即可得解. 【详解】（1），时， ，所以， 而， 综上所述的通项公式为， 因为，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，从而； （2）由题意，所以， 所以， 所以； （3）令，则， 从而，注意到， 因为满足不等式的正整数的个数为3， 所以当且仅当的取值范围. 15．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1） 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； （2）由（1）可知，由错位相减得出； （3）设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 （2）可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. （3）设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $