专题09 一元二次不等式中根的分布问题三类综合题型（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第一册

专题09 一元二次不等式中根的分布问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的根与零的大小关系 题型二、一元二次方程的根与非零实数k的大小关系 题型三、一元二次方程的根在具体区间上的分布 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程根的分布是高中不等式板块的综合压轴题型，所有题型均围绕二次函数图像、开口方向、判别式、区间端点函数值、对称轴位置五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是先确认二次项系数是否为零，区分一次与二次函数；二是抓住数形结合，把根的范围转化为图像约束条件；三是判别式判断实根存在，无根情况直接排除；四是端点取值单独检验，不能直接套用不等式；五是多个条件联立取交集，算出结果后代回验证是否满足全部限制 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的根与零的大小关系 典例1-1 若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例1-2方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题目给出含参数的一元二次方程，要求根据两根和 0 的大小关系（一正一负根、两根都正、两根都负），求解参数取值范围；注意先要保证是二次方程，二次项系数不能等于 0 2.方法：①先判定方程类型：二次项系数不为0，确认是一元二次方程。 ②结合韦达定理判断两根乘积、两根之和，同时联立判别式大于0。 ③一正根一负根：只需要两根之积小于0（此时判别式必然大于0，不用额外验算判别式）。 ④两根均为正数：判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0。 ⑤两根均为负数：判别式大于0，两根之和小于0，两根之积大于0。 ⑥也可以转化为二次函数图像，利用零点分布思想，看x=0处函数值符号辅助判断 变式1-1若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-2一元二次方程有两个负根，则实数的范围为 A． B． C． D． 变式1-3若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-4已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 类型二、一元二次方程的根与非零实数k的大小关系 典例2-1 若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 典例2-2已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为______. 题型模版 1.特征：一元二次方程两根，一根大于常数m，一根小于常数m，也就是两个根分居在直线x=m两侧，求参数范围，属于零点分布的单侧跨点模型. 2.方法：①构造对应的二次函数，判断抛物线开口方向。 ②两根一个大于m，一个小于m，则直接代入x=m，函数值f(m)＜0。 ③满足f(m)＜0的条件时，图像必然和x轴交于两点，判别式自动大于0，不用额外写判别式。 ④解不等式，得到参数取值范围 变式2-1已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 变式2-2关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 变式2-3若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________．，，， 变式2-4已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 题型三、一元二次方程的根在具体区间上的分布 典例3 关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一元二次方程两个根全部落在同一个闭/开区间(p,q)内部，两根在区间里面，不是分居区间两侧，求参数范围。注意：这类不能只代端点函数值，必须同时满足4个条件 2.方法：（1）把构造二次函数，判断开口方向。 （2）列出全部约束条件：①判别式大于等于0，保证存在两个实数根；②对称轴落在区间(p,q)之内；③区间左端点的函数值符号；④区间右端点的函数值符号。 联立不等式组，求交集，得到参数范围 变式3-1若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）. A． B． C． D． 变式3-2关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 变式3-3若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-4已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 2．若方程只有正根，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 3．关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4．一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 7．设方程x2-mx+2=0的两根α，β，其中α∈（1，2），则实数m的取值范围是______． 8．已知方程在区间中有且只有一解，则实数k的取值范围是______. 9．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 10．关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 11．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 12．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 13．关于的方程的两个实根，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 14．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 15．若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元二次不等式中根的分布问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的根与零的大小关系 题型二、一元二次方程的根与非零实数k的大小关系 题型三、一元二次方程的根在具体区间上的分布 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程根的分布是高中不等式板块的综合压轴题型，所有题型均围绕二次函数图像、开口方向、判别式、区间端点函数值、对称轴位置五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是先确认二次项系数是否为零，区分一次与二次函数；二是抓住数形结合，把根的范围转化为图像约束条件；三是判别式判断实根存在，无根情况直接排除；四是端点取值单独检验，不能直接套用不等式；五是多个条件联立取交集，算出结果后代回验证是否满足全部限制 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的根与零的大小关系 典例1-1 若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B． 典例1-2方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 题型模版 1.特征：题目给出含参数的一元二次方程，要求根据两根和 0 的大小关系（一正一负根、两根都正、两根都负），求解参数取值范围；注意先要保证是二次方程，二次项系数不能等于 0 2.方法：①先判定方程类型：二次项系数不为0，确认是一元二次方程。 ②结合韦达定理判断两根乘积、两根之和，同时联立判别式大于0。 ③一正根一负根：只需要两根之积小于0（此时判别式必然大于0，不用额外验算判别式）。 ④两根均为正数：判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0。 ⑤两根均为负数：判别式大于0，两根之和小于0，两根之积大于0。 ⑥也可以转化为二次函数图像，利用零点分布思想，看x=0处函数值符号辅助判断 变式1-1若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解. 【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A． 变式1-2一元二次方程有两个负根，则实数的范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个负根可相等或不相等，可得；利用两根之和小于零，两根之积大于零，可构造不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】设的两个负根为 则，解得： 本题正确选项：． 变式1-3若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 变式1-4已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 类型二、一元二次方程的根与非零实数k的大小关系 典例2-1 若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程有两根，一个大于，另一个小于，所以 函数有两零点，一个大于，另一个小于， 根据二次函数图像可得:,即可求得答案. 【详解】因为方程有两根，一个大于,另一个小于，所以 函数 有两零点，一个大于，另一个小于，由二次函数的图像可知， ，即: 解得: 故选:A． 典例2-2已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】构造函数，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式，解不等式即可求实数k的取值范围． 【详解】关于x的方程有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数， ∵一根大于2，一根小于2，∴， ∴，解得. 则k的取值范围是. 故答案为：. 题型模版 1.特征：一元二次方程两根，一根大于常数m，一根小于常数m，也就是两个根分居在直线x=m两侧，求参数范围，属于零点分布的单侧跨点模型. 2.方法：①构造对应的二次函数，判断抛物线开口方向。 ②两根一个大于m，一个小于m，则直接代入x=m，函数值f(m)＜0。 ③满足f(m)＜0的条件时，图像必然和x轴交于两点，判别式自动大于0，不用额外写判别式。 ④解不等式，得到参数取值范围 变式2-1已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得． 变式2-2关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为． 变式2-3若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【答案】. 【分析】先根据判别式确定方程有两个不相等实根的条件，再结合二次函数的根分布和韦达定理，即可求解. 【详解】因为关于的方程的两个不相等的实数根， 所以，解不等式得， 设方程的两个根为，则根据韦达定理，可得，， 又方程的两个不相等的实数根均小于， 所以，展开得， 代入韦达定理的结果，得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 变式2-4已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用判别式和韦达定理并结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 题型三、一元二次方程的根在具体区间上的分布 典例3 关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 题型模版 1.特征：一元二次方程两个根全部落在同一个闭/开区间(p,q)内部，两根在区间里面，不是分居区间两侧，求参数范围。注意：这类不能只代端点函数值，必须同时满足4个条件 2.方法：（1）把构造二次函数，判断开口方向。 （2）列出全部约束条件：①判别式大于等于0，保证存在两个实数根；②对称轴落在区间(p,q)之内；③区间左端点的函数值符号；④区间右端点的函数值符号。 联立不等式组，求交集，得到参数范围 变式3-1若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数与一元二次方程之间的关系，需限定，区间两端点处函数值大于0，且对称轴在区间内部，解不等式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点， 所以需满足，解得； 所以可得的取值范围是. 故选：B． 变式3-2关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B． 变式3-3若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A．. 变式3-4已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 2．若方程只有正根，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】方程只有正根，先检验时的情况，然后再分析的情况，得到两根之和为正，两根之积为正，从而得出答案. 【详解】方程只有正根，则 当，即时， 当时，方程为时，，符合题意； 当时，方程为时，不符合题意. 故成立； 当，解得或， 则，解得. 综上得. 故选B． 3．关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围． 【详解】解：方程有两个实数根，△， ， 的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴 所以， 可得， 或， ， 故选：． 4．一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于一元二次方程有两个不等的非正根，则判别式大于零，两根之和小于零，两根乘积大于等于零，解不等式组可求出的范围 【详解】因为一元二次方程有两个不等的非正根， ， 解得， 故选：C 5．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程有两个负实根，则两根之和小于0．两根之积大于0，故可建立不等式组，从而可求实数的取值范围． 【详解】解：要原方程有两个负实根，必须： . 或 ∴实数的取值范围是. 故选：D. 6．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：.． 7．设方程x2-mx+2=0的两根α，β，其中α∈（1，2），则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m的取值范围． 【详解】∵方程x2﹣mx+2＝0的两根α，β，∴△＝m2﹣8≥0，求得m≥2，或 m≤﹣2①． 由α•β＝2，则， 则,则    ②． 由①②可得， 故答案为． 8．已知方程在区间中有且只有一解，则实数k的取值范围是______. 【答案】或 【分析】设，建立不等式组或，可得答案. 【详解】设，因为方程在内恰有一解， 则或符合题意，解得或. 又因为时，此时方程的根为,符合题意， 故答案为：或.． 9．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 10．关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果. 【详解】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以， 解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：， 解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：， 解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：． 11．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 12．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 13．关于的方程的两个实根，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】结合二次函数零点与根的分布即可求解. 【详解】（1）令，开口向上，对称轴为， 由，，则，解得， 所以的取值范围为. （2）由，则，解得， 所以的取值范围为. 14．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 15．若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $