专题01 集合含参问题（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦集合含参问题，按集合关系与运算分类题型，系统覆盖含参子集、交并补运算及混合问题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含参集合关系|7题|结合子集、包含关系求参数范围|从集合概念出发，通过数轴法直观分析参数对集合关系的影响| |含参并集运算|7题|已知并集结果反求参数值或范围|基于并集定义，分类讨论参数导致的集合边界变化| |含参交集运算|2题|由交集非空或为空确定参数取值|紧扣交集本质，通过元素关系建立参数不等式| |含参补集运算|5题|利用补集与全集关系求解参数|依托补集概念，转化为集合与全集的包含关系分析| |交并补混合运算|7题|综合运用多种运算处理复杂含参问题|整合集合运算逻辑，培养分类讨论与符号表达能力|

专题01 集合含参问题 题型一 含参的集合关系问题 题型二 含参数的并集运算问题 题型三 含参数的交集运算问题 题型四 含参数的补集运算问题 题型五 含参数的交、并、补集混合运算问题 题型一：含参的集合关系问题 1.设集合，，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.集合，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 或 3.已知集合，，若，关系如图所示，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知集合，，下列说法正确的是(    ) A. 不存在实数使得 B. 当时， C. 当时， D. 存在实数使得 5.设集合，或，则下列结论中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6.已知集合，． 求集合； 若，求实数的值． 7.已知 当时，写出集合的所有子集，共有多少个？ 若，求实数的取值范围． 题型二：含参数的并集运算问题 1.已知集合，，，则可能是(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，． 若是单元素集，求满足条件实数的值组成的集合； 若，，求实数的值． 3.已知集合，在下列条件下分别求实数的取值范围． ；   恰有两个子集；   ． 4.已知集合，集合． 若，求的值；  若，求的取值范围． 5.已知，． 若时，求； 时，求的取值范围． 6.已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是(    ) A. B. C. D. 6.已知集合，，若，则(    ) A. B. C. D. 7.或，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 题型三：含参数的交集运算问题 1.已知集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 2.已知集合，，若，则符合条件的实数的值组成的集合为(    ) A. B. C. D. 题型四：含参数的补集运算问题 1.设全集，，，则实数的值为(    ) A. B. 或 C. D. 2.设全集，，，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 3.设全集且若则实数           4.设全集为，或，，若，则的取值范围是            ． 5.设全集，集合若，则实数           ． 题型五：含参数的交、并、补集混合运算问题 1.已知全集，集合，集合，集合． 求， 若，求实数的取值范围． 2.已知集合，． 求； 若，求实数的取值范围． 3.已知集合，． 若，求集合； 设，若，求实数的值． 3.设全集，集合，． 求，； 若，且，求实数的取值范围． 3.已知集合，． 若，求； 若，求实数的取值范围． 4.已知集合，． 当时，求和； 若，求的取值范围． 5.已知集合，． Ⅰ求集合中的所有整数； Ⅱ若，求实数的取值范围． 6.设为实数，集合，． 当时，求； 若，求的取值范围． 7.已知集合，． 求集合； 若集合且，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合含参问题 题型一 含参的集合关系问题 题型二 含参数的并集运算问题 题型三 含参数的交集运算问题 题型四 含参数的补集运算问题 题型五 含参数的交、并、补集混合运算问题 题型一：含参的集合关系问题 1.设集合，，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考察利用集合包含关系求参数问题，属于基础题． 根据，结合数轴求出结果． 【解答】 解：，，， 2.集合，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查集合的包含关系判断及应用，属中档题． 由，可分和两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的值，并写成集合的形式即可得到答案． 【解答】 解：， 又， 当，无解，故B，满足条件， 若，则，或， 即，或 故满足条件的实数 故选：． 3.已知集合，，若，关系如图所示，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由集合，，由给定，关系图，可得，所以故选D． 4.已知集合，，下列说法正确的是(    ) A. 不存在实数使得 B. 当时， C. 当时， D. 存在实数使得 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了集合间关系及其应用，属于中档题． 选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、通过假设求出实数的取值范围可判定． 【解答】 解：选项A：若集合，则有 因为此方程组无解， 所以不存在实数使得集合， 故选项A正确． 选项B：当时，， 不满足， 故选项B错误． 若，则 当时，有，； 当时，有 此方程组无实数解； 所以若，则有， 故选项C错误，选项D正确． 故选：． 5.设集合，或，则下列结论中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查了集合的包含关系，交集及并集的运算，属于中档题． 由题意利用集合子集的概念以及交集，并集的定义逐项分析即可． 【解答】 解：对于，若，则，则，故A正确 对于，若，显然对于任意，，则，故，故B正确 对于，若，则解得，故 C正确 对于，若，则不等式无解，故若，则，故D错误． 故选ABC． 6.已知集合，． 求集合； 若，求实数的值． 【答案】解：． ，即， 或． 当时，，，满足条件； 当时，，，不符合集合中元素的互异性，舍去． 综上得．   【解析】本题考查集合的求解，集合之间的基本关系，注意集合元素的互异性，属于基础题． 解一元二次方程即可确定集合； 由，列方程或，即可解得． 7.已知 当时，写出集合的所有子集，共有多少个？ 若，求实数的取值范围． 【答案】解：当时， 集合的所有子集有：  共有个子集；   ，且，         解得，   实数的取值范围为．  【解析】本题考查集合的基本关系，属于基础题． 根据子集的概念，写出相关集合即可． 由得，即得范围． 题型二：含参数的并集运算问题 1.已知集合，，，则可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了集合的列举法的定义，并集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题． 含个元素时可得出或或，然后根据集合元素的互异性求出，或或，然后即可求出，从而得出正确的选项． 【解答】 解：若含个元素，则或或， 时，不满足集合元素的互异性，，或时满足题意， 时，；时，；时，． 故选：． 2.已知集合，． 若是单元素集，求满足条件实数的值组成的集合； 若，，求实数的值． 【答案】解：当时，，满足题意； 当时，，此时，满足题意． 所以满足条件的值组成的集合为． ，，推出， 、是方程的两个根， 代入可得．  【解析】本题考查元素与集合的关系、集合中元素的性质，考查集合关系中的参数取值问题，考查交集、并集及其运算，考查分析与计算能力，属于基础题． 当时，，满足题意；当时，，满足题意，即可得到答案； 由题，，得，即、是方程的两个根，计算得的值即可． 3.已知集合，在下列条件下分别求实数的取值范围． ；   恰有两个子集；   ． 【答案】解：若，则关于的方程没有实数解，则， 且，所以；  若恰有两个子集，则为单元素集， 所以关于的方程恰有一个实数解， 讨论：当时，，满足题意； 当时，，所以． 综上所述，或； 若， 则关于的方程在区间内有解， 这等价于当时，求的值域， ．  【解析】本题考查空集的概念、子集的个数问题以及含参数的集合运算问题，综合性较强，属于拔高题． 若，则关于的方程没有实数解，则，由此能求出实数的取值范围． 若恰有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 若，则关于的方程在区间内有解，这等价于求，时的值域． 4.已知集合，集合． 若，求的值；  若，求的取值范围． 【答案】解：因为，所以是集合中的元素， 即，解得或， 当时，集合，， 所以，不满足题意，舍去； 当时，集合， 所以，满足题意． 综上 由知，，又，所以， 因此只需，解得， 即的取值范围为．   【解析】本题考查的是集合的交集和并集运算，集合的子集关系，属于中档题． 根据交集的概念可知是的元素，可得，并进行验证，可得结果； 根据并集的概念，可得，之间的关系，计算出的元素，可得结果． 5.已知，． 若时，求； 时，求的取值范围． 【答案】解：时，， 此时，； 若， 需要满足：，解得：， 所以的取值范围为．  【解析】代入的值，求出，的并集即可； 根据，得到关于的不等式组，解出即可． 本题考查了集合的运算，是基础题． 6.已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查集合的运算以及集合之间的关系，属于基础题． 由，可得，利用分类讨论思想求解即可． 【解答】 解：， ． 当时，，满足条件． 当时，或， 或， 解得或． 综上可得，实数的取值所组成的集合是． 故选D． 6.已知集合，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查含参数的并集运算问题，属于基础题． 分、讨论，利用可得答案． 【解答】 解：因为，所以， 时，，解得 ， 时，则有 解得； 综上，的取值范围是． 故选：． 7.或，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查含参数的并集计算，属基础题根据数轴分析，即可得的范围． 【解答】 解：利用数轴，若，则． 故选C． 题型三：含参数的交集运算问题 1.已知集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查含参数的交集运算问题，是基础题． 由，得或，由此能求出实数的取值范围． 【解答】 解：集合，，， 或， 解得：， 故实数的取值范围为． 故选：． 2.已知集合，，若，则符合条件的实数的值组成的集合为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查集合关系中的参数取值问题，交集及其运算． 由分析得到是解题的关键，要注意这一点． 【解答】 解：，， 当时，满足要求； 当时，， 或， 或， 综上， 故选C． 题型四：含参数的补集运算问题 1.设全集，，，则实数的值为(    ) A. B. 或 C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查含参数的补集运算问题，集合中元素的确定性、互异性、无序性，属于基础题． 根据全集、补集的定义，结合已知有求参数，再根据集合的性质确定参数值． 【解答】 解：因为全集，，， 所以，即， 所以或， 显然时，全集中元素不满足互异性，而满足题设， 所以． 故选：． 2.设全集，，，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查了含参数的补集运算问题，考查了计算能力，属于基础题． 根据即可得出，然后解出的值即可． 【解答】 解：， ， ，解得或． 故选：． 3.设全集且若则实数           【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是集合的补集运算，涉及一元二次方程，属于基础题由已知，可得到集合，进而得到，是方程的两个根，即可解出答案． 【解答】解：因为， 所以， 所以，是方程的两个根， 所以 所以代入检验满足条件， 故答案为． 4.设全集为，或，，若，则的取值范围是            ． 【答案】  【解析】【分析】 由题意求出和，根据，求出的取值范围． 本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了运算求解能力，属于中档题． 【解答】 解：全集为，或，， 所以，， 又，结合数轴如下图所示： 所以的取值范围是． 故答案为：． 5.设全集，集合若，则实数           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了集合的运算，考查了补集的运算求参数值，是基础题． 由补集结果可求得，进而可得方程的两根为，，即可求解． 【解答】 解：因为集合，，所以． 即方程的两根为，，所以． 17.集合，，且，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查含参数的交并补混合运算问题，属于基础题． 根据题意，进行计算． 【解答】 解：集合，， 或， 因为， 所以， 故答案为：． 题型五：含参数的交、并、补集混合运算问题 1.已知全集，集合，集合，集合． 求， 若，求实数的取值范围． 【答案】解：根据题意，集合， 集合或 或， 因为，所以， 若，则， 若，则时，可得， 实数的取值范围为或．  【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题、交集及其运算和交、并、补集的混合运算，是基础题． 先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； 因为，所以，分和两种情况求解即可． 2.已知集合，． 求； 若，求实数的取值范围． 【答案】解：因为，化简得， 所以，所以或， 所以； 因为，，所以， 因为， 当时，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，又因为，所以需，，， 所以，所以， 综上，实数的取值范围为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 3.已知集合，． 若，求集合； 设，若，求实数的值． 【答案】解：由集合，， 若，可得且，则，解得， 所以，可得； 由集合，，， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 综上所述，实数的值为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 3.设全集，集合，． 求，； 若，且，求实数的取值范围． 【答案】解：，， ，； 或，且，， ， 实数的取值范围为：．  【解析】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 可求出集合，然后进行交集和并集的运算即可； 可求出或，然后根据即可求出的取值范围． 3.已知集合，． 若，求； 若，求实数的取值范围． 【答案】解：由，解得：或， 所以或， 又，所以，解得：． 此时． 所以或 因为， 所以， 因为或，所以， 又， 当时，，此时，解得：； 当时，由，可得： 解得：， 综上取值范围为．   【解析】本题考查含参数的集合的交并补混合运算问题、并集运算、含参数的交集运算问题，属于中档题． 解不等式化简集合，根据交集结果求得参数，进一步即可得解； 由题意得：，分集合是否是空集进行讨论即可求解． 4.已知集合，． 当时，求和； 若，求的取值范围． 【答案】解：当时，， 因为， 所以，； 因为， 所以或， 因为， 所以， 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围为或．  【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查了集合的交并补混合运算以及集合间的包含关系，属于基础题． 求出集合，后根据集合的运算法则计算； 根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 5.已知集合，． Ⅰ求集合中的所有整数； Ⅱ若，求实数的取值范围． 【答案】解：Ⅰ， 集合中的所有整数为，，； Ⅱ， ， 当，即时， ，成立； 当，即时， ， 解得， 综上所述， 实数的取值范围为或．  【解析】Ⅰ由题意化简集合，从而写出集合中的所有整数； Ⅱ由题意得，再分类讨论求实数的取值范围． 本题考查了集合间包含关系的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题． 6.设为实数，集合，． 当时，求； 若，求的取值范围． 【答案】解：由或， 当时，， 所以； 因为， 若， 则，且， ，解得， 的取值范围为：．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 7.已知集合，． 求集合； 若集合且，求的取值范围． 【答案】解：或， 或，， ， ． ，，． 当时，， 即时满足， ； 当时，要使， 则； 综上：．   【解析】本题考查了集合中含参数的交并补混合运算问题，属于中档题． 分别解出，，进而根据集合交并补的运算求出答案； 根据题意得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $