专题07 一元二次不等式中的含参问题四类综合题型（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第一册

专题07 分式不等式、高次不等式及含参一元二次不等式问题四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解分式不等式及高次不等式 题型二、解含参数的一元二次不等式 题型三、由一元二次不等式的解集来确定参数 题型四、由一元二次不等式的整数解的个数求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式不等式、高次不等式与含参一元二次不等式是高中不等式板块综合题型，所有题型均围绕等价变形、零点划分、分类讨论、解集翻译、边界检验五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是分式不等式不能直接两边乘分母，必须移项通分转化整式形式；二是高次不等式因式分解后使用穿针引线法，分清零点重次，偶次零点穿而不过；三是含参二次不等式优先讨论二次项系数正负，再分析根的大小关系；四是已知解集反求参数，要利用根与系数关系，注意二次项符号；五是整数解个数问题锁定解集区间，精细控制参数边界，算出结果之后带回原题检验端点能否取等. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解分式不等式及高次不等式 典例1-1 解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）移项后得到，然后转化为整式不等式求解即可； （2）移项后得到，因式分解后，转化为整式不等式，最后利用数轴穿根法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即0，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式等价于     由数轴穿根法可知原不等式解集为； 典例1-2若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 题型模版 1.特征：题目将分式变形、高次因式分解、数轴标根法与参数问题融合。一类是直接求解不等式；另一类是给出解集，反向锁定参数，或是含参数，需要分类讨论确定解集. 2.方法：①先分式不等式：式子以分式形式给出，分子分母均含未知数，不等号有大于、小于、大于等于、小于等于，核心障碍是分母不为零，不能直接乘分母。 ②高次不等式：整式最高次数大于等于 3，可分解为多个一次因式乘积，存在重根，不能直接套用二次不等式结论，依赖穿针引线判断区间。 ③求参方向分两类：一是已知不等式解集，解集端点对应方程的根，利用韦达定理求参数；二是不等式带有参数，参数会改变最高次次数、开口、零点大小，需要分类讨论。 ④综合题特点：经常串联二次不等式逆向求参，再代入分式或高次不等式求解，前后两步关联，前面算出的参数作为后一问条件 变式1-1若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由条件可求得的值，将原不等式转换成，即可求解. 【详解】由题意可得，即，， 则，即， 解得或，即解集为或. 故选：B. 变式1-2若不等式的解集为空集，则实数能为___________. 【答案】 【分析】根据分式不等式,移项、通分并等价化简,可得一元二次不等式.结合二次函数恒成立条件,即可求得的值. 【详解】将不等式化简可得 即的解集为空集 所以对于任意都恒成立 将不等式等价化为 即恒成立 由二次函数性质可知 化简不等式可得 解得 故答案为: 变式1-3关于的不等式的解集是，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，转化为恒成立，结合，即可求解. 【详解】由，则原不等式可化为， 整理后恒成立， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式1-4若关于的不等式的解集是或，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式不等式以及高次不等式的解法即可求解. 【详解】解：， 即， 即， 原不等式的解集为或， 故， 当时，由， 得， 故， 当时，由 解得：或，不符合题意， 当时，由， 解得：或， 再根据以及， 即可求得原不等式的解集为：或， 综上所述：. 故答案为：. 题型二、解含参一元二次不等式 典例2 （多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A．∅ B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据一元二次不等式所对应的一元二次方程，分类讨论一元二次方程的判别式和根的个数，最后得出一元二次不等式的解集. 【详解】所对应的一元二次方程为 当时，的解集为∅. 当或时，的解集为. 故选：AD. 题型模版 1.特征：题目不等式含有字母参数，参数会影响二次项系数、判别式大小以及两根的大小；需要对参数分类讨论，写出不等式对应的解集。题目常设置多选，判断解集的可能性 2.方法：第一步：讨论二次项系数，判断式子究竟是一次不等式，还是二次不等式； 第二步：若是二次不等式，计算判别式，根据判别式正负，判断方程有没有实数根； 第三步：有两个实根时，比较两个根的大小； 第四步：结合抛物线开口方向，分情况写出解集 变式2-1（多选）关于x的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先因式分解，得出方程可能存在的根，再对a进行分类讨论，最后得到不等式的可能解集. 【详解】因为，所以， 当a＞0时，，不等式解集为； 当a＝0时，，不等式解集为； 当a＜0时，，若，解集为； 若，解集为R； 若，解集为． 故选：BCD 变式2-2（1）设，解关于的不等式； （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）（2）均考察含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解即可 【详解】解:（1）方程的判别式, ①当, 即或时, 方程的两根为: , , 所以原不等式的解集为或. ②当, 即或时, 方程有两个相等的实数根, 当时, 方程的根为, 所以原不等式的解集为; 当时, 方程的根为, 所以原不等式的解集为. ③当，即时，方程无实根，所以原不等式的解集为. 综上, 或时, 原不等式的解集为 或; 时, 原不等式的解集为; 时, 原不等式的解集为; 时，原不等式的解集为. （2）①当时, 恒成立, 所以原不等式的解集为. ②当时, 原不等式变为, 即, 解得. ③当时, 原不等式变为, 解得. 综上, 时，原不等式的解集为; 时, 原不等式的解集为; 时, 原不等式的解集为. 变式2-3解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型三、由一元二次不等式的解集来确定参数 典例3-1 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 典例3-2 （多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 典例3-3 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述， 题型模版 1.特征：已知一元二次不等式解集情况（解集为空集、全体实数，或者给出具体区间解集），反求不等式中参数的取值范围；需要先判断是否为二次不等式，结合图像、判别式或者韦达定理求解 2.方法：（1）先讨论二次项系数是否等于0，区分一次不等式与二次不等式； （2）若是二次不等式： ①解集为空集：不等式大于等于0恒不成立⇒抛物线开口向下，并且判别式小于0； ②解集为全体实数：不等式大于等于0恒成立⇒抛物线开口向上，并且判别式小于0； ③解集给出具体区间：区间端点就是对应一元二次方程的两根，用韦达定理建立参数方程； （3）综合所有情况，取参数范围的并集 变式3-1（多选）已知，，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 变式3-2若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 变式3-3已知关于的不等式： （1）若不等式的解集为，求的值；    （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题可知和1是方程的两个实数根，利用韦达定理即可求解； （2）可知成立，时，利用判别式进行求解. 【详解】（1）因为关于的不等式：的解集为， 所以和1是方程的两个实数根， 由韦达定理可得:，得． （2）因为关于的不等式的解集为． 当时，-3<0恒成立. 当时，由，解得： 故的取值范围为． 变式3-4（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据条件得到，再由及得，化简得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解． 【详解】（1）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且， 得到，又由，且，得到， 即，解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或. 题型四、由一元二次不等式的整数解的个数求参数 典例4-1 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得. 【详解】原不等式可化为， 即恰有2个整数解， ，解得或. 当时，不等式的解集为， ，个整数解为1，2， ，即，解得； 当时，不等式的解集为， ，个整数解为，， ，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B. 典例4-2 若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原不等式即为，结合解集中有3个整数可得，利用求根公式求出不等式的解后可得关于的不等式，从而可求其范围. 【详解】已知不等式化为， 若，则不等式为，此时解集中有无数个整数； 若，则不等式为，此时解集中有无数个整数； 故，即. 此时不等式的解为，即， 而，为使解集中的整数恰有3个，则必须且只需满足， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 题型模版 1.特征：已知一元二次不等式解集中整数解的数量，反求参数取值范围。不等式解集一般为一个连续区间，限定里面整数解的个数，需要结合数轴锁定区间端点的边界，判断端点能不能取等号，是不等式求参里的难点 2.方法：①整理变形不等式，因式分解，求出不等式解集，解集一般为两根构成的开 / 闭区间； ②根据参数分类讨论，判断两根大小，写出解集区间； ③在数轴上标出解集区间，找出满足条件的整数； ④依据整数解的个数，限定区间左右端点的范围； ⑤重点验证端点：端点能不能取等，直接影响整数个数，单独检验边界 变式4-1关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式化简为，由知不等式的解集为，进而根据解集中恰有2个整数列不等式，求解即可. 【详解】由，得， 当时，，则不等式的解集为， 由解集中恰有2个整数，得整数解为和0， 因此，解得. 故选：A. 变式4-2关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的草图，由解出实数a的取值范围. 【详解】函数的图象如图所示． 若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则 即解得. 故选：A． 变式4-3若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 变式4-4已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 【答案】4（答案不唯一，满足即可） 【分析】先因式分解化简不等式，再讨论的大小解出不等式即可. 【详解】可化简为， 当时，不等式不成立； 当时，不等式可化简为， 若，则不等式解得，无两个实数解， 若，则不等式解得，要使得整数解恰有2个，那么， 若，则不等式变为，无实数解； 当时，则不等式可化简为， 解得或，整数解有无穷多个，不符合题意， 综上所述，的取值范围为，即的一个取值为4. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项将原不等式转化为，即（当），运算得解. 【详解】由，得，所以，即， 即（当），所以且， 所以不等式的解集为. 故选：C. 2．若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解集是得，利用韦达定理得，进而解分式不等式即可求解. 【详解】由不等式的解集是，所以， 且是方程的两个根， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以，解得， 所以不等式的解集为， 故选：B. 3．关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式即为，分、、三种情况讨论，解原不等式，确定满足不等式的三个正整数解，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由得， 若时，原不等式即为，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为或， 满足条件的正整数解有无数个，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为， 由题意可知，满足条件的三个正整数解为、、，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 4．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确， 对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误， 对于C, ，C正确， 对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误， 故选：AC 5．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 6．不等式的解集是______. 【答案】或 【分析】不等式等价为且，即可得出结论. 【详解】不等式等价为且， ∴或， ∴不等式的解集是或 故答案为：或． 7．关于x的不等式的解集为，则实数______． 【答案】 【分析】由分式不等式的解法，可将其等价变形为一元二次不等式求解，并通过解集待定系数得解 【详解】解：等价于，即，若,显然不等式无解，因此 解得,由已知解集为 可知 故答案为：． 8．设、，若关于的不等式的解集为，则__________. 【答案】0 【分析】化简不等式，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，列关系式求，即可. 【详解】不等式可化为或， 因为不等式的解集为，所以方程的解为，不等式的解集为， 所以， ，是方程的解， 所以，，所以，所以， 故答案为：0． 9．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 10．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是________ 【答案】或 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 11．解不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，即 等价于或，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）因为，可得，即， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 12．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为. 13．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0. （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）﹣8＜k≤0. 【解析】（1）由解集为，知和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入求k的值； （2）讨论k是否为0，分别求得k的范围，求并集即为k的取值范围. 【详解】（1）关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为， ∴和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得； （2）若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R， ∴当k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意； 当k≠0时，应满足，解得﹣8＜k＜0； 综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0. 14．（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【答案】（1）当时，解集为{或}；当时，解集为{且}；当时，解集为{或}． （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）根据题意，将二次函数因式分解，分类讨论的取值范围即可求解； （2）根据题意，将不等式转化为，分类讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 15．设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为 (3)当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【分析】（1）由题意得到，进而可求解； （2）通过，，讨论函数单调性，进而可求解； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）时，， ； （2）， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． （3）时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式不等式、高次不等式及含参一元二次不等式问题四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解分式不等式及高次不等式 题型二、解含参数的一元二次不等式 题型三、由一元二次不等式的解集来确定参数 题型四、由一元二次不等式的整数解的个数求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式不等式、高次不等式与含参一元二次不等式是高中不等式板块综合题型，所有题型均围绕等价变形、零点划分、分类讨论、解集翻译、边界检验五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是分式不等式不能直接两边乘分母，必须移项通分转化整式形式；二是高次不等式因式分解后使用穿针引线法，分清零点重次，偶次零点穿而不过；三是含参二次不等式优先讨论二次项系数正负，再分析根的大小关系；四是已知解集反求参数，要利用根与系数关系，注意二次项符号；五是整数解个数问题锁定解集区间，精细控制参数边界，算出结果之后带回原题检验端点能否取等. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解分式不等式及高次不等式 典例1-1 解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 典例1-2若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 题型模版 1.特征：题目将分式变形、高次因式分解、数轴标根法与参数问题融合。一类是直接求解不等式；另一类是给出解集，反向锁定参数，或是含参数，需要分类讨论确定解集. 2.方法：①先分式不等式：式子以分式形式给出，分子分母均含未知数，不等号有大于、小于、大于等于、小于等于，核心障碍是分母不为零，不能直接乘分母。 ②高次不等式：整式最高次数大于等于 3，可分解为多个一次因式乘积，存在重根，不能直接套用二次不等式结论，依赖穿针引线判断区间。 ③求参方向分两类：一是已知不等式解集，解集端点对应方程的根，利用韦达定理求参数；二是不等式带有参数，参数会改变最高次次数、开口、零点大小，需要分类讨论。 ④综合题特点：经常串联二次不等式逆向求参，再代入分式或高次不等式求解，前后两步关联，前面算出的参数作为后一问条件 变式1-1若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式1-2若不等式的解集为空集，则实数能为___________. 变式1-3关于的不等式的解集是，则的取值范围是______. 变式1-4若关于的不等式的解集是或，则实数的取值范围是___________． 题型二、解含参一元二次不等式 典例2 （多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A．∅ B． C． D． 题型模版 1.特征：题目不等式含有字母参数，参数会影响二次项系数、判别式大小以及两根的大小；需要对参数分类讨论，写出不等式对应的解集。题目常设置多选，判断解集的可能性 2.方法：第一步：讨论二次项系数，判断式子究竟是一次不等式，还是二次不等式； 第二步：若是二次不等式，计算判别式，根据判别式正负，判断方程有没有实数根； 第三步：有两个实根时，比较两个根的大小； 第四步：结合抛物线开口方向，分情况写出解集 变式2-1（多选）关于x的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 变式2-2（1）设，解关于的不等式； （2）设，解关于的不等式. 变式2-3解关于的不等式． 题型三、由一元二次不等式的解集来确定参数 典例3-1 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例3-2 （多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 典例3-3 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知一元二次不等式解集情况（解集为空集、全体实数，或者给出具体区间解集），反求不等式中参数的取值范围；需要先判断是否为二次不等式，结合图像、判别式或者韦达定理求解 2.方法：（1）先讨论二次项系数是否等于0，区分一次不等式与二次不等式； （2）若是二次不等式： ①解集为空集：不等式大于等于0恒不成立⇒抛物线开口向下，并且判别式小于0； ②解集为全体实数：不等式大于等于0恒成立⇒抛物线开口向上，并且判别式小于0； ③解集给出具体区间：区间端点就是对应一元二次方程的两根，用韦达定理建立参数方程； （3）综合所有情况，取参数范围的并集 变式3-1（多选）已知，，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 变式3-2若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-3已知关于的不等式： （1）若不等式的解集为，求的值；    （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 变式3-4（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 题型四、由一元二次不等式的整数解的个数求参数 典例4-1 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 典例4-2 若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知一元二次不等式解集中整数解的数量，反求参数取值范围。不等式解集一般为一个连续区间，限定里面整数解的个数，需要结合数轴锁定区间端点的边界，判断端点能不能取等号，是不等式求参里的难点 2.方法：①整理变形不等式，因式分解，求出不等式解集，解集一般为两根构成的开 / 闭区间； ②根据参数分类讨论，判断两根大小，写出解集区间； ③在数轴上标出解集区间，找出满足条件的整数； ④依据整数解的个数，限定区间左右端点的范围； ⑤重点验证端点：端点能不能取等，直接影响整数个数，单独检验边界 变式4-1关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-2关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-3若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 变式4-4已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 5．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 6．不等式的解集是______. 7．关于x的不等式的解集为，则实数______． 8．设、，若关于的不等式的解集为，则__________. 9．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 10．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是________ 11．解不等式： (1)； (2). 12．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 13．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0. （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围. 14．（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 15．设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $