专题04 二次不等式的综合问题（求参和恒成立）（专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题04 二次不等式的综合问题（求参和恒成立） 常考题型·精准突破 题型1 解不含参数的一元二次不等式 1．【答案】B 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 2．【答案】A 【详解】不等式对应的方程的根为或. 不等式对应的二次函数的图象如下： 由函数图象可知不等式的解为， 所以不等式的解集为. 3．【答案】B 【详解】由题可知：, 或， 所以. 4．【答案】C 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. 题型2 解简单分式不等式 5．【答案】C 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以不等式的解集为. 6．【答案】B 【详解】分式不等式等价于，解得，则. 所以，即. 7．【答案】A 【详解】解分式不等式得， 而的解集为， 设集合，集合，可得是的真子集. 如果，一定能推出，充分性成立；如果不一定推出，必要性不成立， 由此可知，“”是“”的充分而不必要条件. 8．【答案】A 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 9．【答案】B 【详解】由可得，解得； 由可得，解得； 因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件. 题型3 由一元二次不等式的解求参数 10．【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 11．【答案】B 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 12．【答案】C 【详解】由题意得是方程的两个根， 则，解得，则. 13．【答案】B 【详解】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 14．【答案】B 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 题型4 解含有参数的一元二次不等式（难） 15．【答案】C 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，，其解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，，其解集为，故B可能. 故选：C 16．【答案】A 【详解】不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 故选：A 17．【答案】 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【详解】， 当时，， 方程的两个根分别为 或， 则由，得； 当时，，原不等式化为，得； 当时，，不等式无解， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． ． 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 19．【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型5 一元二次不等式的实际应用 20．【答案】A 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 21．【答案】15 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 22．【答案】 【详解】依题意，， 而，解得， 所以交通管理部门推断该车辆实施刹车前的行驶速度为. 故答案为： 23．【答案】 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 24．【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以. 题型6 在R上的恒成立问题（重） 25．【答案】D 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 26．【答案】A 【详解】对于“不等式对恒成立”， 有，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“不等式对恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 27．【答案】A 【详解】当时，得恒成立， 所以对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 28．【答案】A 【详解】关于x的不等式的解集为, 当时，,此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则，解得：， 综上，的取值范围为：， 故“”是“关于x的不等式的解集为”的充分不必要条件， 故选：A 29．【答案】A 【详解】当时，恒成立，此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则，解得， 综上，关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是． 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件． 故选：A． 题型7 在给定区间上的恒成立问题（重） 30．【答案】C 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 31．【答案】B 【详解】若对一切恒成立， 即对一切恒成立， 则在上最大值小于等于0， 则，解得， 所以实数的取值范围， 故选：B 32．【答案】A 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 33．【答案】A 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 34．【答案】C 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 35．【答案】D 【详解】因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 题型8 能成立问题 36．【答案】C 【详解】关于的不等式在上有解， ， ， ， 令，， 且，有： ， ，， ， ，在单调递增， 当时，， ，即小于等于 ． 故选：C 37．【答案】C 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 38．【答案】C 【详解】由， 得到， 由题意， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 即最大值为， 所以， 故选：C 39．【答案】B 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：B 40．【答案】C 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】B 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 2．【答案】D 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 3．【答案】B 【详解】当时， 若，则不等式为，解得， 所以，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：或，不等式的解集为：或，所以； 当时， 若，则不等式为，所以，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：或，不等式的解集为：，所以； 当时， 若，则不等式为，，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：，不等式的解集为：或,所以； 当时， 若，则不等式为，，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：，不等式的解集为：，所以； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．【答案】 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 5．【答案】 【详解】当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 此时，故不在不等式解集中，符合要求； 综上，可得在上恒成立， 且的根仅可在区间上取得； 当时，有，符合题意； 当时，若，即， 令，则，符合要求； 若，则有，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为：. 6．【答案】 【详解】由题意，令， 当时，，需；当时，需， 这就要求在处必需为，即， 代入原不等式，即， 进而，因为， 故只需要在上恒成立； 当时，则，不等式为恒成立. 当时，为增函数，当时，不满足条件. 当时，为减函数，要使在上恒成立， 只需在区间左端点处满足即可，即， 故的取值范围为. 综上的取值范围为 由得，的取值范围为 故答案为：. 7．【答案】 【详解】①当时，由可得对任意恒成立， 若，不成立；若，，不成立. ②当时，由对任意恒成立， 若，当趋于负无穷时，趋于负无穷，趋于正无穷， 则当趋于负无穷时，，不成立； 若，将题意转化为对任意恒成立，不成立； 若，设，作出的图像，如下图所示： 由题意可得：，又因为a，b是整数，则， 所以或或， 所以的所有取值为或或. 故答案为： 8．【答案】 【详解】对任意，恒成立， 令，则，原式可化为， 令，函数图象开口向上，对称轴为， 恒成立，则需满足恒成立， 若，则，此时在上单调递增， 最小值，则， 当时，；当时，， 的最小值为； 若，则，此时在上单调递减， 最小值，则， 的最小值为； 若，即，则最小值在处， 即，则， ． 综上，的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次不等式的综合问题（求参和恒成立） 常考题型·精准突破 考点一 二次不等式 题型1 解不含参数的一元二次不等式 题型2 解简单分式不等式 题型3 由一元二次不等式的解求参数 题型4 解含有参数的一元二次不等式（难） 题型5 一元二次不等式的实际应用 考点二 不等式的恒成立、能成立问题 题型6 在R上的恒成立问题（重） 题型7 在给定区间上的恒成立问题（重） 题型8 能成立问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次不等式 题型1 解不含参数的一元二次不等式 1．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 2．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 3．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型2 解简单分式不等式 5．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 7．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．设p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型3 由一元二次不等式的解求参数 10．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 11．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 13．关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知关于的不等式的解集为，则以下错误的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 题型4 解含有参数的一元二次不等式（难） 15．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ） A． B． C． D． 16．一元二次不等式的解集不可以是（ ） A． B． C． D． 17．已知，解关于的不等式：. 18．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 19．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 题型5 一元二次不等式的实际应用 20．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 22．某种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离（单位：）与刹车前的车速（单位：km/h）之间的关系为．在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于等于20米，则交通管理部门推断该车辆实施刹车前的行驶速度为______．（精确到） 23．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 24．如图，在长为8，宽为6的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 考点二 不等式的恒成立、能成立问题 题型6 在R上的恒成立问题（重） 25．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．“”是“不等式对恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．“”是“关于x的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型7 在给定区间上的恒成立问题（重） 30．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 31．若对一切恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 32．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 33．若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8 能成立问题 36．设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 37．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 38．设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 39．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中为非零常数.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 5．已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 6．已知，，若，则的取值范围为____． 7．若对任意恒成立，其中a，b是整数，则的所有取值集合为________． 8．已知实数满足对任意，恒成立，求的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次不等式的综合问题（求参和恒成立） 常考题型·精准突破 考点一 二次不等式 题型1 解不含参数的一元二次不等式 题型2 解简单分式不等式 题型3 由一元二次不等式的解求参数 题型4 解含有参数的一元二次不等式（难） 题型5 一元二次不等式的实际应用 考点二 不等式的恒成立、能成立问题 题型6 在R上的恒成立问题（重） 题型7 在给定区间上的恒成立问题（重） 题型8 能成立问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次不等式 题型1 解不含参数的一元二次不等式 1．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 2．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】不等式对应的方程的根为或. 不等式对应的二次函数的图象如下： 由函数图象可知不等式的解为， 所以不等式的解集为. 3．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：, 或， 所以. 4．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. 题型2 解简单分式不等式 5．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以不等式的解集为. 6．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分式不等式等价于，解得，则. 所以，即. 7．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解分式不等式得， 而的解集为， 设集合，集合，可得是的真子集. 如果，一定能推出，充分性成立；如果不一定推出，必要性不成立， 由此可知，“”是“”的充分而不必要条件. 8．已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 9．设p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得，解得； 由可得，解得； 因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件. 题型3 由一元二次不等式的解求参数 10．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 11．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 12．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得是方程的两个根， 则，解得，则. 13．关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 14．已知关于的不等式的解集为，则以下错误的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】B 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 题型4 解含有参数的一元二次不等式（难） 15．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，，其解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，，其解集为，故B可能. 故选：C 16．一元二次不等式的解集不可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 故选：A 17．已知，解关于的不等式：. 【答案】 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【详解】， 当时，， 方程的两个根分别为 或， 则由，得； 当时，，原不等式化为，得； 当时，，不等式无解， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． ． 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 19．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型5 一元二次不等式的实际应用 20．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 21．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 【答案】15 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 22．某种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离（单位：）与刹车前的车速（单位：km/h）之间的关系为．在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于等于20米，则交通管理部门推断该车辆实施刹车前的行驶速度为______．（精确到） 【答案】 【详解】依题意，， 而，解得， 所以交通管理部门推断该车辆实施刹车前的行驶速度为. 故答案为： 23．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【答案】 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 24．如图，在长为8，宽为6的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以. 考点二 不等式的恒成立、能成立问题 题型6 在R上的恒成立问题（重） 25．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 26．“”是“不等式对恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于“不等式对恒成立”， 有，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“不等式对恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 27．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，得恒成立， 所以对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 28．“”是“关于x的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】关于x的不等式的解集为, 当时，,此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则，解得：， 综上，的取值范围为：， 故“”是“关于x的不等式的解集为”的充分不必要条件， 故选：A 29．“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，恒成立，此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则，解得， 综上，关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是． 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件． 故选：A． 题型7 在给定区间上的恒成立问题（重） 30．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 31．若对一切恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若对一切恒成立， 即对一切恒成立， 则在上最大值小于等于0， 则，解得， 所以实数的取值范围， 故选：B 32．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 33．若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 34．当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 35．一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 题型8 能成立问题 36．设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的不等式在上有解， ， ， ， 令，， 且，有： ， ，， ， ，在单调递增， 当时，， ，即小于等于 ． 故选：C 37．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 38．设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得到， 由题意， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 即最大值为， 所以， 故选：C 39．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：B 40．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 综合攻坚·知能拔高 1．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 2．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 3．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中为非零常数.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时， 若，则不等式为，解得， 所以，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：或，不等式的解集为：或，所以； 当时， 若，则不等式为，所以，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：或，不等式的解集为：，所以； 当时， 若，则不等式为，，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：，不等式的解集为：或,所以； 当时， 若，则不等式为，，此时，所以； 若，设，则不等式的解集为：，不等式的解集为：，所以； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 5．已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 此时，故不在不等式解集中，符合要求； 综上，可得在上恒成立， 且的根仅可在区间上取得； 当时，有，符合题意； 当时，若，即， 令，则，符合要求； 若，则有，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为：. 6．已知，，若，则的取值范围为____． 【答案】 【详解】由题意，令， 当时，，需；当时，需， 这就要求在处必需为，即， 代入原不等式，即， 进而，因为， 故只需要在上恒成立； 当时，则，不等式为恒成立. 当时，为增函数，当时，不满足条件. 当时，为减函数，要使在上恒成立， 只需在区间左端点处满足即可，即， 故的取值范围为. 综上的取值范围为 由得，的取值范围为 故答案为：. 7．若对任意恒成立，其中a，b是整数，则的所有取值集合为________． 【答案】 【详解】①当时，由可得对任意恒成立， 若，不成立；若，，不成立. ②当时，由对任意恒成立， 若，当趋于负无穷时，趋于负无穷，趋于正无穷， 则当趋于负无穷时，，不成立； 若，将题意转化为对任意恒成立，不成立； 若，设，作出的图像，如下图所示： 由题意可得：，又因为a，b是整数，则， 所以或或， 所以的所有取值为或或. 故答案为： 8．已知实数满足对任意，恒成立，求的最小值． 【答案】 【详解】对任意，恒成立， 令，则，原式可化为， 令，函数图象开口向上，对称轴为， 恒成立，则需满足恒成立， 若，则，此时在上单调递增， 最小值，则， 当时，；当时，， 的最小值为； 若，则，此时在上单调递减， 最小值，则， 的最小值为； 若，即，则最小值在处， 即，则， ． 综上，的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $