专题06 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式及权方和不等式的综合应用四类综合题型（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第一册

专题06 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式及权方和不等式的综合应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基本不等式链的综合应用 题型二、糖水不等式的综合应用 题型三、柯西不等式的综合应用 题型四、权方和不等式的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式及权方和不等式是高中不等式板块的压轴题型，所有题型均围绕结构识别、代数式配凑、变量约束、放缩方向、等号校验五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是根据式子特征选择合适不等式，二是配凑时保证变量满足正数前提，三是多层放缩要统一放缩方向，四是多元问题优先考虑换元简化，五是求出最值后检验等号能否同时成立 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基本不等式链的综合应用 典例1-1（多选）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 题型模版 1.特征：题目给出正数条件，同时出现和、积、平方和、倒数和四类结构，需要在算术平均数、几何平均数、调和平均数、平方平均数之间灵活切换；常考最值、不等式证明、参数范围，多为多选。不等式链文字表述：正数的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，等号全部成立的条件是所有变量相等 2.方法：①先识别结构。观察式子是求和的最值、乘积最值，还是平方和相关最值，匹配不等式链对应的公式，分清已知条件给的是和定、积定，还是倒数和。 ②优先锁定等号条件。使用不等式前先写出等号成立条件，最后检验，避免求出的最值取不到。 ③放缩方向判断。求最大值用往大放缩，求最小值用往小放缩；多个不等式连续放缩时，必须保证每一步的等号成立条件完全一致，否则不能连放。 ④变量统一。有多个变量时，利用已知等式消元，转化为单变量函数，作为代数兜底方法；遇到多变量可以考虑整体代换，不用拆分单个未知数。 ⑤结果检验。检查变量是否满足正数前提，验证等号能否同时取到；遇到多选题，要区分恒成立和存在性问题 变式1-1（多选）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为 变式1-2（多选）设正实数x，y满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．xy的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 变式1-3（多选）若正实数满足，下列说法正确的是（    ） A．有最大值为2 B．有最小值为 C．的最大值为 D．有最小值为 变式1-4（多选）若，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 题型二、糖水不等式的综合应用 典例2-1 在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 典例2-2生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 题型模版 1.特征：在比较分式不等式大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直观、简洁的优势 2.方法：通糖水不等式：若,则一定有 通俗的理解: 就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜; 倒数形式:设,则有: 变式2-1生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 变式2-2已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 变式2-3假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式； (2)证明你提炼出的不等式； (3)求证：且. 题型三、柯西不等式的综合应用 典例3-1已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 典例3-2已知，求的最小值.（利用柯西不等式） 题型模版 1.特征：给代数式包含平方项的和、两组式子乘积求和这类结构，用普通基本不等式配凑会比较麻烦，适合用柯西求解 2.方法：（，当且仅当时，等号成立），先把原式整理成柯西不等式对应的标准结构，直接套用不等式结论求出最值。使用时要保证式子内各项满足正负要求，最后验证等号成立的条件 变式3-1柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 变式3-2已知a，b，c均为正数，且，证明：. 变式3-3已知，，，，求证： (1)； (2)． 变式3-4从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 题型四、权方和不等式的综合应用 典例4-1已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 典例4-2已知，求的最小值为 题型模版 1.特征：目标式是多个分式相加，分子多为平方形式，分母都是一次式，是处理分式求和最值的快捷工具 2.方法：二维形式的权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 推广1：当时，等号成立． 推广2：若，则，当时，等号成立 变式4-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 变式4-2求的最大值为______________ 变式4-3已知正数，，满足，则的最小值为 权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 4．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 5．（多选）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 7．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．若p，q，m，r，s，t为非零实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则= 9．已知正数，，满足：，求证：． 10．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 11．设正数a，b，c满足3a+2b+c=1，求++的最小值. 12．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 13．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 14．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式及权方和不等式的综合应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基本不等式链的综合应用 题型二、糖水不等式的综合应用 题型三、柯西不等式的综合应用 题型四、权方和不等式的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式链、糖水不等式、柯西不等式及权方和不等式是高中不等式板块的压轴题型，所有题型均围绕结构识别、代数式配凑、变量约束、放缩方向、等号校验五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是根据式子特征选择合适不等式，二是配凑时保证变量满足正数前提，三是多层放缩要统一放缩方向，四是多元问题优先考虑换元简化，五是求出最值后检验等号能否同时成立 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、基本不等式链的综合应用 典例1-1（多选）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 题型模版 1.特征：题目给出正数条件，同时出现和、积、平方和、倒数和四类结构，需要在算术平均数、几何平均数、调和平均数、平方平均数之间灵活切换；常考最值、不等式证明、参数范围，多为多选。不等式链文字表述：正数的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，等号全部成立的条件是所有变量相等 2.方法：①先识别结构。观察式子是求和的最值、乘积最值，还是平方和相关最值，匹配不等式链对应的公式，分清已知条件给的是和定、积定，还是倒数和。 ②优先锁定等号条件。使用不等式前先写出等号成立条件，最后检验，避免求出的最值取不到。 ③放缩方向判断。求最大值用往大放缩，求最小值用往小放缩；多个不等式连续放缩时，必须保证每一步的等号成立条件完全一致，否则不能连放。 ④变量统一。有多个变量时，利用已知等式消元，转化为单变量函数，作为代数兜底方法；遇到多变量可以考虑整体代换，不用拆分单个未知数。 ⑤结果检验。检查变量是否满足正数前提，验证等号能否同时取到；遇到多选题，要区分恒成立和存在性问题 变式1-1（多选）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断AB，根据重要不等式判断CD即可. 【详解】∵， ∴， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； ，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确； ，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：AB 变式1-2（多选）设正实数x，y满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．xy的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用分离变量可求变量的范围，利用基本不等式，代换法可求最值，从而可作出判断. 【详解】因为正实数x，y满足，所以，即，故A正确； 因为正实数x，y满足，所以，取等号条件是，故B错误； 由， 当时，的最小值为，故C正确； 由， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 变式1-3（多选）若正实数满足，下列说法正确的是（    ） A．有最大值为2 B．有最小值为 C．的最大值为 D．有最小值为 【答案】ACD 【分析】由，得，再代入目标式求最值判断A、D，应用“1”的代换及基本不等式求最值判断B，应用基本不等式求最值判断C. 【详解】A：由题设，则，故， 当且仅当时取等号，故有最大值为2，对， B：由， 当且仅当时取等号，故有最小值为，错， C：由，可得， 当且仅当时取等号，故的最大值为，对， D：由，且， 当且仅当时取等号，故有最小值为，对. 故选：ACD 变式1-4（多选）若，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题干等式，以及基本不等式的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】对A，由可得，化简得，解得，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对B，可知， 即，当且仅当，即时等号成立，所以B正确； 对C，因为，可知，所以C错误； 对D，因为，又因为，所以， 即，当且仅当，即时等号成立，所以D正确； 故选：ABD. 题型二、糖水不等式的综合应用 典例2-1 在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【分析】应用作差法、不等式性质判断各项不等式关系的正误即可. 【详解】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有； 故选：ABC 典例2-2生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 题型模版 1.特征：在比较分式不等式大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直观、简洁的优势 2.方法：通糖水不等式：若,则一定有 通俗的理解: 就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜; 倒数形式:设,则有: 变式2-1生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 变式2-2已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 【答案】(1) (2) 证明：因为， ∵， 所以，从而， 即. (3)住宅的采光效果变好了 【分析】（1）由题意列出两种糖水的含糖率，然后得到不等式； （2）由作差法即可证明这个不等式； （3）设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知，所以公寓的采光效果变好了. 【详解】（1）由题可得. （2）因为， ∵， 所以，从而， 即. （3）住宅的采光效果变好了. 理由：设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知， 所以住宅采光效果变好了. 变式2-3假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式； (2)证明你提炼出的不等式； (3)求证：且. 【答案】(1)； (2)证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. (3)证明如下： 由（2）可知. 取 ，则 ，故有 ， 则有， 先证明右边： 因为， 所以 ， 故. 再证明左边： 因为， 所以 ， 故. 综上，且. 【分析】（1）根据题意得到； （2）作差法比较大小即可； （3）先得到，先证明出右边，再证明左边，得到结论. 【详解】（1）提炼出的不等式为. （2）略 （3）略 题型三、柯西不等式的综合应用 典例3-1已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由柯西不等式可得： ， 即 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 典例3-2已知，求的最小值.（利用柯西不等式） 【答案】 【分析】利用柯西不等式进行求解． 【详解】由柯西不等式可知：（）（4+9+36）， ，当且仅当 题型模版 1.特征：给代数式包含平方项的和、两组式子乘积求和这类结构，用普通基本不等式配凑会比较麻烦，适合用柯西求解 2.方法：（，当且仅当时，等号成立），先把原式整理成柯西不等式对应的标准结构，直接套用不等式结论求出最值。使用时要保证式子内各项满足正负要求，最后验证等号成立的条件 变式3-1柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 变式3-2已知a，b，c均为正数，且，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：由柯西不等式得： ， 当且仅当，即，，时，等号成立.     所以. 变式3-3已知，，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) ，当，即时取等， ． (2) ，当，即时取等， ． 【分析】（1）由柯西不等式，利用即可证明； （2）由柯西不等式，利用即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 变式3-4从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，构造柯西不等式完成计算； （2）直接构造柯西不等式完成计算； （3）将问题转化为“”，利用柯西不等式求解出，则的取值范围可求. 【详解】（1）由柯西不等式可得：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）的定义域为， 因为 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 当且仅当，即(符合定义域)时取等号， 所以的最大值为. （3）因为，，所以，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 所以； 由柯西不等式可得：， 因为，所以，令， 所以， 所以， 当且仅当，即，即时取等号(满足条件)， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 题型四、权方和不等式的综合应用 典例4-1已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由权方和不等式，可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B 典例4-2已知，求的最小值为 【答案】 【解析】 当且仅当时取等号 故答案为：60 题型模版 1.特征：目标式是多个分式相加，分子多为平方形式，分母都是一次式，是处理分式求和最值的快捷工具 2.方法：二维形式的权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 推广1：当时，等号成立． 推广2：若，则，当时，等号成立 变式4-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 变式4-2求的最大值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 变式4-3已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. (2)36 (3) 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）略 （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 2．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【答案】B 【分析】根据权方和不等式凑配，并利用其求解最值即可. 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 4．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD；作差法可判断B. 【详解】对于A，由糖水不等式得：，时，，故A错误； 对于B，，， ，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 5．（多选）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】ABD 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 【答案】ACD 【分析】选项A，根据不等式的性质进行判断，选项C根据基本不等式进行判断，选项D利用柯西不等式判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，， 两边同时除以，得，故A正确， 对于B，由，及均为正数，得， 所以，故B错误， 对于C，由，得， 由，可得，又，所以 ， 当且仅当，时等号成立，故C正确， 对于D，由题意得，得， 由柯西不等式可得， 当时等号成立，故D正确． 7．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【详解】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD． 8．若p，q，m，r，s，t为非零实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则= 【答案】 【详解】由柯西不等式得 (p2+q2+m2)(r2+s2+t2)≥(pr+qs+mt)2， 当且仅当==时，等号成立， 令=k(k∈R)，则=k， 将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6， 解得k=所以=. 9．已知正数，，满足：，求证：． 【答案】证明：． 根据柯西不等式，有 ， ，当且仅当时，等号成立． 【分析】利用，然后应用基本不等式可得所求最大值． 【详解】略 10．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【答案】(1) 若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. (2) 在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 【分析】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【详解】（1）略 （2）略． 11．设正数a，b，c满足3a+2b+c=1，求++的最小值. 【答案】 【分析】应用柯西不等式求最小值． 【详解】因为3a+2b+c=1， 所以++ =(2a+a+b+b+c)· ≥ = =6+4， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以++的最小值为6+4. 12．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由三维形式的柯西不等式知： ． ，， 当且仅当，即，时，取最小值． （2）由柯西不等式知： ， 所以． 13．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以．． 14．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 【答案】(1)证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； (2) (3)证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 【分析】（1）根据基本不等式，以及题干所给条件，证明不等式即可. （2）根据题干条件，写出不等式，再利用不等式求出最小值即可. （3）对不等式进行换元，再根据题目定义，证明结果即可. 【详解】（1）略 （2）3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）略． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $