专题02 基本不等式的综合应用问题十二类综合题型（含柯西不等式、权方和不等式）（压轴题专项训练）数学湘教版必修第一册

**基本信息** 以十二类题型为框架，系统整合基本不等式及柯西、权方和不等式的应用方法，通过通法提炼、题型模版与变式训练，构建“原理-方法-应用”递进式逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套核心解法|明确正数验证、定值构造、等号检验等4项底线原则|从基本不等式核心原理出发，奠定方法应用基础| |题型归纳|12类题型（每类含典例+3变式）|提炼配凑、常值代换、消元等12种专项方法，含题型特征与操作步骤|覆盖证明、求最值、恒成立等应用场景，衔接柯西、权方和不等式拓展| |压轴挑战|15道综合题|融合多方法交叉应用，强化复杂情境下的模型构建与逻辑推理|从基础应用到高难综合，提升数学思维的系统性与创新性|

专题02 基本不等式的综合应用问题十二类综合题型 （含柯西不等式、权方和不等式） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式证明不等关系 题型二、利用配凑法求最值 题型三、值代换求最值 题型四、利用消元法求最值 题型五、利用双换元法求最值 题型六、分式分离法求最值 题型七、条件等式求最值求最值 题型八、使用基本不等式求最值 题型九、利用柯西不等式求最值 题型十、利用权方和不等式求最值 题型十一、基本不等式中的恒成立与有解问题 题型十二、基本不等式的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式的综合应用问题是高中不等式板块的重难点，所有题型均围绕不等式证明、配凑求最值、常值代换、消元法、换元法、分式分离、条件等式求最值、多次放缩、柯西与权方和、恒成立有解、实际应用十二大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是使用基本不等式必须优先验证各项为正数；二是构造式子要保证和或积为定值；三是求出最值后务必检验等号能够取到；四是多次使用不等式放缩时，要保证全部取等条件可以同时成立；分式结构求最值要留意分母正负，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式证明不等关系 典例1-1 如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 典例1-2已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3． （1）求证； （2）求证． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）将结论式平方，可得到条件式，再运用重要不等式即可求解. （2）结合“1”的妙用方法，将结论式与条件式相乘，只需证，即可证明不等式. 【详解】(1) ． (2) .当且仅当时取等号. . 题型模版 1.特征：题目给出两个或者多个代数式，要求证明它们之间的大小关系，目标不是算出最值，而是完成逻辑推导。式子一般带有两个或更多字母，条件常常附带变量为正数的限制. 2.方法：先仔细观察代数式的结构，把原式拆成两项，满足正数要求，套用基本不等式得到大小关系；再结合不等式的传递性逐步推导，最终证出结论。全程要留意变量正负，不满足正数条件时不能使用基本不等式. 变式1-1《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法. 【详解】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选：A. 变式1-2设、、为正数，且，求证：． 【答案】 由，可得： ． 当且仅当取得等号． 即有． 【分析】运用作差法的思路来证明，由条件可得不等式的左边为，配方即可得证． 【详解】略． 变式1-3已知，，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用，，，可证明结论； （2）要证，需证，结合（1）中结论，利用分析法证明即可. 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， ∴．当且仅当时取等号. （2）要证， 需证， 即证， 需证， ∵由（1）知成立， ∴．当且仅当时取等号. 类型二、利用配凑法求最值 典例2-1 若，则的最小值为 A．-1 B．3 C．-3 D．1 【答案】A 【详解】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值. 详解：，当且仅当时等号成立，故选A. 典例2-2已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 题型模版 1.特征：原始代数式的结构不能直接套用基本不等式，两项的乘积或者求和不是定值，需要人为调整式子结构，是基础高频题型. 2.方法：通过拆项、添项、减项的方式改造原式，凑出两项的乘积或者相加结果为固定不变的常数。一定要保证参与计算的两项都是正数，算出结果之后，必须检验等号成立的条件能不能实现 变式2-1已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 变式2-2已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为：． 变式2-3已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【分析】先观察条件等式和所求式子，由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为. 故答案为： 题型三、利用常值代换求最值 典例3-1 已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 典例3-2 已知，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】先配凑，再采用成“1”法结合基本不等式求解即可； 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号； 所以最小值为， 故答案为：. 题型模版 1.特征：题干给出变量满足的等式条件，目标代数式一般是两个分式相加的形式，是考试里最常考的一类。条件等式的结果通常为 1，方便代换 2.方法：把要求最值的目标式子，整体乘上条件等式对应的常数，展开之后重新分组，配凑出和为定值或者积为定值的两组项，再用基本不等式求解。同样要确认变量全部大于零，最后验证等号能否同时取到 变式3-1已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 变式3-2已知正实数满足，则的最小值为______________. 【答案】； 【分析】将变形成，则根据已知进行1的代换，可得，结合基本不等式即可求出最值. 【详解】解：因为，所以 ，，则原式， 当且仅当，即 时等号成立. 从而. 故答案为: . 变式3-3若正实数满足，则的最小值为_________. 【答案】3 【分析】化简可得，根据基本不等式中“1”的活用，代入计算，即可得答案. 【详解】由题意得， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为3. 故答案为：3． 题型四、消元法求最值 典例4 ，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 题型模版 1.特征：给出题目含有两个变量，附带一个变量之间的等式约束，变量范围会有限制，直接处理二元式子比较困难 2.方法：先利用题干给的条件等式，把其中一个变量用另一个变量表达出来，代入目标式子，将二元式子转化成只有一个变量的函数。再使用基本不等式求最值，过程中不能忽略变量本身的取值范围限制 变式4-1已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 变式4-2若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 变式4-3已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用消元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 题型五、利用双换元法求最值 典例5 -1已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为． 典例5 -2若正实数，满足，则的最小值是_____． 【答案】/0.25 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 题型模版 1.特征：题代数式里面带有根号，或是由多个式子组合成的复杂整体，直接展开或者配凑难度很大，不容易看出基本不等式的结构 2.方法：先引入新的变量，把复杂的整体打包替换，简化原式的书写形式，降低式子复杂度。换元之后，同步写出新变量对应的取值范围，再用基本不等式求最值，最后可以按需换回原来变量 变式5-1已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 变式5-2已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】设，则，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设，则， 所以 , 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 所以的取值范围为. 故答案为： 变式5-3设为正实数，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为：. 题型六、分式分离法求最值 典例6 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 题型模版 1.特征：题待求最值的式子是分式形式，分子最高次数大于或者等于分母最高次数，无法直接拆分凑定值. 2.方法：先对分式进行代数变形，把分子拆成含有分母的多项式，拆分出常数部分，剩下的部分刚好可以凑成能使用基本不等式的两项。注意保证分母对应的代数式为正数，最后检验等号条件 变式6-1已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 变式6-2函数的最大值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】令，结合基本不等式即可求解. 【详解】令，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最大值为， 故选：D 变式6-3已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:． 题型七、条件等式求最值 典例7 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 题型模版 1.特征：题目给定变量满足一个等式约束，在此基础上求另一个代数式的最大值或者最小值，条件形式多样，不一定是等于 1 的形式 2.方法：先观察条件等式和目标代数式之间的内在联系，灵活选择消元或者配凑的思路，构造出和或者积为定值的两项。首要判断变量是否全部为正数，不满足正数前提不能直接使用基本不等式 变式7-1已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 变式7-2已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 变式7-3已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 题型八、多次使用基本不等式求最值 典例8-1 已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 典例8-2 是不同时为0的实数，则的最大值为________． 【答案】 【分析】先变形得,再利用重要不等式得到，,代入即可求解． 【详解】, ， 当且仅当时取等号，所以 的最大值为． 故答案为：． 题型模版 1.特征：题干代数式层次复杂，只放缩一次无法求出最值，需要连续两次甚至更多次使用基本不等式进行放缩 2.方法：先分步进行不等式放缩，最关键的一点：每一步放缩对应的等号成立条件，必须能够同时满足。如果几步的等号无法同时成立，得到的最值就是虚假结果，不能作为答案 变式8-1已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 变式8-2已知，则的最小值为__________． 【答案】4 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 即，当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当等号成立， 综上可得：的最小值为4. 故答案为：4 变式8-3已知实数，满足，则的最小值为______. 【答案】8 【分析】由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 变式8-4已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为：. 类型九、利用柯西不等式求最值 典例9-1 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 典例9-2已知，求的最小值.（利用柯西不等式） 【答案】 【分析】利用柯西不等式进行求解． 【详解】由柯西不等式可知：（）（4+9+36）， ，当且仅当 题型模版 1.特征：给代数式包含平方项的和、两组式子乘积求和这类结构，用普通基本不等式配凑会比较麻烦，适合用柯西求解 2.方法：（，当且仅当时，等号成立），先把原式整理成柯西不等式对应的标准结构，直接套用不等式结论求出最值。使用时要保证式子内各项满足正负要求，最后验证等号成立的条件 变式9-1柯西不等式最早在1821年由柯西提出，其形式为，等式成立当且仅当存在实数，使得．利用柯西不等式解决下面的问题：已知，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】由柯西不等式证明，等式成立当且仅当存在实数，使得．然后再以此结论求解. 【详解】由柯西不等式，对任意有 ， 当且仅当存在实数，使得，即时等式成立， 所以， 等式成立当且仅当存在实数，使得． 所以， 当且仅当时，等式成立． 的最小值为. 变式9-2柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有 当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立. (1)证明二阶柯西不等式： (2)若 求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）利用作差法，将展开化简，再根据完全平方非负的性质证明结论； （2）利用柯西不等式推出，结合已知条件求出的最小值； （3）利用柯西不等式求出的最大值，再根据的取值范围求出最小值． 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立， ． （2）， ， ， ，即，当且仅当时等号成立，结合解得， 的最小值为3． （3）根据柯西不等式①， ①式可化为， 即， ， ，当且仅当，即时取等号， ， ， 在上单调递增，， ，时取最小值，此时 ， 的取值范围为：． 变式9-3从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，构造柯西不等式完成计算； （2）直接构造柯西不等式完成计算； （3）将问题转化为“”，利用柯西不等式求解出，则的取值范围可求. 【详解】（1）由柯西不等式可得：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）的定义域为， 因为 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 当且仅当，即(符合定义域)时取等号， 所以的最大值为. （3）因为，，所以，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 所以； 由柯西不等式可得：， 因为，所以，令， 所以， 所以， 当且仅当，即，即时取等号(满足条件)， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. . 类型十、利用权方和不等式求最值 典例10-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 典例10-2若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 【答案】(1)证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立. (2) (3)这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是. 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式即可证明不等式成立； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）略 （2） ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. （3）略 题型模版 1.特征：已目标式是多个分式相加，分子多为平方形式，分母都是一次式，是处理分式求和最值的快捷工具 2.方法：已知，则有（当且仅当时，等号成立），识别权方和不等式的标准结构，把式子调整到符合要求的形式，直接套用结论快速算出最值。硬性要求所有分母都必须是正数，同时验证等号取到的条件 变式10-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 变式10-2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【分析】先将转化为，然后根据权方和不等式计算. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为：． 变式10-3权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. (2)36 (3) 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）略 （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 题型十一、基本不等式中的恒成立与有解问题 典例11-1 设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 典例11-2 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 题型模版 1.特征：题干代数式带有参数，题目要求不等式在指定范围恒成立，或者在范围内存在解，求参数取值范围 2.方法：先转化为代数式最值问题。恒成立，代表区间内全部数值都满足不等式；有解，代表区间至少存在一个数满足不等式。转化之后求对应函数最值，逻辑和一元二次不等式区间恒成立、有解保持一致 变式11-1若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 变式11-2设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 变式11-3设，若，则实数的最大值为______． 【答案】6 【分析】对已知不等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，由， 可得， 令，则，所以， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为6， 所以要想当时，恒成立， 只需，即的最大值为6． 故答案为：6 题型十二、基本不等式的实际应用问题 典例12 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡：再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金质量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定 【答案】A 【分析】利用平衡条件得出的表达式，再结合基本不等式求出答案即可. 【详解】设顾客实际购得的黄金为，天平左臂长为， 右臂长为，且， 设第一次称量时放在右盘的黄金质量为克，第二次称量放在左盘的黄金质量为克， 可得，解得， 而，当且仅当时等号成立， 由于，可得，故A正确. 故选：A． 题型模版 1.特征：题干属于应用题，结合现实场景，常见有面积、周长、成本、产量、利润等背景，需要先建立数学模型 2.方法：先读懂文字题意，设定变量，根据题目里的等量关系列出目标函数，再利用基本不等式求最大或者最小值。注意变量要符合现实意义，长度、数量这类变量一般大于 0 变式12-1如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 变式12-2已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为_____________；2025年公司的最大利润为_____________万元.（利润=销售额－成本） 【答案】 1680 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润函数； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】当时，； 当时，， ． 若，当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 故答案为：；1680． 变式12-3中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，则函数的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解． 【详解】∵，∴（当且仅当时，即时，取“=”），故选B. 2．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 3．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 4．已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值. 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 5．（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】根据基本不等式及不等式等号成立的条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C， ，当且仅当， 即，时，等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 与已知矛盾，所以等号不成立，故D错误. 综上所述，选项BC正确. 6．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 7．已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 8．已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，因为不等式有解， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 9．若x，y，z均为正实数，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可. 【详解】 ， 所以， 当且仅当时取到等号， 故答案为：． 10．某同学去实验室领200g氯化钠，实验室暂时只有一台受损天平（两臂不等长），实验员先将的砝码放入天平左盘，称出一份氯化钠，然后将砝码放入天平右盘，再称出一份氯化钠，这样称出的两份氯化钠质量之和________（在下列符号中，选择最恰当的填入：>、=、<、≥、≤、） 【答案】 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，同学现将100g的砝码放在左盘，将氯化钠放在右盘使之平衡；然后又将100g的砝码放入右盘，将另一氯化钠放在左盘使之平衡，则实际所得氯化钠为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论． 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得氯化钠为，后称得氯化钠为，根据杠杆原理有，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即， 因此，同学所得的氯化钠大于200g． 故答案为：． 11．已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 【答案】/0.5 【分析】利用已知条件化简不等式，再用换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值． 【详解】，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时， ， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 故答案为：． 12．已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明：，且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. (2)证明：，且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1）略； （2）略. 13．已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式求解积的最大值； （2）结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，再利用基本不等式求和的最小值； （3）先对所求式进行化简，再结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 14．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 15．柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，其一般形式为： ，，…，，，，…，，且，有 ， 当且仅当时，等号成立． 柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题． 例如： 已知，由柯西不等式，可得． 当且仅当时，等号成立．又，解得，．即当，时，取得最小值． 运用柯西不等式，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)3； (2)9. 【分析】（1）直接构造柯西不等式可得； （2）根据所求式子构造条件，再用柯西不等式可得. 【详解】（1）由柯西不等式可得： ，又因为， 所以，即得． 当且仅当时，等号成立．又，解得，． 即当，时，取得最小值3． （2）由柯西不等式可得． 即， 得，化简得． 当且时，即时等号成立， 故的最大值为9．； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式的综合应用问题十二类综合题型 （含柯西不等式、权方和不等式） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式证明不等关系 题型二、利用配凑法求最值 题型三、值代换求最值 题型四、利用消元法求最值 题型五、利用双换元法求最值 题型六、分式分离法求最值 题型七、条件等式求最值求最值 题型八、使用基本不等式求最值 题型九、利用柯西不等式求最值 题型十、利用权方和不等式求最值 题型十一、基本不等式中的恒成立与有解问题 题型十二、基本不等式的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式的综合应用问题是高中不等式板块的重难点，所有题型均围绕不等式证明、配凑求最值、常值代换、消元法、换元法、分式分离、条件等式求最值、多次放缩、柯西与权方和、恒成立有解、实际应用十二大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是使用基本不等式必须优先验证各项为正数；二是构造式子要保证和或积为定值；三是求出最值后务必检验等号能够取到；四是多次使用不等式放缩时，要保证全部取等条件可以同时成立；分式结构求最值要留意分母正负，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式证明不等关系 典例1-1 如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 典例1-2已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3． （1）求证； （2）求证． 题型模版 1.特征：题目给出两个或者多个代数式，要求证明它们之间的大小关系，目标不是算出最值，而是完成逻辑推导。式子一般带有两个或更多字母，条件常常附带变量为正数的限制. 2.方法：先仔细观察代数式的结构，把原式拆成两项，满足正数要求，套用基本不等式得到大小关系；再结合不等式的传递性逐步推导，最终证出结论。全程要留意变量正负，不满足正数条件时不能使用基本不等式. 变式1-1《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2设、、为正数，且，求证：． 变式1-3已知，，，，求证： (1)； (2)． 类型二、利用配凑法求最值 典例2-1 若，则的最小值为 A．-1 B．3 C．-3 D．1 典例2-2已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 题型模版 1.特征：原始代数式的结构不能直接套用基本不等式，两项的乘积或者求和不是定值，需要人为调整式子结构，是基础高频题型. 2.方法：通过拆项、添项、减项的方式改造原式，凑出两项的乘积或者相加结果为固定不变的常数。一定要保证参与计算的两项都是正数，算出结果之后，必须检验等号成立的条件能不能实现 变式2-1已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 变式2-2已知，则的最大值为__________. 变式2-3已知，且，则的最大值为_________； 题型三、利用常值代换求最值 典例3-1 已知正实数，满足，则的最小值为________． 典例3-2 已知，且，则的最小值为_______． 题型模版 1.特征：题干给出变量满足的等式条件，目标代数式一般是两个分式相加的形式，是考试里最常考的一类。条件等式的结果通常为 1，方便代换 2.方法：把要求最值的目标式子，整体乘上条件等式对应的常数，展开之后重新分组，配凑出和为定值或者积为定值的两组项，再用基本不等式求解。同样要确认变量全部大于零，最后验证等号能否同时取到 变式3-1已知，则的最小值为________． 变式3-2已知正实数满足，则的最小值为______________. 变式3-3若正实数满足，则的最小值为_________. 题型四、消元法求最值 典例4 ，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出题目含有两个变量，附带一个变量之间的等式约束，变量范围会有限制，直接处理二元式子比较困难 2.方法：先利用题干给的条件等式，把其中一个变量用另一个变量表达出来，代入目标式子，将二元式子转化成只有一个变量的函数。再使用基本不等式求最值，过程中不能忽略变量本身的取值范围限制 变式4-1已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-2若正实数满足，则的最小值是 . 变式4-3已知，且，则的最大值为__________. 题型五、利用双换元法求最值 典例5 -1已知，，，则的最大值为____. 典例5 -2若正实数，满足，则的最小值是_____． 题型模版 1.特征：题代数式里面带有根号，或是由多个式子组合成的复杂整体，直接展开或者配凑难度很大，不容易看出基本不等式的结构 2.方法：先引入新的变量，把复杂的整体打包替换，简化原式的书写形式，降低式子复杂度。换元之后，同步写出新变量对应的取值范围，再用基本不等式求最值，最后可以按需换回原来变量 变式5-1已知，，，则的最小值为________. 变式5-2已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 变式5-3设为正实数，则的最小值是____________． 题型六、分式分离法求最值 典例6 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型模版 1.特征：题待求最值的式子是分式形式，分子最高次数大于或者等于分母最高次数，无法直接拆分凑定值. 2.方法：先对分式进行代数变形，把分子拆成含有分母的多项式，拆分出常数部分，剩下的部分刚好可以凑成能使用基本不等式的两项。注意保证分母对应的代数式为正数，最后检验等号条件 变式6-1已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 变式6-2函数的最大值为（   ） A．1 B． C．3 D． 变式6-3已知，则函数的最小值是______． 题型七、条件等式求最值 典例7 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 题型模版 1.特征：题目给定变量满足一个等式约束，在此基础上求另一个代数式的最大值或者最小值，条件形式多样，不一定是等于 1 的形式 2.方法：先观察条件等式和目标代数式之间的内在联系，灵活选择消元或者配凑的思路，构造出和或者积为定值的两项。首要判断变量是否全部为正数，不满足正数前提不能直接使用基本不等式 变式7-1已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 变式7-2已知，，且，则的最小值为______. 变式7-3已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 题型八、多次使用基本不等式求最值 典例8-1 已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 典例8-2 是不同时为0的实数，则的最大值为________． 题型模版 1.特征：题干代数式层次复杂，只放缩一次无法求出最值，需要连续两次甚至更多次使用基本不等式进行放缩 2.方法：先分步进行不等式放缩，最关键的一点：每一步放缩对应的等号成立条件，必须能够同时满足。如果几步的等号无法同时成立，得到的最值就是虚假结果，不能作为答案 变式8-1已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 变式8-2已知，则的最小值为__________． 变式8-3已知实数，满足，则的最小值为______. 变式8-4已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 类型九、利用柯西不等式求最值 典例9-1 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 典例9-2已知，求的最小值.（利用柯西不等式） 题型模版 1.特征：给代数式包含平方项的和、两组式子乘积求和这类结构，用普通基本不等式配凑会比较麻烦，适合用柯西求解 2.方法：（，当且仅当时，等号成立），先把原式整理成柯西不等式对应的标准结构，直接套用不等式结论求出最值。使用时要保证式子内各项满足正负要求，最后验证等号成立的条件 变式9-1柯西不等式最早在1821年由柯西提出，其形式为，等式成立当且仅当存在实数，使得．利用柯西不等式解决下面的问题：已知，则的最小值为___________． 变式9-2柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有 当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立. (1)证明二阶柯西不等式： (2)若 求的最小值； (3)若，求的取值范围． 变式9-3从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. . 类型十、利用权方和不等式求最值 典例10-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 典例10-2若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 题型模版 1.特征：已目标式是多个分式相加，分子多为平方形式，分母都是一次式，是处理分式求和最值的快捷工具 2.方法：已知，则有（当且仅当时，等号成立），识别权方和不等式的标准结构，把式子调整到符合要求的形式，直接套用结论快速算出最值。硬性要求所有分母都必须是正数，同时验证等号取到的条件 变式10-1权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 变式10-2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 变式10-3权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 题型十一、基本不等式中的恒成立与有解问题 典例11-1 设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 典例11-2 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 题型模版 1.特征：题干代数式带有参数，题目要求不等式在指定范围恒成立，或者在范围内存在解，求参数取值范围 2.方法：先转化为代数式最值问题。恒成立，代表区间内全部数值都满足不等式；有解，代表区间至少存在一个数满足不等式。转化之后求对应函数最值，逻辑和一元二次不等式区间恒成立、有解保持一致 变式11-1若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-2设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 变式11-3设，若，则实数的最大值为______． 题型十二、基本不等式的实际应用问题 典例12 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡：再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金质量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定 题型模版 1.特征：题干属于应用题，结合现实场景，常见有面积、周长、成本、产量、利润等背景，需要先建立数学模型 2.方法：先读懂文字题意，设定变量，根据题目里的等量关系列出目标函数，再利用基本不等式求最大或者最小值。注意变量要符合现实意义，长度、数量这类变量一般大于 0 变式12-1如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 变式12-2已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为_____________；2025年公司的最大利润为_____________万元.（利润=销售额－成本） 变式12-3中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，则函数的最小值为 A． B． C． D． 2．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 3．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 6．若，则的最大值为________． 7．已知实数，满足，则的最大值为_____． 8．已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是________. 9．若x，y，z均为正实数，则的最大值是______． 10．某同学去实验室领200g氯化钠，实验室暂时只有一台受损天平（两臂不等长），实验员先将的砝码放入天平左盘，称出一份氯化钠，然后将砝码放入天平右盘，再称出一份氯化钠，这样称出的两份氯化钠质量之和________（在下列符号中，选择最恰当的填入：>、=、<、≥、≤、） 11．已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 12．已知，且.求证： (1)； (2). 13．已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 14．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 15．柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，其一般形式为： ，，…，，，，…，，且，有 ， 当且仅当时，等号成立． 柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题． 例如： 已知，由柯西不等式，可得． 当且仅当时，等号成立．又，解得，．即当，时，取得最小值． 运用柯西不等式，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)求的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $