专题05 基本不等式求最值（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值，以“一正二定三相等”为核心，通过五类题型构建从基础到变式的递进训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |标准求最值|4题|直接应用“一正二定三相等”|概念基础，体现基本不等式核心条件| |常数配凑型|2题|通过配凑构造“定”值|在标准型基础上发展，培养转化思维| |“1”的替换法|9题|利用等式条件转化目标式|强化条件约束下的变量代换推理| |二次分式分离|4题|分离常数化为可利用形式|结合分式运算，提升代数变形能力| |双变量约束|5题|含等式条件的多变量问题|综合应用前序方法，发展综合解题能力|

专题05 基本不等式求最值 题型一 一正二定三相等标准求最值 题型二 常数配凑型单式最值 题型三 “1”的替换法求最值 题型四 二次分式分离常数型 题型五 带等式约束双变量最值 题型六 多变量轮换对称最值 题型一 一正二定三相等标准求最值 1．已知，且，求 (1)的最小值； (2)的最小值 【答案】(1)64 (2)18 【分析】（1）直接利用基本不等式构造关于的不等式，解出即可； （2）利用乘“1”法即可. 【详解】（1）， （当且仅当 时等号成立）， 即，两边平方得，即，当且仅当时等号成立， 的最小值为64. （2）， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为18. 2．若x，y为正数，且+2y=3，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值. 【详解】由x，y为正数得3=+2y≥2，即，所以≤，≤， 当且仅当，即x=，y=时等号成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 3．已知正数满足，则的最小值为___________． 【答案】9 【解析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数满足， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：9 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．设，满足，且，都是正数，则的最大值是______. 【答案】400 【分析】直接利用基本不等式得，解出范围即可. 【详解】由于、都是正数,且, 利用基本不等式可得,即, 当且仅当时,等号成立, 故答案为：400. 题型二 常数配凑型单式最值 1．若实数m，n满足，则关于的最值，结论正确的是（    ） A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为4 D．最大值为4 【答案】A 【分析】由得到，代入之后利用基本不等式即可得到答案 【详解】解：由可得， 因为，所以，所以， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴有最小值8， 故选：A． 2．已知，则的最小值等于（    ） A．3+ B． C．3 D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，得到，则，化，展开后，利用基本不等式，即可得出结果. 【详解】因为，所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：B. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 题型三 “1”的替换法求最值 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 2．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当时等号成立，故目标式的最小值为9. 故选：D 4．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用“1”的代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为正数，满足， 则， 当且仅当时取等号. 故选：C. 5．已知正数x，y满足，则取得最小值时（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数x，y， 所以，当且仅当 时取等号，即时，取等号，而，所以解得， 故选：B 6．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：D 7．已知且，则的最小值是（    ） A．12 B．16 C．15 D．14 【答案】D 【分析】先结合已知将变为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值是14. 故选：D 8．正数，满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为为正数，且，所以有， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求最值问题，属于中档题. 9．已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用“乘1法”与基本不等式即可得出． 【详解】， 当且仅当，时，等号成立． 故选：D. 题型四 二次分式分离常数型 1．已知，求的最大值______. 【答案】0 【解析】原式化为，结合基本不等式即可求解最大值． 【详解】，所以， 因为，当且仅当时，取等号； ． 即的最大值为0． 故答案为：0． 【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 2．函数 的最大值为________. 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．已知，则的最大值为__________. 【答案】1 【分析】利用基本不等式求算式的最大值. 【详解】由，则，当且仅当，即时等号成立， ，所以时，有最大值1. 故答案为：1 4．若，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】先分离常数，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8． 故答案为：. 题型五 带等式约束双变量最值 1．解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）将变形为，利用基本不等式计算可得结果； （2）根据基本不等式中“1”的应用代入计算可得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 故的最大值为. （2），且， 所以， 即的最小值为， 当且仅当，即，时取等号 2．（1）已知，求的最小值 （2）已知，，若，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）2 【分析】（1）先将变形配凑得，再利用基本不等式即可求解. （2）由题设结合基本不等式得，即，解该不等式即可得解. 【详解】（1） 因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为9. （2）（1）因为，，依题意得， 令，则，即， 又，所以，即，从而， 由及，得，， 故当，时，取得最大值为2. 3．（1）当时，求函数的最大值； （2）设，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）18 【分析】（1）把目标式进行变形，使其符合基本不等式的条件，利用基本不等式求解最大值； （2）利用，结合“1”的妙用，利用基本不等式求解最小值. 【详解】（1），则， 当，即时等号成立. （2）因为，则由得， 则，当且仅当，即时，即时等号成立. 所以的最小值是18. 4．若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据条件可得出，，从而，再根据基本不等式可得出，则的最大值为. 【详解】，，， ，， ， ， 当且仅当，即时取等号， ，即， 的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题. 5．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】因为，，，所以， 故， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，故，则的最大值为. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 基本不等式求最值 题型一 一正二定三相等标准求最值 题型二 常数配凑型单式最值 题型三 “1”的替换法求最值 题型四 二次分式分离常数型 题型五 带等式约束双变量最值 题型一 一正二定三相等标准求最值 1．已知，且，求 (1)的最小值； (2)的最小值 2．若x，y为正数，且+2y=3，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正数满足，则的最小值为___________． 4．设，满足，且，都是正数，则的最大值是______. 题型二 常数配凑型单式最值 1．若实数m，n满足，则关于的最值，结论正确的是（    ） A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为4 D．最大值为4 2．已知，则的最小值等于（    ） A．3+ B． C．3 D． 题型三 “1”的替换法求最值 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．已知正数x，y满足，则取得最小值时（    ） A． B． C．1 D． 6．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知且，则的最小值是（    ） A．12 B．16 C．15 D．14 8．正数，满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．7 C．8 D．9 9．已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 题型四 二次分式分离常数型 1．已知，求的最大值______. 2．函数 的最大值为________. 3．已知，则的最大值为__________. 4．若，则的最小值为___________. 题型五 带等式约束双变量最值 1．解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 2．（1）已知，求的最小值 （2）已知，，若，求的最大值； 3．（1）当时，求函数的最大值； （2）设，且，求的最小值. 4．若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $