专题05 基本不等式的综合应用问题十类综合题型（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第一册

专题05 基本不等式的综合应用问题十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式（链）证明不等关系 题型二、利用配凑法（凑项、凑系数）求最值 题型三、值代换（“1”的妙用）求最值 题型四、利用消元法（反解代入）求最值 题型五、利用双换元法求最值 题型六、分式分离法（二次/一次）求最值 题型七、条件等式求最值求最值 题型八、使用基本不等式求最值 题型九、基本不等式中的恒成立与有解问题 题型十、基本不等式的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式的综合应用问题是高中不等式板块的重难点，所有题型均围绕不等式证明、配凑求最值、常值代换、消元法、换元法、分式分离、条件等式求最值、多次放缩、恒成立有解、实际应用十大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是使用基本不等式必须优先验证各项为正数；二是构造式子要保证和或积为定值；三是求出最值后务必检验等号能够取到；四是多次使用不等式放缩时，要保证全部取等条件可以同时成立；分式结构求最值要留意分母正负，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式（链）证明不等关系 典例1《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 典例1-2已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3． （1）求证； （2）求证． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）将结论式平方，可得到条件式，再运用重要不等式即可求解. （2）结合“1”的妙用方法，将结论式与条件式相乘，只需证，即可证明不等式. 【详解】(1) ． (2) .当且仅当时取等号. . 题型模版 1.特征：题目给出两个或者多个代数式，要求证明它们之间的大小关系，目标不是算出最值，而是完成逻辑推导。式子一般带有两个或更多字母，条件常常附带变量为正数的限制. 2.方法：先仔细观察代数式的结构，把原式拆成两项，满足正数要求，套用基本不等式得到大小关系；再结合不等式的传递性逐步推导，最终证出结论。全程要留意变量正负，不满足正数条件时不能使用基本不等式. 变式1-1《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法. 【详解】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选：A. 变式1-2设、、为正数，且，求证：． 【答案】 由，可得： ． 当且仅当取得等号． 即有． 【分析】运用作差法的思路来证明，由条件可得不等式的左边为，配方即可得证． 【详解】略． 变式1-3（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 题型二、利用配凑法（凑项、凑系数）求最值 典例2-1 已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式成立的条件. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 典例2-2已知且,求的最大值. 【答案】 【详解】解：即,，所以 当且仅当即时取.所以最大值为. 题型模版 1.特征：原始代数式的结构不能直接套用基本不等式，两项的乘积或者求和不是定值，需要人为调整式子结构，是基础高频题型. 2.方法：通过拆项、添项、减项的方式改造原式，凑出两项的乘积或者相加结果为固定不变的常数。一定要保证参与计算的两项都是正数，算出结果之后，必须检验等号成立的条件能不能实现 变式2-1若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C 变式2-2已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为：． 变式2-3求的最小值. 【答案】 【详解】解：∵ 当且仅当即时取,所以最小值为. 题型三、利用常值代换（“1”的妙用）求最值 典例3-1 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 典例3-2 若正实数、满足，求的最小值. 【答案】9 【详解】解：, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为9. 题型模版 1.特征：题干给出变量满足的等式条件，目标代数式一般是两个分式相加的形式，是考试里最常考的一类。条件等式的结果通常为 1，方便代换 2.方法：把要求最值的目标式子，整体乘上条件等式对应的常数，展开之后重新分组，配凑出和为定值或者积为定值的两组项，再用基本不等式求解。同样要确认变量全部大于零，最后验证等号能否同时取到 变式3-1已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 变式3-2已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 变式3-3若正实数满足，则的最小值为_________. 【答案】3 【分析】化简可得，根据基本不等式中“1”的活用，代入计算，即可得答案. 【详解】由题意得， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为3. 故答案为：3． 变式3-4已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 题型四、利用消元法（反解代入）求最值 典例4 已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得. 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 题型模版 1.特征：给出题目含有两个变量，附带一个变量之间的等式约束，变量范围会有限制，直接处理二元式子比较困难 2.方法：先利用题干给的条件等式，把其中一个变量用另一个变量表达出来，代入目标式子，将二元式子转化成只有一个变量的函数。再使用基本不等式求最值，过程中不能忽略变量本身的取值范围限制 变式4-1已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 变式4-2已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 变式4-3已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 题型五、利用双换元法求最值 典例5 -1已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为． 典例5 -2已知正数a，b满足，求的最小值. 【答案】 【详解】解：令,则,所以条件化为,目标 +,由,所以的最小值为，故的最小值为. 题型模版 1.特征：题代数式里面带有根号，或是由多个式子组合成的复杂整体，直接展开或者配凑难度很大，不容易看出基本不等式的结构 2.方法：先引入新的变量，把复杂的整体打包替换，简化原式的书写形式，降低式子复杂度。换元之后，同步写出新变量对应的取值范围，再用基本不等式求最值，最后可以按需换回原来变量 变式5-1已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 变式5-2已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】设，则，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设，则， 所以 , 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 所以的取值范围为. 故答案为： 变式5-3已知均为正实数，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据题设条件特征令，，则，用其替代问题中的变量，从而达到消元和简化题设问题，并构造出基本不等式模型，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知均为正实数，，即， 令，，所以， 所以 ， 当且仅当，即或取等号． 则的最小值是. 故答案为：. 题型六、分式分离法（二次/一次）求最值 典例6 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 题型模版 1.特征：题待求最值的式子是分式形式，分子最高次数大于或者等于分母最高次数，无法直接拆分凑定值. 2.方法：先对分式进行代数变形，把分子拆成含有分母的多项式，拆分出常数部分，剩下的部分刚好可以凑成能使用基本不等式的两项。1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 变式6-1函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 【答案】9 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为x＞－1，则x＋1＞0， 所以y＝ ＝＝(x＋1)＋＋5 ≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝， 即x＝1时等号成立， 所以函数的最小值为9 故答案为：9 变式6-2设，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为 故答案为： 变式6-3已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:． 题型七、条件等式求最值 典例7 已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果. 【详解】由得， 即， 当且仅当，取到等号， 故选：C. 题型模版 1.特征：题目给定变量满足一个等式约束，在此基础上求另一个代数式的最大值或者最小值，条件形式多样，不一定是等于 1 的形式 2.方法：先观察条件等式和目标代数式之间的内在联系，灵活选择消元或者配凑的思路，构造出和或者积为定值的两项。首要判断变量是否全部为正数，不满足正数前提不能直接使用基本不等式 变式7-1已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 变式7-2已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 /0.4 【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由,可得， 当且仅当，即时取到等号, 即的最大值为； ，可得， 当且仅当，即或时取到等号， 即的最小值为； 故答案为：； 变式7-3已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 题型八、多次使用基本不等式求最值 典例8-1 设，则的最小值是 A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案. 【详解】解：， ， 当且仅当，即时取等号， ， 当且仅当取等号，即，取最小值， 可得的最小值：4， 故选B. 典例8-2 是不同时为0的实数，则的最大值为________． 【答案】 【分析】先变形得,再利用重要不等式得到，,代入即可求解． 【详解】, ， 当且仅当时取等号，所以 的最大值为． 故答案为：． 题型模版 1.特征：题干代数式层次复杂，只放缩一次无法求出最值，需要连续两次甚至更多次使用基本不等式进行放缩 2.方法：先分步进行不等式放缩，最关键的一点：每一步放缩对应的等号成立条件，必须能够同时满足。如果几步的等号无法同时成立，得到的最值就是虚假结果，不能作为答案 变式8-1已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 变式8-2已知，则的最小值为__________． 【答案】4 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 即，当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当等号成立， 综上可得：的最小值为4. 故答案为：4 变式8-3设，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案. 【详解】解：， ， 当且仅当，即时取等号， ， 当且仅当取等号，即，取最小值， 可得的最小值：4， 故选B. 题型九、基本不等式中的恒成立与有解问题 典例9-1 若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出的最小值即可. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 由对任意满足的实数，都有成立，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 典例9-2 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 题型模版 1.特征：题干代数式带有参数，题目要求不等式在指定范围恒成立，或者在范围内存在解，求参数取值范围 2.方法：先转化为代数式最值问题。恒成立，代表区间内全部数值都满足不等式；有解，代表区间至少存在一个数满足不等式。转化之后求对应函数最值，逻辑和一元二次不等式区间恒成立、有解保持一致 变式9-1若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 变式9-2设，对于使成立的所有常数，我们把的最小值叫做的上确界．若，，且，则的上确界为（    ） A．－4 B．－3 C． D． 【答案】D 【分析】通过基本不等式可得，进而可得结论． 【详解】，且， ， 当且仅当即时等号成立， 则有，即得，即的上确界. 故选：D． 变式9-3已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】 【分析】代数变形后利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，故， 因为，故， 而，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故，故实数的最大值是. 题型十、基本不等式的实际应用问题 典例10 校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形（小矩形）场地用来展示校友的书画作品.它的左､右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域（大矩形）面积的最小值是（    ） A．360平方米 B．384平方米 C．361平方米 D．400平方米 【答案】C 【分析】设小矩形的长为x米，宽为y米，整个书画展区域的面积为S平方米,则，由题意可得化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】设小矩形的长为x米，宽为y米，整个书画展区域的面积为S平方米.由， 得， 当且仅当，即时，等号成立. 故整个书画展区域面积的最小值是361平方米. 故选：C 题型模版 1.特征：题干属于应用题，结合现实场景，常见有面积、周长、成本、产量、利润等背景，需要先建立数学模型 2.方法：先读懂文字题意，设定变量，根据题目里的等量关系列出目标函数，再利用基本不等式求最大或者最小值。注意变量要符合现实意义，长度、数量这类变量一般大于 0 变式10-1一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是________（填“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”）． 【答案】> 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 故答案为：>. 变式10-2某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计. （1）设计污水处理池的宽为，总造价为，求关于的表达式，并求出的最小值； （2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1），总造价最低为38880元；（2）长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38882元. 【解析】（1）污水处理池的底面积一定，设宽为米，可表示出长，从而得出总造价，利用基本不等式求出最小值； （2）由长和宽的限制条件，得自变量的范围，判断总造价函数在的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值． 【详解】（1）设污水处理池的宽为，则长为米 总造价 (元) 当且仅当，即时取等号 当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38880元. （2）由限制条件知， 设，在上是增函数， 当时(此时)，有最小值，即有最小值， 即为(元) 当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38882元 变式10-3如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 变式10-4中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 2．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 3．已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 4．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 5．设实数满足，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6．已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 7．已知，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】先配凑，再采用成“1”法结合基本不等式求解即可； 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号； 所以最小值为， 故答案为：. 8．已知正实数满足，则的最小值为______________. 【答案】； 【分析】将变形成，则根据已知进行1的代换，可得，结合基本不等式即可求出最值. 【详解】解：因为，所以 ，，则原式， 当且仅当，即 时等号成立. 从而. 故答案为: . 9．已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用消元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：． 10．若正实数，满足，则的最小值是_____． 【答案】/0.25 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为：． 11．设为正实数，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为：. 12．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 13．已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)证明:由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． (2) (3) 【分析】（1）根据等式条件，对代数式进行换元，再根据基本不等式中的配凑法，证明不等式成立即可. （2）根据参数的范围，构造等式，再根据基本不等式中“1”的运用，求出最小值即可. （3）根据参数的范围，解出关于x的不等式，根据基本不等式，求出代数式的最小值，求出结果. 【详解】（1）略． （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 14．已知，，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用，，，可证明结论； （2）要证，需证，结合（1）中结论，利用分析法证明即可. 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， ∴．当且仅当时取等号. （2）要证， 需证， 即证， 需证， ∵由（1）知成立， ∴．当且仅当时取等号． 15．已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 【答案】(1)证明：因为且， 所以，且， 所以且. (2)证明：由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 则. 因为对任意的恒成立， 即为恒成立， 而，所以. 又为自然数，所以或. (3). 【分析】（1）根据不等式的性质即可证明； （2）展开，利用基本不等式即可证明； （3）由题意可得恒成立，展开即可证明. 【详解】（1）略 （2）或，证明略； （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以当自然数满足时，不等式 对任意恒成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 基本不等式的综合应用问题五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式（链）证明不等关系 题型二、利用配凑法（凑项、凑系数）求最值 题型三、值代换（“1”的妙用）求最值 题型四、利用消元法（反解代入）求最值 题型五、利用双换元法求最值 题型六、分式分离法（二次/一次）求最值 题型七、条件等式求最值求最值 题型八、使用基本不等式求最值 题型九、基本不等式中的恒成立与有解问题 题型十、基本不等式的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式的综合应用问题是高中不等式板块的重难点，所有题型均围绕不等式证明、配凑求最值、常值代换、消元法、换元法、分式分离、条件等式求最值、多次放缩、恒成立有解、实际应用十大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是使用基本不等式必须优先验证各项为正数；二是构造式子要保证和或积为定值；三是求出最值后务必检验等号能够取到；四是多次使用不等式放缩时，要保证全部取等条件可以同时成立；分式结构求最值要留意分母正负，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用基本不等式（链）证明不等关系 典例1《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 典例1-2已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3． （1）求证； （2）求证． 题型模版 1.特征：题目给出两个或者多个代数式，要求证明它们之间的大小关系，目标不是算出最值，而是完成逻辑推导。式子一般带有两个或更多字母，条件常常附带变量为正数的限制. 2.方法：先仔细观察代数式的结构，把原式拆成两项，满足正数要求，套用基本不等式得到大小关系；再结合不等式的传递性逐步推导，最终证出结论。全程要留意变量正负，不满足正数条件时不能使用基本不等式. 变式1-1《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2设、、为正数，且，求证：． 变式1-3（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2） 已知，，均为正实数，求证：. 题型二、利用配凑法（凑项、凑系数）求最值 典例2-1 已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 典例2-2已知且,求的最大值. 题型模版 1.特征：原始代数式的结构不能直接套用基本不等式，两项的乘积或者求和不是定值，需要人为调整式子结构，是基础高频题型. 2.方法：通过拆项、添项、减项的方式改造原式，凑出两项的乘积或者相加结果为固定不变的常数。一定要保证参与计算的两项都是正数，算出结果之后，必须检验等号成立的条件能不能实现 变式2-1若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式2-2已知，则的最大值为__________. 变式2-3求的最小值. 题型三、利用常值代换（“1”的妙用）求最值 典例3-1 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 典例3-2 若正实数、满足，求的最小值. 题型模版 1.特征：题干给出变量满足的等式条件，目标代数式一般是两个分式相加的形式，是考试里最常考的一类。条件等式的结果通常为 1，方便代换 2.方法：把要求最值的目标式子，整体乘上条件等式对应的常数，展开之后重新分组，配凑出和为定值或者积为定值的两组项，再用基本不等式求解。同样要确认变量全部大于零，最后验证等号能否同时取到 变式3-1已知正实数，满足，则的最小值为________． 变式3-2已知，则的最小值为_______. 变式3-3若正实数满足，则的最小值为_________. 变式3-4已知，且，则的最小值为 ． 题型四、利用消元法（反解代入）求最值 典例4 已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 题型模版 1.特征：给出题目含有两个变量，附带一个变量之间的等式约束，变量范围会有限制，直接处理二元式子比较困难 2.方法：先利用题干给的条件等式，把其中一个变量用另一个变量表达出来，代入目标式子，将二元式子转化成只有一个变量的函数。再使用基本不等式求最值，过程中不能忽略变量本身的取值范围限制 变式4-1已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-2已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 变式4-3已知，，且，则的最小值为________. 题型五、利用双换元法求最值 典例5 -1已知，，，则的最大值为____. 典例5 -2已知正数a，b满足，求的最小值. 题型模版 1.特征：题代数式里面带有根号，或是由多个式子组合成的复杂整体，直接展开或者配凑难度很大，不容易看出基本不等式的结构 2.方法：先引入新的变量，把复杂的整体打包替换，简化原式的书写形式，降低式子复杂度。换元之后，同步写出新变量对应的取值范围，再用基本不等式求最值，最后可以按需换回原来变量 变式5-1已知，，，则的最小值为________. 变式5-2已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 变式5-3已知均为正实数，，则的最小值是______． 题型六、分式分离法（二次/一次）求最值 典例6 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型模版 1.特征：题待求最值的式子是分式形式，分子最高次数大于或者等于分母最高次数，无法直接拆分凑定值. 2.方法：先对分式进行代数变形，把分子拆成含有分母的多项式，拆分出常数部分，剩下的部分刚好可以凑成能使用基本不等式的两项。1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 变式6-1函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 变式6-2设，则的最小值为_____________． 变式6-3已知，则函数的最小值是______． 题型七、条件等式求最值 典例7 已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题目给定变量满足一个等式约束，在此基础上求另一个代数式的最大值或者最小值，条件形式多样，不一定是等于 1 的形式 2.方法：先观察条件等式和目标代数式之间的内在联系，灵活选择消元或者配凑的思路，构造出和或者积为定值的两项。首要判断变量是否全部为正数，不满足正数前提不能直接使用基本不等式 变式7-1已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 变式7-2已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 变式7-3已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 题型八、多次使用基本不等式求最值 典例8-1 设，则的最小值是 A．2 B．4 C． D．5 典例8-2 是不同时为0的实数，则的最大值为________． 题型模版 1.特征：题干代数式层次复杂，只放缩一次无法求出最值，需要连续两次甚至更多次使用基本不等式进行放缩 2.方法：先分步进行不等式放缩，最关键的一点：每一步放缩对应的等号成立条件，必须能够同时满足。如果几步的等号无法同时成立，得到的最值就是虚假结果，不能作为答案 变式8-1已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 变式8-2已知，则的最小值为__________． 变式8-3设，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．5 题型九、基本不等式中的恒成立与有解问题 典例9-1 若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______． 典例9-2 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 题型模版 1.特征：题干代数式带有参数，题目要求不等式在指定范围恒成立，或者在范围内存在解，求参数取值范围 2.方法：先转化为代数式最值问题。恒成立，代表区间内全部数值都满足不等式；有解，代表区间至少存在一个数满足不等式。转化之后求对应函数最值，逻辑和一元二次不等式区间恒成立、有解保持一致 变式9-1若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9-2设，对于使成立的所有常数，我们把的最小值叫做的上确界．若，，且，则的上确界为（    ） A．－4 B．－3 C． D． 变式9-3已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 题型十、基本不等式的实际应用问题 典例10 校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形（小矩形）场地用来展示校友的书画作品.它的左､右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域（大矩形）面积的最小值是（    ） A．360平方米 B．384平方米 C．361平方米 D．400平方米 题型模版 1.特征：题干属于应用题，结合现实场景，常见有面积、周长、成本、产量、利润等背景，需要先建立数学模型 2.方法：先读懂文字题意，设定变量，根据题目里的等量关系列出目标函数，再利用基本不等式求最大或者最小值。注意变量要符合现实意义，长度、数量这类变量一般大于 0 变式10-1一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是________（填“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”）． 变式10-2某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计. （1）设计污水处理池的宽为，总造价为，求关于的表达式，并求出的最小值； （2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 变式10-3如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 变式10-4中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 2．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为________． 4．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．设实数满足，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 6．已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 7．已知，且，则的最小值为_______． 8．已知正实数满足，则的最小值为______________. 9．已知，且，则的最大值为__________. 10．若正实数，满足，则的最小值是_____． 11．设为正实数，则的最小值是____________． 12．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 13．已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 14．已知，，，，求证： (1)； (2)． 15．已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $