培优专题 基本不等式十二种重难点题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“四大核心+三条原则”构建方法体系，通过十二种题型分层突破基本不等式最值问题，注重推理能力与模型观念培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法+易错点|四大核心（公式/条件/构造/范围）、三条原则（正数/定值/相等）|从公式本质到应用条件，建立不等式使用规范| |题型归纳|12题型（典例+变式）|凑系数/乘一乘/换元/消元等十二种构造技巧|按问题复杂度递进，从直接应用到多变量转化| |压轴挑战|15题|综合应用策略（跨题型融合/多法联用）|衔接高考难题，提升抽象与复杂问题解决能力|

培优专题 基本不等式十二种重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接定"a"、"b"利用基本不等式求最值 题型二、凑系数定"a"、"b"利用基本不等式求最值 题型三、有和有倒数结构”乘一乘“求最值 题型四、换元法化”"结构求最值 题型五、和积分离后再用基本不等式求最值 题型六、有积、有和、有平方和，消平方和后再用基本不等式求最值 题型七、消元（主元）思想求最值 题型八、"万能t法”求最值 题型九、常数代换化齐次式结构求最值 题型十、双换元法求最值 题型十一、三（多）变量求最值 题型十二、利用基本不等比大小或证明不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式是高中数学最值、范围问题的核心工具，所有题型围绕基本不等式公式、一正二定三相等、凑配构造技巧、最值取值范围四大核心展开，解题贯穿三条底线原则：一. 正数为先决条件，使用基本不等式前，必须保证参与运算的式子各项均为正数，负数必须先变号、整体加负号处理；二.定值为核心要求，求和最值凑积为定值，求积最值凑和为定值，无定值必须通过凑配、拆项、换元构造定值；三 .相等检验验是必备条件，最值成立的前提是等号能取到，求出最值后必须验证取等条件，取不到等号则不能用基本不等式，需改用函数单调性求解。是高考小题必考、大题常用的高频考点。 高考要求五大核心公式：; 时， 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 忽略正数条件，直接套用公式； 2. 套公式后无定值强行利用等号反求值，并以此作为最值； 3. 未验证“取等条件”，所求定值不能作为最值； 4. 多次利用不等式导致传递方向出错或“取等条件”无法同时满足，所求定值不能作为最值； 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接定"a"、"b"利用基本不等式求最值 典例1 已知，且，求的最大值． 【答案】9 【详解】解：∵，解得,当且仅当,即时取“=”，∴最大值为9. 解题模板 1.基本不等式求最值核心是确立“a”,“b”，使得可利用题目条件中的定值或者用基本不等式出现定值; 2.求出目标边界后，需要说明“=”成立，才能保证求出的边界即为目标最值. 变式1-1已知求的最小值. 【答案】6 【详解】解：∵,由得,当且仅当即时去.所以的最小值为6. 变式1-2若求的取值范围. 【答案】 【详解】解：∵得，∴,解得.当且仅当即时取，∴. 变式1-3设，求的最小值． 【答案】6 【详解】∵，当且仅当，即时取等号, ∴的最小值为6. 题型二、凑系数定"a"、"b"利用基本不等式求最值 典例2 已知且,求的最大值. 【答案】 【详解】解：即,，所以 当且仅当即时取.所以最大值为. 题型模版 1.特征： 为了利用基本不等式出现定值，需要先对原数据拼凑系数，才能确立“a”,“b” 2.凑系数的方法一般就是两类：加一个数再减一个数或者乘一个数再除以一个数. 变式2-1求的最小值. 【答案】 【详解】解：∵ 当且仅当即时取,所以最小值为. 变式2-2求的最大值. 【答案】 【详解】.当且仅当即时取,所以最大值为. 题型三、有和有倒数结构”乘一乘“求最值 典例3 若正实数、满足，求的最小值. 【答案】9 【详解】解：, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为9. 题型模版 1.当题目中出现和的结构与倒数结构时，往往可以两者相乘再展开变形之后进行基本不等式运算. 2.这里和的结构一般指分母的倍数和,记与类型. 变式3-1．已知，求的最小值. 【答案】25 【详解】解：由，可得，所以，当且仅当时，即时等号成立．故的最小值为25. 变式3-2若，，，求的最小值. 【答案】 【详解】解：， ∵， 当且仅当，即时取等号， 所以.故的最小值为. 变式3-3已知求的最小值. 【答案】 【详解】解：，因为 . 所以.当且仅当即时取.所以最小值为. 题型四、换元法化““结构求最值 典例4 时,求的最小值. 【答案】 【详解】设,则故 当且仅当即时取,所以最小值为. 题型模版及易错提醒 1.看似是函数最值问题，实在换元后即为基本不等式中最基本的“”结构. 2.换元要注意范围问题，如果“=”取不到，则基本不等式法行不通，需要转换为函数才能问题求解. 变式4-1 求的最小值. 【答案】 【详解】解：设则,,所以关于在上递增, 所以当时取最小值. 变式4-2 已知，求的最小值． 【答案】 【详解】解：,其中,由==9,当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9 题型五、和积分离后再用基本不等式求最值 典例5 已知，且，求的最小值 【答案】2 【详解】解：∵,再由得，解得解得：或，又，所以当且仅当 即 时取”=”，故 的最小值为2. 解题模板 基本不等式得本质其实是“转化”即和积之间或者平方和与积之间借用不等式转化，故而将和用积表示或者积用和表示之后再用基本不等式即可解题. 变式5-1 已知且求的最大值. 【答案】 18 【详解】解：因为,由得 即,所以,所以,当且仅当即时取,所以的最大值为18. 变式5-2 若，且，求的最小值. 【答案】 【详解】解：由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 题型六、有积、有和、有平方和，消平方和后再用基本不等式求最值 典例6 已知且,求的最大值. 【答案】 【详解】解： =2， 所以,由得 所以,当且仅当即时取,所以最大值为. 题型模版 由于核心公式中体现的是积与和，积与平方和之间的不等式关系，所以当题中同时涉及和、积、平方和结构的时候往往需要先利用消去平方和，再利用积与和的不等式关系解题即可. 变式6-1 已知且求的最小值. 【答案】4 【详解】解： 当且仅当即(关于有解)时取等号.所以最小值为4. 变式6-2已知,求的最小值 【答案】2 【详解】解：因为关于单调递增. 因为,当且仅当时取,所以当时最小为=2. 题型七、消元（主元）思想求最值 典例7 已知求的最小值 【答案】 【详解】解：因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 题型模版 基本不等式是解决双变量最值问题的有效方法之一，但解题时不能局限于不等式，尤其当题目条件中变量之间可以互相表示之时，首先确立主元先消元，再选择基本不等式亦或者单变量函数的最值求解方法即可解题.这属于“基本不等式的背景，函数的本质”. 变式7-1已知正数 满足 ，求 的最小值. 【答案】8 【详解】解：由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 变式7-2已知，且，求的最小值. 【答案】 【详解】解：由题可知，已知，则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即，时取“”. 变式7-3已知，求的最小值. 【答案】8 【详解】解：先把作主元则由, 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8． 题型八、"万能t法”求最值 典例 8若，求的最小值. 【答案】 【分析】本题选择消元法是可以解题的，先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值．实际上，也可以换一个思维，从方程的角度来观察题目，可设，求的范围即可，只需将代入条件，看作关于方程有解即可. 【详解】解：设，则，代入条件得即,若使方程有解，需解得(舍）或，并且当时，可得符合，故的最小值为 题型模版 “万能法”思维上突破题目的双变量基本不等式背景，从方程有解的角度观察问题，一般需引入新变量，确立主元从方程有解的角度重新整合条件，一般考虑即可抑或者函数值域思想，不过，考虑到题目的严谨性，当有正数条件限制时，还是要说明“=”取到时满足题目条件。之所以称为“万能法”是因为此种方法应用非常广泛，比如典例1到典例7中的很多题目都可以尝试用“万能法”解题. 变式8-1设为实数，若的范围. 【答案】 【详解】解：设，则，代入条件可得,即 故需满足条件故，解得 变式8-2 已知的最小值． 【答案】 【详解】解：由题，因为，所以， 令，则, 故，即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值12， 因为，所以的最小值为， 此时，因此的最小值为. 题型九、化齐次式结构求最值 典例 9已知正实数，满足，求的最小值． 【答案】6 【详解】解：正实数满足，有+2=6， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6. 题型模版 齐次式指各项次数都相等的多项式或分式，分式的时候尤其和基本不等式相关联。若分式结构中上下各项次数不一致，那么借用题中的常数，进行常数代换，把分式整理为齐次式结构，和可能是解题的突破口. 变式9-1已知实数，且，求的最小值. 【答案】 【详解】解：实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 变式9-2已知正实数，满足，求的最小值． 【答案】 【详解】解：， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 变式9-3．已知正实数满足,求 【答案】 【详解】解：, 当且仅当即=2时取“=”，所以为 题型十、双换元法求最值 典例 10已知，且，求的最小值. 【答案】 【详解】解：令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 题型模版及解题技巧 基本不等式难点就在于不等式中的确立，当题目中条件比较复杂，不明确时，双换元可以将题目化繁为简回归本真。 变式10-1 已知，，，求的最大值. 【答案】 【详解】解：令，，所以， 因为，所以，所以，所以 ，当且仅当时取等号，结合，解得，即时，，所以的最大值为. 变式10-2已知正数a，b满足，求的最小值. 【答案】 【详解】解：令,则,所以条件化为,目标 +,由,所以的最小值为，故的最小值为. 题型十一、三（多）变量求最值 典例 11已知，，，，求的最小值. 【答案】 【详解】解：由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 题型模版及解题技巧 多变量最值问题常用的方法有： 1. 主元思想:先定一个或者两个作主元，逐字母求最值； 2. 消元思想:小区一个未知量，将多变量变少. 变式11-1若，，且，求的最小值. 【答案】24 【详解】解：已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为24. 变式11-2设，，为正实数，满足，求的最小值. 【答案】3 【详解】解：由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 变式11-3若，，都是正实数，求的最小值. 【答案】2 【详解】解：因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是2. 题型十二、利用基本不等比大小或证明不等式 典例 12（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 题型模版及解题技巧 不等式比大小常或证明不等式，直接作差无法解决时，就需要借助基本不等式，核心仍然是合理选定应用基本不等式，另外往往也需要结合不等式的性质合理运算. 变式12-1已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解选项A；利用作差法比较大小求解选项B,C,D. 【详解】因为， 对于A，， 当且仅当，即时取得等号，即恒成立，故A不符合题意； 对于B，， 因为， 所以， 所以，即恒不成立，故B符合题意； 对于C，， 所以，即恒成立，故C不符合题意； 对于D，， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以， 所以当时，有最小值为0， 所以，即恒成立，故D不符合题意； 故选：B. 变式12-2已知，求证：. 【答案】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【详解】略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 2．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 4．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 5(多选).已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 6(多选)．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 7(多选)．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 8(多选)．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 9(多选)．已知实数a，b满足，，，则（   ） A．ab的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为2 【答案】BC 【详解】A，,，解得， 当且仅当时等号成立，因此最小值为，无最大值. B，因为，则， 所以， 当且仅当时等号成立. C，，则，整理得， 因此， 因为，所以，当且仅当时等号成立. D，根据题设及A分析知，显然的最大值为2说法有误. 10(多选).若x，y是正实数，，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为且是正实数，所以两边同时除以得， 又因为， 当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥， 故的最小值为. 11．设实数，，满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先把条件转化为关于的方程，再用柯西不等式把与联系起来，消去变量，得到只含的不等式，最后解二次不等式确定范围. 【详解】设，原条件可化为. 由基本不等式，对任意实数均有. 将代入得. 若，则，满足； 若，将代入上述不等式. 令，上式可整理为关于的一元二次不等式. 存在实数使此不等式成立，当且仅当该二次函数的判别式且对称轴，. 即，解得. 此时对称轴恒成立. 故取值范围是. 12．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 13．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由得,化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 因为为正实数，所以， 所以. 所以 当且仅当即时等号成立. 14．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 15．已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题 基本不等式十二种重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接定"a"、"b"利用基本不等式求最值 题型二、凑系数定"a"、"b"利用基本不等式求最值 题型三、有和有倒数结构”乘一乘“求最值 题型四、换元法化”"结构求最值 题型五、和积分离后再用基本不等式求最值 题型六、有积、有和、有平方和，消平方和后再用基本不等式求最值 题型七、消元（主元）思想求最值 题型八、"万能t法”求最值 题型九、常数代换化齐次式结构求最值 题型十、双换元法求最值 题型十一、三（多）变量求最值 题型十二、利用基本不等比大小或证明不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式是高中数学最值、范围问题的核心工具，所有题型围绕基本不等式公式、一正二定三相等、凑配构造技巧、最值取值范围四大核心展开，解题贯穿三条底线原则：一. 正数为先决条件，使用基本不等式前，必须保证参与运算的式子各项均为正数，负数必须先变号、整体加负号处理；二.定值为核心要求，求和最值凑积为定值，求积最值凑和为定值，无定值必须通过凑配、拆项、换元构造定值；三 .相等检验验是必备条件，最值成立的前提是等号能取到，求出最值后必须验证取等条件，取不到等号则不能用基本不等式，需改用函数单调性求解。是高考小题必考、大题常用的高频考点。 高考要求五大核心公式：; 时， 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 忽略正数条件，直接套用公式； 2. 套公式后无定值强行利用等号反求值，并以此作为最值； 3. 未验证“取等条件”，所求定值不能作为最值； 4. 多次利用不等式导致传递方向出错或“取等条件”无法同时满足，所求定值不能作为最值； 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接定"a"、"b"利用基本不等式求最值 典例1 已知，且，求的最大值． 解题模板 1.基本不等式求最值核心是确立“a”,“b”，使得可利用题目条件中的定值或者用基本不等式出现定值; 2.求出目标边界后，需要说明“=”成立，才能保证求出的边界即为目标最值. 变式1-1已知求的最小值. 变式1-2若求的取值范围. 变式1-3设，求的最小值． 题型二、凑系数定"a"、"b"利用基本不等式求最值 典例2 已知且,求的最大值. 题型模版 1.特征： 为了利用基本不等式出现定值，需要先对原数据拼凑系数，才能确立“a”,“b” 2.凑系数的方法一般就是两类：加一个数再减一个数或者乘一个数再除以一个数. 变式2-1求的最小值. 变式2-2求的最大值. 题型三、有和有倒数结构”乘一乘“求最值 典例3 若正实数、满足，求的最小值. 题型模版 1.当题目中出现和的结构与倒数结构时，往往可以两者相乘再展开变形之后进行基本不等式运算. 2.这里和的结构一般指分母的倍数和,记与类型. 变式3-1．已知，求的最小值. 变式3-2若，，，求的最小值. 变式3-3已知求的最小值. 题型四、换元法化““结构求最值 典例4 时,求的最小值. 题型模版及易错提醒 1.看似是函数最值问题，实在换元后即为基本不等式中最基本的“”结构. 2.换元要注意范围问题，如果“=”取不到，则基本不等式法行不通，需要转换为函数才能问题求解. 变式4-1 求的最小值. 变式4-2 已知，求的最小值． 题型五、和积分离后再用基本不等式求最值 典例5 已知，且，求的最小值 解题模板 基本不等式得本质其实是“转化”即和积之间或者平方和与积之间借用不等式转化，故而将和用积表示或者积用和表示之后再用基本不等式即可解题. 变式5-1 已知且求的最大值. 变式5-2 若，且，求的最小值. 题型六、有积、有和、有平方和，消平方和后再用基本不等式求最值 典例6 已知且,求的最大值. 题型模版 由于核心公式中体现的是积与和，积与平方和之间的不等式关系，所以当题中同时涉及和、积、平方和结构的时候往往需要先利用消去平方和，再利用积与和的不等式关系解题即可. 变式6-1 已知且求的最小值. 变式6-2已知,求的最小值 题型七、消元（主元）思想求最值 典例7 已知求的最小值 题型模版 基本不等式是解决双变量最值问题的有效方法之一，但解题时不能局限于不等式，尤其当题目条件中变量之间可以互相表示之时，首先确立主元先消元，再选择基本不等式亦或者单变量函数的最值求解方法即可解题.这属于“基本不等式的背景，函数的本质”. 变式7-1已知正数 满足 ，求 的最小值. 变式7-2已知，且，求的最小值. 变式7-3已知，求的最小值. 题型八、"万能t法”求最值 典例 8若，求的最小值. 题型模版 “万能法”思维上突破题目的双变量基本不等式背景，从方程有解的角度观察问题，一般需引入新变量，确立主元从方程有解的角度重新整合条件，一般考虑即可抑或者函数值域思想，不过，考虑到题目的严谨性，当有正数条件限制时，还是要说明“=”取到时满足题目条件。之所以称为“万能法”是因为此种方法应用非常广泛，比如典例1到典例7中的很多题目都可以尝试用“万能法”解题. 变式8-1设为实数，若的范围. 变式8-2 已知的最小值． 题型九、化齐次式结构求最值 典例 9已知正实数，满足，求的最小值． 题型模版 齐次式指各项次数都相等的多项式或分式，分式的时候尤其和基本不等式相关联。若分式结构中上下各项次数不一致，那么借用题中的常数，进行常数代换，把分式整理为齐次式结构，和可能是解题的突破口. 变式9-1已知实数，且，求的最小值. 变式9-2已知正实数，满足，求的最小值． 变式9-3．已知正实数满足,求 题型十、双换元法求最值 典例 10已知，且，求的最小值. 题型模版及解题技巧 基本不等式难点就在于不等式中的确立，当题目中条件比较复杂，不明确时，双换元可以将题目化繁为简回归本真。 变式10-1 已知，，，求的最大值. 变式10-2已知正数a，b满足，求的最小值. 题型十一、三（多）变量求最值 典例 11已知，，，，求的最小值. 题型模版及解题技巧 多变量最值问题常用的方法有： 1. 主元思想:先定一个或者两个作主元，逐字母求最值； 2. 消元思想:小区一个未知量，将多变量变少. 变式11-1若，，且，求的最小值. 变式11-2设，，为正实数，满足，求的最小值. 变式11-3若，，都是正实数，求的最小值. 题型十二、利用基本不等比大小或证明不等式 典例 12（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2） 已知，，均为正实数，求证：. 题型模版及解题技巧 不等式比大小常或证明不等式，直接作差无法解决时，就需要借助基本不等式，核心仍然是合理选定应用基本不等式，另外往往也需要结合不等式的性质合理运算. 变式12-1已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 变式12-2已知，求证：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 4．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 5(多选).已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 6(多选)．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 7(多选)．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 8(多选)．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 9(多选)．已知实数a，b满足，，，则（   ） A．ab的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为2 10(多选).若x，y是正实数，，则的最小值为________. 11．设实数，，满足，则的取值范围是_________． 12．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 13．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 14．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 15．已知，且，则的最小值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $