专题04 不等式的性质运用及最值五类综合题型（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第一册

专题04 不等式的性质及最值问题五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、作差法、作商法比较两个数（式）的大小 题型二、利用不等式的基本性质比较代数式大小 题型三、利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型四、证明不等式 题型五、不等式中的Max、Min最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 不等式的性质及最值五类综合题型是高中不等式板块基础重难点，所有题型均围绕大小比较、性质运用、范围求解、不等式证明、最值分析五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是作差作商要留意式子正负情况，二是运用不等式性质分清可推与不可推结论，三是求代数式范围不可直接拆分变量单独估算，四是处理最值问题要关注变量取值约束，五是得到结果后带回题干验证条件是否成立 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、作差法、作商法比较两个数（式）的大小 典例1-1 设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 典例1-2 设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 题型模版 1.特征：题目给出两个代数式或者实数，要求比较大小；常出现在不等式证明、最值判断、大小排序、恒成立判断。可以是含参数式子、多项式、分式，也可结合函数、数列综合考查. 2.方法：（1）作差法（通用优先） ①求两个式子的差，构造差值。 ②对差值变形：因式分解、配方、通分，转化成便于判断正负的形式。 ③判断差的正负：差大于0，则前者大；差等于0，两者相等；差小于0，则后者大。 ④检验定义域，注意含参数时要分类讨论参数范围。 （2）作商法（多用于正数） ①先判断两个式子均为正数，不满足正数前提不能直接用作商法。 ②两式相除，求出商式。 ③比较商与1的大小：商大于1，被除数更大；商等于1，两式相等；商小于1，除数更大。 ④若式子符号不确定，需要分正负情况讨论. 变式1-1已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 变式1-2今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 变式1-3已知，则的大小关系是 ．(用“”连接) 【答案】 【详解】由题意不妨取， 这时. 由此猜测：下面给出证明： ， 又 ,. 又∵，， 又∵， 综上所述，. 故答案为：. 题型二、利用不等式的基本性质比较代数式大小 典例2 下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或举反例法判断ABC；利用作差法比较大小，判定D． 【详解】对于A，若，满足，此时，故A错误； 对于B，若，满足，此时，故B错误； 对于C，若，则有，所以，故C正确； 对于D，由于，则， 所以，故D错误． 故选：C． 题型模版 1.特征：给出已知不等关系，不直接算出数值，借助不等式性质推导新代数式的大小；常为多选题，可结合正负判断、变量范围，和作差法搭配考查，也用于判断命题真假 2.方法：①把梳理已知条件，标记每个变量的正负、大小关系，区分变量是正数、负数还是符号不确定。 ②逐条匹配不等式基本性质，同向可加、同向同正可乘，注意乘除负数要变号。 ③对选项逐一推导，遇到乘方、开方、取倒数，优先判断正负再使用对应性质。 ④举反例验证，遇到真假判断类题目，可取特殊值快速排除错误选项。 ⑤综合检验，推导结束后核对每一步有没有忽略前提条件 变式2-1已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B. 【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误； 对于B，取，则，故错误； 对于C，由，得，所以，故错误； 对于D，由，得，所以，故正确. 故选：D． 变式2-2已知，则必有（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由，得，，再根据作差法变形两两判断即可. 【详解】因为，所以， 所以 ，所以， ，所以， 符号不能确定，所以的大小不能确定 所以且. 故选：D． 变式2-3下列说法中，错误的是（    ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误. 对于B，由，可知，所以，所以.故B正确. 对于C，，因为， 所以，所以.故C正确. 对于D，因为，所以.又，所以.故D正确. 故选：A. 题型三、利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 典例3 已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥ 【答案】D 【详解】,,,则，①正确； ，， ， ，则，③正确； ，，， 则，②④⑤错误， ，，，则 ⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D. 题型模版 1.特征：已知多个代数式的范围，求另外一个线性组合式子的取值范围，多为多选或者填空；极易出现直接单独求变量范围再代入的错解，常和函数综合考查 2.方法：①设目标式子为已知范围式子的线性组合，引入待定系数。 ②根据多项式恒等，列出方程组，解出待定系数。 ③利用不等式同向可加性，结合已知区间，分别求出每一项的取值范围。 ④同向相加，得到目标代数式的整体范围。 ⑤检验，确认每一步放大缩小是否可以同时取到边界 变式3-1设x，y为实数，满足，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值. 【详解】设 即 所以，解得 所以 因为，， 所以 由不等式性质可知 即，当且仅当时取等号，解得. 综上可知，的最小值为. 故答案为：. 变式3-2（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的性质逐一验算各个选项即可求解. 【详解】记①，②，因为， 所以由①②得，A错误，B正确； 由①，②得，， 两式相加得，所以，C正确，D错误． 故选：BC.． 变式3-3已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 题型四、利用不等式的基本性质证明不等式 典例4 已知，求证：． 【答案】 证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】略 ． 题型模版 1.特征：已知一组不等关系，依托不等式基础性质，推导证明新的不等式；多为解答证明题，也可作为多选题里命题证明，常和作差法、代数式变形搭配使用 2.方法：①整理题干给出的已知条件，明确各个式子的大小、正负信息。 ②观察待证不等式结构，确定变形方向，选用对应的不等式性质。 ③逐步做等价或者单向放缩变形，同向不等式可相加；同正的同向不等式可以相乘；乘除负数必须翻转不等号。 ④规范书写推导链条，保证每一步变形都有对应的不等式性质作为依据。 ⑤收尾确认，核对前提条件是否始终满足，判断等号能否成立 变式4-1已知，求证：． 【答案】 证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】略． 变式4-2证明下列不等式：若，，，求证：． 【答案】证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【详解】略． 变式4-3设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【答案】(1) 因为，， 由题设，，得. 因此. (2) （ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 【分析】（1）要证，只需证，平方后结合条件即可证明； （2）分别证充分性和必要性即可. 【详解】（1）略 （2）略 题型五、不等式中的Max、Min最值问题 典例5 已知表示中的最大者，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设，由最值性质建立的不等式，求出的范围，得到最小值. 【详解】设， 则. 因为，所以. 所以，所以， 所以，解得， 所以的最小值为，即的最小值为. 故选：B. ． 题型模版 1. 特征：题干给出多个含变量的正数表达式，求这一组表达式最小值的最大值，属于不等式压轴小题，常和基本不等式结合.主要分为两类对偶小题，新高考填空/多选压轴；给出含正数变量的多个代数式，自定义min{}取一组数最小，max{}取一组数最大。 ①类型一：求min{}的最大值 ②类型二：求max{}的最小值 2.方法：①设元：令M为目标，若是min型：M小于等于集合里每一个式子；若是max型：M大于等于集合里每一个式子。 ②转化：根据不等关系，把变量用M表示范围。 ③构造不等式：将式子联立，消去变量，得到只含M的不等式。 ④求解M的边界，关键一步验证等号，检查所有等式能否同时成立；能同时取等，边界就是所求最值 变式5-1设表示，，，中最大的数，已知，均为正数，则的最小值为______. 【答案】 【分析】分别求得和的最大值，和的最大值，确定这个最大值的最小值，两者比较后即可得． 【详解】都是正数，因此 ，，其最小值是， ，，其最小值是， ， 所以的最小值为，当且仅当时取得， 故答案为：．． 变式5-2已知表示中的最大者，若，，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】设，由最值性质建立m的不等式，求出m的范围，得到最小值． 【详解】设， 则， 因为，，所以， 所以，所以， 所以，解得， 所以m的最小值为3，即的最小值为3． 故答案为：3． 变式5-3记为中最小的数.设，，.则的最大值为________ 【答案】 【分析】设，由题意知可得，，结合，即可求得答案. 【详解】设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴，当且仅当时取等号. 所以的最大值为. 故答案为： 变式5-4定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为________． 【答案】 【分析】设，，，可知，，，可得出，设，分、两种情况讨论，结合不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，，，且，则，，， 所以，， 若，则，故， 设，因此，，故，即， 若，则，即， 则，故，当且仅当时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解. 【详解】，，， ， 所以， ， 所以，所以， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：A 2．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则， 【答案】C 【分析】利用基本不等式的基本性质，逐一分析各选项的真假：ABD可通过举反例否定，C可以利用作差法证明. 【详解】对于A：当 时，，则 ， 此时 成立，但 不成立（因为 不成立）. 因此，该命题不是真命题，故A错误； 对于B：取反例：设 ，，满足 计算：，， 则 不成立（实际 ). 因此，该命题不是真命题，故B错误； 对于C：由条件 ，得 ，，. 比较差：. 分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，). 故，即 .因此，该命题是真命题，故C正确； 对于D：取反例：设 ，，满足 （因为 ). 且 ，，满足 （因为 ). 但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，所以该命题不是真命题，故D错误. 故选：C 3．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 4．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 【答案】C 【分析】设两次加油的油价分别为 ，分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行比较. 【详解】设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 . 设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为 因为，所以 ，所以乙比较经济， 故选：C 5．（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 6．（多选）已知实数满足，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A和B，根据条件，利用不等式的性质，即可求解；对C，利用，再结合条件，即可求解；对D，利用，再结合条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，，两式相加得， 得到，所以A正确， 对于选项B，因为，则，又， 两式相加得，即，所以B正确， 对于选项C，因为，又，， 所以，，则，故C错误， 对于选项D，因为，又，， 所以，，则，所以D正确， 故选：ABD.. 7．已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为． 8．设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【答案】 【分析】计算可得、，则，即可得解. 【详解】， ， 故. 故答案为：． 9．已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为：． 10．记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则__________. 【答案】9 【分析】设，可得，计算可得，可得结论. 【详解】设，因为，，均为正数，所以， 依题意，整理得， 所以，得 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9． 11．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【分析】利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1）略 （2）略 12．已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2) 因为， 又，，则，， 所以，得到. 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）略 13．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】 （1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）； 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 14．比较下列三组式子大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故.． 15．根据要求完成下列问题： (1)若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． (2)设x、，求证：成立的充要条件是. 【答案】(1)①证明:∵，且、， ∴，∴； ②证明:∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由①知， ∴， ∴； ③能找到， (2)证明:①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式成立； ②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立； ③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明. （2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可. 【详解】（1）①略； ②略； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； （2）略. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 不等式的性质及最值问题五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、作差法、作商法比较两个数（式）的大小 题型二、利用不等式的基本性质比较代数式大小 题型三、利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型四、证明不等式 题型五、不等式中的Max、Min最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 不等式的性质及最值五类综合题型是高中不等式板块基础重难点，所有题型均围绕大小比较、性质运用、范围求解、不等式证明、最值分析五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是作差作商要留意式子正负情况，二是运用不等式性质分清可推与不可推结论，三是求代数式范围不可直接拆分变量单独估算，四是处理最值问题要关注变量取值约束，五是得到结果后带回题干验证条件是否成立 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、作差法、作商法比较两个数（式）的大小 典例1-1 设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 典例1-2 设，，且，则和的大小关系是_________． 题型模版 1.特征：题目给出两个代数式或者实数，要求比较大小；常出现在不等式证明、最值判断、大小排序、恒成立判断。可以是含参数式子、多项式、分式，也可结合函数、数列综合考查. 2.方法：（1）作差法（通用优先） ①求两个式子的差，构造差值。 ②对差值变形：因式分解、配方、通分，转化成便于判断正负的形式。 ③判断差的正负：差大于0，则前者大；差等于0，两者相等；差小于0，则后者大。 ④检验定义域，注意含参数时要分类讨论参数范围。 （2）作商法（多用于正数） ①先判断两个式子均为正数，不满足正数前提不能直接用作商法。 ②两式相除，求出商式。 ③比较商与1的大小：商大于1，被除数更大；商等于1，两式相等；商小于1，除数更大。 ④若式子符号不确定，需要分正负情况讨论. 变式1-1已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 变式1-2今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 变式1-3已知，则的大小关系是 ．(用“”连接) 题型二、利用不等式的基本性质比较代数式大小 典例2 下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型模版 1.特征：给出已知不等关系，不直接算出数值，借助不等式性质推导新代数式的大小；常为多选题，可结合正负判断、变量范围，和作差法搭配考查，也用于判断命题真假 2.方法：①把梳理已知条件，标记每个变量的正负、大小关系，区分变量是正数、负数还是符号不确定。 ②逐条匹配不等式基本性质，同向可加、同向同正可乘，注意乘除负数要变号。 ③对选项逐一推导，遇到乘方、开方、取倒数，优先判断正负再使用对应性质。 ④举反例验证，遇到真假判断类题目，可取特殊值快速排除错误选项。 ⑤综合检验，推导结束后核对每一步有没有忽略前提条件 变式2-1已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知，则必有（    ） A． B．且 C． D．且 变式2-3下列说法中，错误的是（    ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三、利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 典例3 已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥ 题型模版 1.特征：已知多个代数式的范围，求另外一个线性组合式子的取值范围，多为多选或者填空；极易出现直接单独求变量范围再代入的错解，常和函数综合考查 2.方法：①设目标式子为已知范围式子的线性组合，引入待定系数。 ②根据多项式恒等，列出方程组，解出待定系数。 ③利用不等式同向可加性，结合已知区间，分别求出每一项的取值范围。 ④同向相加，得到目标代数式的整体范围。 ⑤检验，确认每一步放大缩小是否可以同时取到边界 变式3-1设x，y为实数，满足，，则的最小值是 . 变式3-2（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 题型四、利用不等式的基本性质证明不等式 典例4 已知，求证：． 题型模版 1.特征：已知一组不等关系，依托不等式基础性质，推导证明新的不等式；多为解答证明题，也可作为多选题里命题证明，常和作差法、代数式变形搭配使用 2.方法：①整理题干给出的已知条件，明确各个式子的大小、正负信息。 ②观察待证不等式结构，确定变形方向，选用对应的不等式性质。 ③逐步做等价或者单向放缩变形，同向不等式可相加；同正的同向不等式可以相乘；乘除负数必须翻转不等号。 ④规范书写推导链条，保证每一步变形都有对应的不等式性质作为依据。 ⑤收尾确认，核对前提条件是否始终满足，判断等号能否成立 变式4-1已知，求证：． 变式4-2证明下列不等式：若，，，求证：． 变式4-3设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 题型五、不等式中的Max、Min最值问题 典例5 已知表示中的最大者，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型模版 1. 特征：题干给出多个含变量的正数表达式，求这一组表达式最小值的最大值，属于不等式压轴小题，常和基本不等式结合.主要分为两类对偶小题，新高考填空/多选压轴；给出含正数变量的多个代数式，自定义min{}取一组数最小，max{}取一组数最大。 ①类型一：求min{}的最大值 ②类型二：求max{}的最小值 2.方法：①设元：令M为目标，若是min型：M小于等于集合里每一个式子；若是max型：M大于等于集合里每一个式子。 ②转化：根据不等关系，把变量用M表示范围。 ③构造不等式：将式子联立，消去变量，得到只含M的不等式。 ④求解M的边界，关键一步验证等号，检查所有等式能否同时成立；能同时取等，边界就是所求最值 变式5-1设表示，，，中最大的数，已知，均为正数，则的最小值为______. 变式5-2已知表示中的最大者，若，，则的最小值为_____. 变式5-3记为中最小的数.设，，.则的最大值为________ 变式5-4定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则， 3．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 4．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 5．（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 6．（多选）已知实数满足，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 7．已知，，则的取值范围为_____________________． 8．设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 9．已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 10．记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则__________. 11．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 12．已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 13．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 14．比较下列三组式子大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 15．根据要求完成下列问题： (1)若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． (2)设x、，求证：成立的充要条件是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $