第1章 §3 不等式 3.1 不等式的性质(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 围绕“不等式的性质”，通过基础辨析、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到推理证明再到实际应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式基本性质、简单比较大小|选择1-5题（如糖水浓度比较），结合生活情境培养数学眼光| |进阶层|性质综合应用、易错点辨析|选择6-9题（含多选题）、填空10-12题，通过符号运算发展数学思维| |提升层|推理证明、实际问题解决|解答13-16题（如取值范围推导），强化逻辑表达培养数学语言|

§3　不等式 3.1　不等式的性质 1.D　[解析] 原糖水的浓度为,加入m克糖后糖水的浓度为,因为加入m克糖后糖水浓度变大了,所以>.故选D. 2.B　[解析] M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,∴M>N. 3.B　[解析] P-Q=-=,∵a>b>c>0,∴b-a<0,a+b-c>0,ab>0,∴P-Q<0,即P<Q. 4.C　[解析] 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,-a<b<0,所以a>-b>0>b>-a,即a>-b>b>-a.故选C. 5.C　[解析] A中,a>b,若c=0,则ac2=bc2,故A是假命题;B中,>,若c<0,则a<b,故B是假命题;C中,a3>b3,则a>b,又ab<0,∴∴>,故C为真命题;D中,a2>b2且ab>0,则a>b>0或a<b<0,∴0<<或0>>,故D是假命题.故选C. 6.C　[解析] 因为a>b>a+b,所以b<a<0.对于选项A,因为>0,a>b,所以>,故A中结论正确;对于选项B,因为0>b>a+b,所以(a+b)2>b2,故B中结论正确;对于选项C,取a=-1,b=-2,则ab=2,(a+b)2=9,即ab<(a+b)2,故C中结论错误;对于选项D,因为<0,>0,所以<,故D中结论正确.故选C. 7.D　[解析] 由0<b<a,a+b=1可得0<1-a<a,解得<a<1,可得A错误;由0<b<1-b,解得0<b<,可得B错误;由0<b<a可得0<a·b<a·a,即ab<a2,可得C错误;由A可得<a<1,由B可得0<b<,即-<-b<0,所以-+<a+(-b)<1+0,即0<a-b<1,可得D正确.故选D. 8.BC　[解析] 对于A,D,当a=c=2,b=d=1时,a+d=b+c=3,==1,不满足a+d>b+c,>,故A,D均错误;对于B,C,因为a>b>0,c>d>0,所以c2>0,所以ac>bd,ac2>bc2,故B,C均正确.故选BC. 9.AB　[解析] 对于A,因为c<0<b<a,所以ac<bc,又b<a,所以ac+b<bc+a,故A正确;对于B,因为a>b>0,所以a3>b3,所以a3+c2>b3+c2,故B正确;对于C,-==,因为c<0<b<a,所以c(b-a)>0,但b+c的符号不确定,所以与的大小关系不确定,故C错误;对于D,因为a>b>0,所以>>0,所以>>0,又c<0,所以<,又b<a,所以+b<+a,故D错误.故选AB. 10.　[解析] 因为3<y<4,所以<<,又因为2<x<3,所以<<1. 11.3　[解析] 由题意知,若成立,则成立,所以bc>ad成立;若成立,则>0成立,所以>成立;若成立,则成立,所以ab>0成立.故可组成3个真命题. 12.T　[解析] 因为S-R=1+x-2=(1-)2>0,所以S>R.因为T-S=-(1+x)=>0,所以T>S.故最大的是T. 13.解:(1)M=-=,N=-=,因为+>+>0,所以<, 即-<-,所以M>N. (2)因为M-N=(x+3)(x+4)-(x+2)(x+5)=(x2+7x+12)-(x2+7x+10)=2>0,所以M>N. (3)方法一(作差法):M-N=-= = =, 因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0, 所以>0,所以M>N. 方法二(作商法):因为a>b>0,所以>0,>0,2ab>0,所以====1+>1,所以M>N. 14.证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c, ∴a-d>b-c>0,∴>0,则<. (2)∵a>b>0,c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0, ∴-===>0,∴>. 15.C　[解析] 依题意,设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a,b,c,则若c=1,则a+b≥3+2=5,不满足3c>a+b;若c=2,则a+b≥4+3=7,不满足3c>a+b;若c=3,则a+b≥5+4=9,不满足3c>a+b;若c=4,则a+b≥6+5=11,满足3c>a+b,故cmin=4,amin=6,bmin=5,则(a+b+c)min=15.故选C. 16.解:设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),则2a+3b=(m+n)a+(m-n)b,可得解得 则2a+3b=(a+b)-(a-b). ∵1<a+b<3,-2<a-b<2,∴<(a+b)<,-1<-(a-b)<1,∴<(a+b)-(a-b)<,则<2a+3b<,即2a+3b的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　不等式 3.1　不等式的性质 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m(m>0)克糖(假设全部溶解),糖水变甜了,能恰当表示这一事实的不等式为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.bm>am B.b+m>a+m C.> D.> 2.已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 (　 ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 3.已知a>b>c>0,若P=,Q=,则P与Q的大小关系是 (　 ) A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.不确定 4.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 (　 ) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 5.已知a,b,c∈R,那么下列命题为真命题的是 (　 ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若>,则a>b C.若a3>b3且ab<0,则> D.若a2>b2且ab>0,则> 6.[2024·内蒙古鄂尔多斯高一期中] 已知a>b>a+b,则下列结论错误的是 (　 ) A.> B.(a+b)2>b2 C.ab>(a+b)2 D.< 7.[2024·福建龙岩高一期中] 已知0<b<a,a+b=1,则 (　 ) A.0<a< B.<b<1 C.ab>a2 D.0<a-b<1 8.(多选题)[2024·浙江丽水高一期末] 如果a>b>0,c>d>0,那么下面结论正确的是 (　 ) A.a+d>b+c B.ac>bd C.ac2>bc2 D.> 9.(多选题)[2024·江西部分学校高一期中] 已知c<0<b<a,则 (　 ) A.ac+b<bc+a B.a3+c2>b3+c2 C.< D.+a<+b 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知2<x<3<y<4,则的取值范围是　　　　.  11.已知①ab>0,②>,③bc>ad,用其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,则可组成 　　　　个真命题.  12.若0<x<1,则R=2,S=1+x,T=中最大的是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)[2024·贵州六盘水高一期中] 比较下列M,N的大小: (1)设x>1,M=-,N=-; (2)设M=(x+3)(x+4),N=(x+2)(x+5); (3)设a>b>0,M=,N=. 14.(10分)(1)已知a>b>c>d,求证:<; (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 15.(5分)某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数,加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数,加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和.若该校新生每人只能加入其中一个协会,则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为 (　 ) A.9 B.12 C.15 D.18 16.(15分)已知1<a+b<3,-2<a-b<2,求2a+3b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $